不等式和它的基本性質(zhì)

教學(xué)建議

一、知識結(jié)構(gòu)

二、重點、難點分析

本節(jié)教學(xué)的重點是不等式的三條基本性質(zhì).難點是不等式的基本性質(zhì)3.掌握不等式的三條基本性質(zhì)是進一步學(xué)習(xí)一元一次不等式（組）的解法等后續(xù)知識的基礎(chǔ).

1.不等式的概念

用不等號（“＜”、“＞”或“≠”表示不等關(guān)系的式子，叫做不等式.

另外， （“≥”是把“＞”、“＝”）結(jié)合起來，讀作“大于或等于”，或記作“≮”，亦即“不小于”）、 （“≤”是把“＜”、“＝”結(jié)合起來，讀作“小于或等于”，或記作“≯”，也就是“不大于”）等等，也都是不等式.

2.當(dāng)不等式的兩邊都加上或乘以同一個正數(shù)或負數(shù)時，所得結(jié)果仍是不等式.但變形所得的不等式中不等號的方向，有的與原不等式中不等號的方向相同，有的則不相同.因而敘述時不能籠統(tǒng)說成“……仍是不等式”，而應(yīng)明確變形所得的不等式中不等號的方向.

3.不等式成立與不等式不成立的意義

例如：在不等式 中，字母 表示未知數(shù).當(dāng) 取某一數(shù)值 時， 的值小于2，我們就說當(dāng) 時，不等式 成立；當(dāng) 取另外某一個數(shù)值 時， 的值不小于2，我們就說當(dāng) 時， 不等式不成立.

4.不等式的三條基本性質(zhì)是不等式變形的重要依據(jù)，性質(zhì)1、2類似等式性質(zhì)，不等號的方向不改變，性質(zhì)3不等號的方向改變，這是不等式獨有的性質(zhì)，也是初學(xué)者易錯的地方，因此要特別注意.

一、素質(zhì)教育目標(biāo)

（－）知識教學(xué)點

1.了解不等式的意義.

2.理解什么是不等式成立，掌握不等式是否成立的判定方法.

3.能依題意準(zhǔn)確迅速地列出相應(yīng)的不等式.

（二）能力訓(xùn)練點

1.培養(yǎng)學(xué)生運用類比方法研究相關(guān)內(nèi)容的能力.

2.訓(xùn)練學(xué)生運用所學(xué)知識解決實際問題的能力.

（三）德育滲透點

通過引導(dǎo)學(xué)生分析問題、解決問題，培養(yǎng)他們積極的參與意識，競爭意識.

（四）美育滲透點

通過不等式的學(xué)習(xí)，滲透具有不等量關(guān)系的數(shù)學(xué)美.

二、學(xué)法引導(dǎo)

1.教學(xué)方法：觀察法、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法、討論法.

2.學(xué)生學(xué)法：只有準(zhǔn)確理解不等號的幾種形式的意義，才能在實際中進行靈活的運用.

三、重點·難點·疑點及解決辦法

（一）重點

掌握不等式是否成立的判定方法；依題意列出正確的不等式.

（二）難點

依題意列出正確的不等式

（三）疑點

如何把題目中表示不等關(guān)系的詞語準(zhǔn)確地翻譯成相應(yīng)的數(shù)學(xué)符號.

（四）解決方法

在正確理解不等號的意義后，通過抓住體現(xiàn)不等量的關(guān)系的詞語就能準(zhǔn)確列出相應(yīng)的不等式.

四、課時安排

一課時.

五、教具學(xué)具準(zhǔn)備

投影儀或電腦、自制膠片.

六、師生互動活動設(shè)計

1.創(chuàng)設(shè)情境，通過復(fù)習(xí)有關(guān)等式的知識，自然導(dǎo)入新課的學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.

2.從演示的有關(guān)實驗中，探究相應(yīng)的不等量關(guān)系，從學(xué)生的討論、分析中探究代數(shù)式的不等關(guān)系的幾種常見形式.

3.從師生的互動講解練習(xí)中掌握不等式的有關(guān)知識，并培養(yǎng)學(xué)生具有一定的靈活應(yīng)用能力.

七、教學(xué)步驟

（一）明確目標(biāo)

本節(jié)課主要學(xué)習(xí)依題意正確迅速地列出不等式.

（二）整體感知

通過復(fù)習(xí)等式創(chuàng)設(shè)情境，自然過渡到不等式的學(xué)習(xí)過程中，又通過細心的分析、審題尋找出正確的不等量關(guān)系，從而列出正確的不等式.

（三）教學(xué)過程

1.創(chuàng)設(shè)情境，復(fù)習(xí)導(dǎo)入

我們已經(jīng)學(xué)過等式和它的基本性質(zhì)，請同學(xué)們觀察下面習(xí)題，思考并回答：

（1）什么是等式？等式中“＝”兩側(cè)的代數(shù)式能否交換？“＝”是否具有方向性？

（2）已知數(shù)值：－5， ，3，0，2，7，判斷：上述數(shù)值哪些使等式 成立？哪些使等式 不成立？

學(xué)生活動：首先自己思考，然后指名回答.

