什么是“問題解決”

——“問題解決與數(shù)學(xué)教育”之一
“問題解決”（problem solving）作為美國數(shù)學(xué)教育界在80 年代的主要口號，現(xiàn)在已經(jīng)是一個不太陌生 的名詞了。但是，究竟什么是“問題解決”的真正意義？這仍然是一個值得深思的問題。例如，以下是幾種常 見的觀念：
1.“問題解決”就是指把實際問題引入到數(shù)學(xué)教學(xué)之中，或者說，應(yīng)當(dāng)使數(shù)學(xué)問題具有明顯的現(xiàn)實意義；
2.“問題解決”就是對于各種解題技巧的強調(diào)；
3.“問題解決”就是指讓學(xué)生獨立地去解決問題。
顯然，這些理解并不完全相同，甚至是互相對立的，而且，這些不同的理解又是如此之多，以致一個美國 數(shù)學(xué)教育家開玩笑地說，如果問數(shù)學(xué)教育工作者“什么是‘問題解決’？”7個被提問者將會提供9個不同的解 答。這種情況的出現(xiàn)是無足為奇的，但是，這種現(xiàn)象，顯然就清楚地表明了對于“問題解決”的真正意義進行 澄清的必要性和緊迫性。
為了對“問題解決”的真正意義作出分析，我們先來對什么是“問題解決”中所說的“問題”作出說明， 這就涉及到了（數(shù)學(xué)）問題的分類。
具體地說，由于著眼點的不同，對于數(shù)學(xué)問題可以作出不同的分類，如按問題是否具有真實意義進行分類 ，或是按問題的求解是否需要一定的創(chuàng)造性進行分類。由于傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育嚴(yán)重地脫離實際，因此，作為一種 改革，我們就應(yīng)在數(shù)學(xué)教學(xué)中盡可能地引入更多的具有真實意義的問題，而這對于提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的能 力和增強學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性都是十分重要的；但是，應(yīng)當(dāng)強調(diào)的是，我們又不應(yīng)當(dāng)把“問題解決”中所說 的“問題”唯一地等同于實際問題。特別是那些“非常規(guī)性的問題”（non-routine problem），是需要一定的 創(chuàng)造性才能求解。
事實上，如果過分地強調(diào)（數(shù)學(xué)）問題的'真實意義，我們就會由一個極端走向另一個極端，并取得適得其 反的效果。如，以下是美國數(shù)學(xué)課本（九年級）中所給出的一個問題：
一個農(nóng)民在送雞蛋去市場的路上發(fā)生了車禍，盡管她本人沒有受傷，但所有的雞蛋卻都破損了。由于她事 先參加了保險，因此就前往保險公司索賠，后者要求她說出損失雞蛋的數(shù)目，她說她不知道準(zhǔn)確的數(shù)字，而只 記得以下的事實：當(dāng)她把雞蛋裝進小盒時，如果成雙地裝則剩下一個；如果三個三個地裝也剩下一個，四個、 五個、六個地裝也是同樣的情況；而當(dāng)她七個七個地裝時則正好裝完。問：（1）她有多少個雞蛋？（2）這一 問題是否只有一個答案？
筆者認(rèn)為，在此，我們可以清楚地看到由于過分強調(diào)“聯(lián)系實際”所造成的勉強做作，而我們教學(xué)中如果 不注意糾正的話，則就必然會取得適得其反的結(jié)果，非但不能真正調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，反而會使他們 感到數(shù)學(xué)是無意義和毫無用處的。
其次，應(yīng)當(dāng)指出的是，盡管問題的選擇構(gòu)成了“問題解決”的重要一環(huán)，但又并非是唯一的環(huán)節(jié)。例如， 在選擇出了“適當(dāng)”的問題以后，還存在這樣的問題，我們應(yīng)當(dāng)如何去實行“問題解決”的教學(xué)？我們又應(yīng)通 過“問題解決”的教學(xué)達到什么樣的目的？
事實上，問題的提出與解決從來就是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要組成部分，但這可能被用作數(shù)學(xué)知識教學(xué)的一種 手段，即，如何通過問題來引入有關(guān)的教學(xué)內(nèi)容、并通過問題解決來達到復(fù)習(xí)、鞏固和檢查的目的（從更廣義 的角度說，我們還可通過“問題解決”來調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，體現(xiàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要性，并使學(xué)生感受 到科學(xué)研究的樂趣）；也可能被認(rèn)為是一種技能，希望通過大量的解題，使學(xué)生掌握各種具體的解題方法和技 巧，顯然，這就是所謂的“題海戰(zhàn)術(shù)”。那么，究竟什么是現(xiàn)在所說的“問題解決”的真正意義呢？
