一元二次方程的解法

教學(xué)目標

1． 初步掌握用直接開平方法解一元二次方程，會用直接開平方法解形如 的方程；

2． 初步掌握用配方法解一元二次方程，會用配方法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；

3． 掌握一元二次方程的求根公式的推導(dǎo)，能夠運用求根公式解一元二次方程；

4． 會用因式分解法解某些一元二次方程。

5． 通過對一元二次方程解法的教學(xué)，使學(xué)生進一步理解“降次”的數(shù)學(xué)方法，進一步獲得對事物可以轉(zhuǎn)化的認識。

教學(xué)重點和難點

　　重點：一元二次方程的四種解法。

　　難點：選擇恰當?shù)姆椒ń庖辉�二次方程�?/p>

教學(xué)建議：

　一、教材分析：

　　1．知識結(jié)構(gòu)：一元二次方程的解法

　　2．重點、難點分析

　�。�1）熟練掌握開平方法解一元二次方程

　　用開平方法解一元二次方程，一種是直接開平方法，另一種是配方法。

　　如果一元二次方程的一邊是未知數(shù)的平方或含有未知數(shù)的一次式的平方，另一邊是一個非負數(shù)，或完全平方式，如方程 ， 和方程 就可以直接開平方法求解，在開平方時注意取正、負兩個平方根。

配方法解一元二次方程，就是利用完全平方公式，把一般形式的一元二次方程，轉(zhuǎn)化為 的形式來求解。配方時要注意把二次項系數(shù)化為1和方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方這兩個關(guān)鍵步驟。

　�。�2）熟記求根公式 （ ）和公式中字母的意義在使用求根公式時要注意以下三點：

　　1）把方程化為一般形式，并做到 、 、 之間沒有公因數(shù)，且二次項系數(shù)為正整數(shù)，這樣代入公式計算較為簡便。

　　2）把一元二次方程的各項系數(shù) 、 、 代入公式時，注意它們的符號。

　　3）當 時，才能求出方程的兩根。

　�。�3）抓住方程特點，選用因式分解法解一元二次方程

　　如果一個一元二次方程的一邊是零，另一邊易于分解成兩個一次因式時，就可以用因式分解法求解。這時只要使每個一次因式等于零，分別解兩個一元一次方程，得到兩個根就是一元二次方程的解。

　　我們共學(xué)習(xí)了四種解一元二次方程的方法：直接開平方法；配方法；公式法和因式分解法。解方程時，要認真觀察方程的特征，選用適當?shù)姆椒ㄇ蠼狻?/p>

　二、教法建議

　　1． 教學(xué)方法建議采用啟發(fā)引導(dǎo)，講練結(jié)合的授課方式，發(fā)揮教師主導(dǎo)作用，體現(xiàn)學(xué)生主體地位，學(xué)生獲取知識必須通過學(xué)生自己一系列思維活動完成，啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生深入思考問題，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維靈活、嚴謹、深刻等良好思維品質(zhì)．
　　2. 注意培養(yǎng)應(yīng)用意識．教學(xué)中應(yīng)不失時機地使學(xué)生認識到數(shù)學(xué)源于實踐并反作用于實踐．

教學(xué)設(shè)計示例

教學(xué)目標
　　1. 使學(xué)生知道解完全的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0， b≠0， c≠0)可以轉(zhuǎn)化為適合于直接開平方法的形式(x+m)²=n;
　　2. 在理解的基礎(chǔ)上，牢牢記住配方的關(guān)鍵是“添加的常數(shù)項等于一次項系數(shù)一半的平方”；
　　3. 在數(shù)學(xué)思想方法方面，使學(xué)生體會“轉(zhuǎn)化”的思想和掌握配方法。

教學(xué)重點和難點
　　重點：掌握用配方法解一元二次方程。
　　難點：湊配成完全平方的方法與技巧。

教學(xué)過程設(shè)計
　一 復(fù)習(xí)
　　1.完全的一元二次方程的一般形式是什么樣的?(注意a≠0)

　　2.不完全一元二次方程的哪幾種形式?

　　(答：只有三種ax²=0,ax²+c=0,ax²+bx=0(a≠0))

　　3.對于前兩種不完全的一元二次方程ax²=0 (a≠0)和ax²+c=0 (a≠0),我們已經(jīng)學(xué)會了它們的.解法。

　　特別是結(jié)合換元法，我們還會解形如(x+m) ²=n(n≥0)的方程。

　　例 解方程：(x-3) ²=4 (讓學(xué)生說出過程)。

　　解：方程兩邊開方，得 x-3=±2，移項，得 x=3±2。

　　所以 x₁=5,x₂=1. (并代回原方程檢驗，是不是根)

　　4.其實(x-3) ²=4是一個完全的一元二次方程，我們把原方程展開、整理為一元二次方程。(把這個展開過程寫在黑板上)

　　　　　(x-3) ²=4,　 　①

　　　　　x²-6x+9=4, 　�、�

　　　　　x²-6x+5=0.　　 ③

　二 新課
　　1.逆向思維
　　我們把上述由方程①→方程②→方程③的變形逆轉(zhuǎn)過來，可以發(fā)現(xiàn)，對于一個完全的一元二次方程，不妨試試把它轉(zhuǎn)化為(x+m) ²=n的形式。這個轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵是在方程左端構(gòu)造出一個未知數(shù)的一次式的完全平方式(x+m) ²。

　　2.通過觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

　　問：在x²+2x上添加一個什么數(shù)，能成為一個完全平方(x+?)²。 (添一項+1)

即 (x²+2x+1)=(x+1) ².

　　練習(xí)，填空：

　　x²+4x+( )=(x+ ) ²; y²+6y+( )=(y+ ) ².

　　算理 x²+4x=2x·2?，所以添2的平方，y²+6y=y²+2y3?，所以添3的平方。

　　總結(jié)規(guī)律：對于x²+px,再添上一次項系數(shù)一半的平方，就能配出一個含未知數(shù)的一個次式的完全平方式。即 .+ ( ) ④

　 (讓學(xué)生對④式的右邊展開，體會括號內(nèi)第一項與第二項乘積的2倍，恰是左邊的一次

項，括號內(nèi)第二項的平方，恰是配方時所添的常數(shù)項)

　　項固練習(xí)(填空配方)

　　總之，左邊的常數(shù)項是一次項系數(shù)一半的平方。

　　問：如果左邊的一次項系數(shù)是負數(shù)，那么右邊括號里第二項的正負號怎么取?算理是什么?

　　鞏固練習(xí)(填空配方)

　　x²-bx+( )=(x- ) ²; x²-(m+n)x+( )=(x- ) ².