教師釋疑：①“＝”表示相等關(guān)系，它沒有方向性，等號兩例可以相互交換，有時不交換只是因為書寫習(xí)慣，例如方程的解 .

②判斷數(shù)取何值，等式 成立和不成立實質(zhì)上是在判斷給定的數(shù)值是否為方程 的解，因為等式 為一元一次方程，它只有惟一解 ，所以等式 只有在 時成立，此外，均不成立.

【教法說明】設(shè)置上述習(xí)題，目的是使學(xué)生溫故而知新，為學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容提供必要的知識準(zhǔn)備.

2.探索新知，講授新課

不等式和等式既有聯(lián)系，又有區(qū)別，大家在學(xué)習(xí)時要自覺進行對比，請觀察演示實驗并回答：演示說明什么問題？

師生活動：教師演示課本第54頁天平稱物重的兩個實例（同時指出演示中物重為 克，每個砝碼重量均為1克），學(xué)生觀察實驗，思考后回答：演示中天平若不平衡說明天平兩邊所放物體的重量不相等.

【教法說明】結(jié)合實際生活中同類量之間具有一種不相等關(guān)系的實例引入不等式的知識，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

在實際生活中，像演示這樣同類量之間具有不相等關(guān)系的例子是大量的、普遍的，這種關(guān)系需用不等式來表示.那么什么是不等式呢？請看：

， ，

， ，

提問：（l）上述式子中有哪些表示數(shù)量關(guān)系的符號？（2）這些符號表示什么關(guān)系？（3）這些符號兩側(cè)的代數(shù)式可以隨意交換位置嗎？（4）什么叫不等式？

學(xué)生活動：觀察式予，思考并回答問題.

答案：（1）分別使用“＜”“＞”“≠”.（2）表示不等關(guān)系.（3）不可以隨意互換位置.（4）用不等號表示不等關(guān)系的式子叫不等式.

不等號除了“＜”“＞”“≠”之外，還有無其他形式？

學(xué)生活動：同桌討論，嘗試得到結(jié)論.

教師釋疑：①不等號除“＜”“＞”“≠”外，還有“≥”“≤”兩種形式（“≥”是指“＞”與“＝”結(jié)合起來，讀作“大于或等于”，也可理解成“不小于”；同理“≤”讀作“小于或等于”，也可理解成“不大于”.）現(xiàn)在，我們來研究用“＞”“＜”表示的不等式.

②不等號“＞”“＜”表示不等關(guān)系，它們具有方向性，因而不等號兩側(cè)不可互交換，例如 ，不能寫成 .

【教法說明】①通過學(xué)生自己觀察思考，進而猜測出不等式的意義，這種教法充分發(fā)揮了學(xué)生的主體作用.

②通過教師釋疑，學(xué)生對不等號的種類及其使用有了進一步的了解.

3.嘗試反饋，鞏固知識

同類量之間的大小關(guān)系常用“＞”“＜”來表示，請同學(xué)們根據(jù)自己對不等式的理解，解答習(xí)題.

（1）用“＜”或“＞”境空.（搶答）

①4___－6；②－1____0③－8___－3；④－4.5___－4.

（2）用不等式表示：

① 是正數(shù)；② 是負數(shù)；③ 與3的和小于6；④ 與2的差大于－1；⑤ 的4倍大于等于7；⑥ 的一半小于3.

（3）學(xué)生獨立完成課本第55頁例1.

注意：不是所有同類量都可以比較大小，例如不在同一直線上的兩個力，它們只有等與不等關(guān)系，而無大小關(guān)系，這一點無需向?qū)W生說明.

學(xué)生活動：第（l）題搶答；第（2）題在練習(xí)本上完成，由兩個學(xué)生板演，完成之后，由學(xué)生判斷板演是否正確

教師活動：巡視輔導(dǎo)，統(tǒng)計做題正確的人數(shù)，同時給予肯定或鼓勵.

【教法說明】①第（1）題是為了調(diào)動積極性，強化競爭意識；第（2）題則是為了訓(xùn)練學(xué)生書面表述能力.

②教學(xué)時要注意引導(dǎo)學(xué)生將題目中表示不等關(guān)系的詞語翻譯成相應(yīng)的不等號，例如“小于”用“＜”表示，“大于等于”用“≥”表示.

下面研究什么使不等式成立，請同學(xué)們嘗試解答習(xí)題：

已知數(shù)值；－5， ，3，0，2，－2.5，5.2；

（1）判斷：上述數(shù)值哪些使不等式 成立？哪些使 不成立？

（2）說出幾個使不等式 成立的 的數(shù)值；說出幾個使 不成立的 數(shù)值.

學(xué)生活動：同桌研究討論，嘗試得到答案.

