平面向量

定義：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.
投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)為直角時(shí)投影為0；當(dāng) = 0時(shí)投影為 |b|；當(dāng) = 180時(shí)投影為 |b|.
4.向量的數(shù)量積的幾何意義：
數(shù)量積ab等于a的長度與b在a方向上投影|b|cos的乘積.
5.兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：
設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，e是與b同向的單位向量.
1 ea = ae =|a|cos； 2 ab  ab = 0
3 當(dāng)a與b同向時(shí)，ab = |a||b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，ab = |a||b|. 特別的aa = |a|2或
4cos = ；5|ab| ≤ |a||b|
二、講解新課：
平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律
1.交換律：a  b = b  a
證：設(shè)a，b夾角為，則a  b = |a||b|cos，b  a = |b||a|cos
∴a  b = b  a
2.數(shù)乘結(jié)合律：( a)b = (ab) = a( b)
證：若 > 0，( a)b = |a||b|cos， (ab) = |a||b|cos，a( b) = |a||b|cos，
若 < 0，( a)b =| a||b|cos() =  |a||b|(cos) = |a||b|cos， (ab) = |a||b|cos，
a( b) =|a|| b|cos() =  |a||b|(cos) = |a||b|cos.
3.分配律：(a + b)c = ac + bc
在平面內(nèi)取一點(diǎn)o，作 = a， = b， = c， ∵a + b （即 ）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cos = |a| cos1 + |b| cos2
∴| c | |a + b| cos =|c| |a| cos1 + |c| |b| cos2， ∴c(a + b) = ca + cb 即：(a + b)c = ac + bc
說明：（1）一般地，(a•b)с≠a（b•с）
（2）a•с＝b•с，с≠0 a＝b
（3）有如下常用性質(zhì)：a2＝｜a｜2，
（a＋b）（с＋d）＝a•с＋a•d＋b•с＋b•d
(a＋b)2＝a2＋2a•b＋b2
三、講解范例：
例1 已知a、b都是非零向量，且a + 3b與7a  5b垂直，a  4b與7a  2b垂直，求a與b的夾角.
解：由(a + 3b)(7a  5b) = 0  7a2 + 16ab 15b2 = 0 ①
(a  4b)(7a  2b) = 0  7a2  30ab + 8b2 = 0 ②
兩式相減：2ab = b2
代入①或②得：a2 = b2
設(shè)a、b的夾角為，則cos = ∴ = 60

共17頁，當(dāng)前第13頁

123456789101112

13

14151617