具體地說，與上述的兩種理解不同，“問題解決”應(yīng)當(dāng)被看成是一種創(chuàng)造性的活動，是如何綜合地、創(chuàng)造 性地應(yīng)用所學(xué)知識和方法去解決非常規(guī)性的問題。顯然，在這樣的理解下，“問題解決”的核心就并非是各種 特殊的解題方法或技巧，而是一些十分一般的思想方法或思維模式（為了對這兩者作出明確的區(qū)分，在現(xiàn)代的 研究中人們有時就把后者稱為是“高層次的思維方法”。）另外，與對于數(shù)學(xué)知識的強調(diào)相比，“以問題解決 作為學(xué)校數(shù)學(xué)教育的中心”則就更為清楚地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教育思想的根本性轉(zhuǎn)變，即是，認(rèn)為應(yīng)把幫助學(xué)生學(xué)會 “數(shù)學(xué)地思維”，從而提高解決問題的能力作為數(shù)學(xué)教育的主要目標(biāo)。
顯然，正是以上的基本指導(dǎo)思想決定了問題的選擇標(biāo)準(zhǔn)：我們應(yīng)當(dāng)集中于所說的“非常規(guī)性問題”，另外 ，這一基本指導(dǎo)思想顯然也就表明了在“問題解決”的教學(xué)中我們不能對學(xué)生采取“完全放任”的態(tài)度，特別 是不能以問題的解決作為教學(xué)的最終目標(biāo)。事實上，這也正是初學(xué)者（或者說，“不好的解題者”）與數(shù)學(xué)家 （“好的解題者”）在思維方法上的一個重要區(qū)別：前者往往滿足于用某種方法（包括觀察、實驗和猜測）， 求得具體的解答而不去進一步追究相應(yīng)的解釋，也不去思考是否存在有不同的解法，以及是否可能對所獲得的 結(jié)果作出進一步的推廣；與此相反，數(shù)學(xué)家們并不停止于某個具體問題的解決，而是致力于進一步的思考：在 這些看上去并無聯(lián)系的事實背后是否隱藏著某種普遍的理論？這些事實能否被納入某個統(tǒng)一的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)？等等 。從而，為了幫助學(xué)生學(xué)會“數(shù)學(xué)地思維”，在“問題解決”的教學(xué)中教師也就應(yīng)當(dāng)發(fā)揮重要的作用，而不能 將此片面地理解為“讓學(xué)生獨立地去解決問題”。
一般地說，教育思想的轉(zhuǎn)變決定了“問題解決”的教學(xué)應(yīng)當(dāng)采取與傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)不相同的一種新模式。 例如，以下即是一種可能的新模式。
第一，在學(xué)生以個人或小組為單位具體地從事解題活動前，應(yīng)組織全班性的討論，以促使學(xué)生“弄清問題 ”，在這一階段教師的主要工作有：
自己或請一位學(xué)生朗讀問題，弄清其中的詞匯的意義。
組織學(xué)生進行討論以弄清問題。這主要是：什么是已知的，什么是所要求的。應(yīng)當(dāng)注意的是，這時不要提 出太多的問題，以免使學(xué)生感到不再有必要自己去對問題進行理解。
組織學(xué)生討論可能的解題方法，注意這時不要對學(xué)生的建議作出評價。
第二，在學(xué)生具體地從事解題活動時，教師應(yīng)在教室中巡回，并采取以下的行動：
觀察學(xué)生的解題行為，并請學(xué)生對自己的工作進行說

明。
如果學(xué)生陷入困境，在如何選擇和實施解題策略方面給以一定的啟發(fā)，必要時，應(yīng)適當(dāng)重復(fù)先前階段中曾 用以弄清題意的問題。
如果學(xué)生獲得了某種解答，要求學(xué)生對此進行檢驗。
對問題作出推廣，以使較早完成者（在時間許可的情況下，則是整個班級）繼續(xù)工作。
第三，在學(xué)生的解題活動結(jié)束以后（指已經(jīng)獲得了解答、并對此進行了檢驗），再次組織全班進行討論：
對學(xué)生所采用的解題方法進行討論，特別是不同方法之間進行比較，讓學(xué)生對自己所采用的方法進行“命 名”。
對剛才所解決的問題與現(xiàn)前曾求解的類似問題進行比較，對問題的推廣進行討論。
對問題的一些特殊的方面進行討論，諸如不尋常的數(shù)據(jù)、容易產(chǎn)生“錯誤”的地方、“關(guān)鍵詞”等。
綜上可見，“問題解決”這一口號的提出包含了教育思想乃至教學(xué)形式的根本性變化，從而這就是數(shù)學(xué)教 育中的一次重要的改革運動。