教師活動：引導(dǎo)學(xué)生回答，使未知數(shù) 的取值不僅有正整數(shù)，還有負數(shù)、零、小數(shù).

師生總結(jié)：判定不等式是否成立的方法就是：如果不等號兩側(cè)數(shù)值的大小關(guān)系與不等另一致，稱不等式成立；否則不成立.例如對于 ；當(dāng) 時， 的值小于6，就說 時不等式 成立；當(dāng) 時， 的值不小于6，就說 時， 不成立.

【教法說明】通過學(xué)生自己舉例，培養(yǎng)他們運用已有的知識探索新知識的意識，同時也活躍了課堂氣氛.

4.變式訓(xùn)練，培養(yǎng)能力

（1）當(dāng) 取下列數(shù)值時，不等式 是否成立？

－7，0，0.5，1， ，10

（2）①用不等式表示： 與3的和小于等于（不大于）6；

②寫出使上述不等式成立的幾個 的數(shù)值；

③ 取何值時，不等式 總成立？取何值時不成立？

學(xué)生在練習(xí)本上完成1題，2題，同桌訂正；教師抽查，強調(diào)注意事項.

【教法說明】

①使學(xué)生進一步了解使不等式成立的未知數(shù)的值可以有多個，為6.2講解不等式的解集做準(zhǔn)備.

②強化思維能力和歸納總結(jié)能力.

（四）總結(jié)、擴展

學(xué)生小結(jié)，師生共同完善：

本節(jié)課的重點內(nèi)容：1.掌握不等式是否成立的判斷方法；2.依題意列出正確的不等式.

注意：列不等式時，要注意把表示不等關(guān)系的詞語用相慶的不等號來表示.例如“不大于”用“≤”表示，而不用“＜”表示，這一點學(xué)生容易出現(xiàn)錯誤.

八、布置作業(yè)

（一）必做題：P61 A組1，2，3.

（二）選做題：

1.單項選擇

（1）絕對值小于3的非負整數(shù)有（ ）

A.1，2 B.0，1 C.0，1，2 D.0，1，3

（2）下列選項中，正確的是（ ）

A. 不是負數(shù)，則

B. 是大于0的數(shù)，則

C. 不小于－1，則

D. 是負數(shù)，則

2.依題意列不等式

（1） 的3倍與7的差是非正數(shù)

（2） 與6的和大于9且小于12

（3）A市某天的最低氣溫是－5℃，最高氣溫是10℃，設(shè)這天氣溫為 ℃，則 滿足的條件是____________________.

【設(shè)計說明】1.再現(xiàn)本節(jié)重點，鞏固所學(xué)知識.

2.有層次性地布置作業(yè)，可以調(diào)動全體學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，這也是實施素質(zhì)教育的具體體現(xiàn).

參考答案

1.＜，＜，＞，＞，＜，＜

2.5.2，6，8.3，11是 的解，－10，－7，－4. 5，0，3不是解

3.（1） （2） （3） （4）

（二）1.（1）C （2）D

2.（1） （2） （3）

九、板書設(shè)計

6.1 （一）

一、什么叫不等式？

用：“＞”“＜”“≠”“≥”“≤”表示不等關(guān)系的式子叫不等式.

重點研究“＞”“＜”

二、依題意列不等式

“大于”“＞”；“小于”“＜”；“不大于”“≤”；“不小于”“≥”；

三、不等式 能否成立

時， （√）； 時， （×）；

時， （×）

四、歸納總結(jié)重點

（一）依題意列不等式.

（二）會判斷不等式是否成立.

十、背景知識與課外閱讀

費 馬 數(shù)

費馬（P.de Fermat）是17世紀(jì)法國著名數(shù)學(xué)家，是法國南部土魯斯議會的議員，他在數(shù)論、解析幾何、概率論三個方面都有重要貢獻.他無意發(fā)表自己的著作，平生沒有完整的著作問世.去世后，人們才把他寫在書頁空白處和給朋友的書信中，以及一些陳舊手稿中的論述收集匯編成書.費馬特別愛好數(shù)論，在這方面有好幾項成就，如費馬數(shù)、費馬小定理、費馬大定理等.

費馬于1640年前后，在驗算了形如

的數(shù)當(dāng) 的值分別為

3，5，17，257，65537

后（請注意這些數(shù)均為質(zhì)數(shù)）便宣稱：對于為任何自然數(shù)，是質(zhì)數(shù).

大約過了100年，1732年數(shù)學(xué)家歐拉（L.Euler）指出

.

從而否定了費馬的上述結(jié)論（猜想）.

爾后，人們又對 進行了大量研究，發(fā)現(xiàn)在 中，除了上述五個質(zhì)數(shù)外，人們尚未再發(fā)現(xiàn)新的質(zhì)數(shù).

雖然費馬的這個猜想是錯誤的，但為了紀(jì)念這位數(shù)學(xué)家，人們?nèi)园堰@種形式的數(shù)叫做費馬數(shù).