高中數(shù)學余弦定理的常用證明方法

　　余弦定理是數(shù)學的真理，那該怎么被證明呢？證明的步驟的是怎樣的呢？下面就是百分網小編給大家整理的余弦定理的證明方法內容，希望大家喜歡。

　　余弦定理的'證明方法一

　　在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b

　　則c^2=a^2+b^2-2ab*cosC

　　a^2=b^2+c^2-2bc*cosA

　　b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

　　下面在銳角△中證明第一個等式，在鈍角△中證明以此類推。

　　過A作AD⊥BC于D，則BD+CD=a

　　由勾股定理得：

　　c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^2

　　所以c^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2

　　=(a-CD)^2-(CD)^2+b^2

　　=a^2-2a*CD +(CD)^2-(CD)^2+b^2

　　=a^2+b^2-2a*CD

　　因為cosC=CD/b

　　所以CD=b*cosC

　　所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosC

　　余弦定理的證明方法二

　　在任意△ABC中, 作AD⊥BC.

　　∠C對邊為c，∠B對邊為b，∠A對邊為a -->

　　BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

　　勾股定理可知：

　　AC²=AD²+DC²

　　b²=(sinB*c)²+(a-cosB*c)²

　　b²=sin²B*c²+a²+cos²B*c²-2ac*cosB

　　b²=(sin²B+cos²B)*c²-2ac*cosB+a²

　　b²=c²+a²-2ac*cosB

　　所以，cosB=(c²+a²-b²)/2ac

　　余弦定理的證明方法三

　　如右圖，在ABC中，三內角A、B、C所對的邊分別是a、b、c . 以A為原點，AC所在的直線為x軸建立直角坐標系，于是C點坐標是(b，0)，由三角函數(shù)的定義得B點坐標是(ccosA，csinA) . ∴CB = (ccosA-b，csinA). 現(xiàn)將CB平移到起點為原點A，則AD = CB . 而 |AD| = |CB| = a ，∠DAC = π-∠BCA = π-C ， 根據三角函數(shù)的定義知D點坐標是 (acos(π-C)，asin(π-C)) 即 D點坐標是(-acosC，asinC), ∴ AD = (-acosC，asinC) 而 AD = CB ∴ (-acosC，asinC) = (ccosA-b，csinA) ∴ asinC = csinA …………① -acosC = ccosA-b ……② 由①得 asinA = csinC ，同理可證 asinA = bsinB ， ∴ asinA = bsinB = csinC . 由②得 acosC = b-ccosA ，平方得： a2cos2C = b2-2bccosA + c2cos2A ， 即 a2-a2sin2C = b2-2bccosA + c2-c2sin2A . 而由①可得 a2sin2C = c2sin2A ∴ a2 = b2 + c2-2bccosA . 同理可證 b2 = a2 + c2-2accosB ， c2 = a2 + b2-2abcosC . 到此正弦定理和余弦定理證明完畢。3△ABC的三邊分別為a,b,c,邊BC,CA,AB上的中線分別為ma.mb,mc,應用余弦定理證明:

　　mb=(1/2)[(√2(a^2+c^2)-b^2)]

　　mc=(1/2)[(√2(a^2+b^2)-c^2)]ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

　　=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

　　由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

　　得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達式：

　　ma=(1/2)√[4c^2+a^2-(2a^2+2c^2-2b^2)]

　　=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

　　同理可得：

　　mb=

　　mc=

　　ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

　　=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

　　由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

　　得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達式：

　　ma=(1/2)√[4c^2+a^2-(2a^2+2c^2-2b^2)]

　　=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

　　證畢。