聚焦核心概念落實核心素養(yǎng)

——《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2023年版）》內(nèi)容結(jié)構(gòu)化分析

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2023年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）在課程理念、目標(biāo)、內(nèi)容等方面都有明顯變化，明確落實立德樹人的根本任務(wù)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科育人價值的課程理念，確定了核心素養(yǎng)導(dǎo)向的課程目標(biāo)。課程內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化是課程修訂的重要理念，在這一理念下數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的結(jié)構(gòu)和具體內(nèi)容都有調(diào)整，理解和把握課程內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化特征有助于準(zhǔn)確把握《標(biāo)準(zhǔn)》，并有效落實于教學(xué)實踐。

一、《標(biāo)準(zhǔn)》內(nèi)容結(jié)構(gòu)化的特征分析

為體現(xiàn)核心素養(yǎng)導(dǎo)向的課程目標(biāo)，根據(jù)課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化整合的理念，《標(biāo)準(zhǔn)》在內(nèi)容結(jié)構(gòu)上進行了調(diào)整，在“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”“綜合與實踐”四個領(lǐng)域下整合或調(diào)整了學(xué)習(xí)主題。

小學(xué)由原來的兩個學(xué)段調(diào)整為三個學(xué)段，各學(xué)段的主題變化較大。初中階段的主題變化不大，某些表述有所調(diào)整，如事件的概率改成隨機事件的概率�！熬C合與實踐”領(lǐng)域雖沒有內(nèi)容主題，但變化較大的是以跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)為主，并將部分知識內(nèi)容融入其中。

（一）內(nèi)容結(jié)構(gòu)化體現(xiàn)了學(xué)習(xí)內(nèi)容的整體性

課程內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化通過主題整合的方式呈現(xiàn)，體現(xiàn)了學(xué)習(xí)內(nèi)容的整體性。

在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，小學(xué)三個學(xué)段的主題由原來的“數(shù)的認(rèn)識”“數(shù)的運算”“常見的量”“探索規(guī)律”“式與方程”“正比例、反比例”六個整合為“數(shù)與運算”和“數(shù)量關(guān)系”兩個。這不只是形式上的變化，更是從學(xué)科本質(zhì)和學(xué)生學(xué)習(xí)視角對相關(guān)內(nèi)容的統(tǒng)整，更好地體現(xiàn)了學(xué)科內(nèi)容的本質(zhì)特征和學(xué)生學(xué)習(xí)的需要。“數(shù)與運算”主題將數(shù)的認(rèn)識和數(shù)的運算兩個核心內(nèi)容進行整合，將數(shù)與運算作為一個整體進行組織，體現(xiàn)二者之間的密切關(guān)聯(lián)。小學(xué)階段的運算都是數(shù)的運算，包括整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)運算。數(shù)與運算不可分，數(shù)的認(rèn)識包含數(shù)的抽象表達、數(shù)的大小比較等，自然數(shù)從小到大就是一個累加的過程，從1開始每增加一個后繼（+1）就得到一個新的數(shù)，其中蘊含了加的運算，數(shù)的大小比較也與運算密切相關(guān)。運算的重點在于理解算理、掌握算法，算理的理解最終都要追溯到數(shù)的意義。如加法運算，整數(shù)和小數(shù)的加法是相同數(shù)位上的數(shù)相加，分?jǐn)?shù)的加法是相同分母的分?jǐn)?shù)直接相加，也就是分?jǐn)?shù)單位相同的分?jǐn)?shù)相加，即分母不變、分子相加。整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的加法計算都可以理解為相同計數(shù)單位的個數(shù)相加。將數(shù)與運算整合成一個主題，有助于從整體上理解數(shù)和運算，為學(xué)生從整體上把握和理解數(shù)學(xué)知識與方法，形成數(shù)感、符號意識、運算能力、推理意識等核心素養(yǎng)提供基礎(chǔ)。“數(shù)量關(guān)系”主題突出了問題解決的內(nèi)容載體和問題解決能力培養(yǎng)。常見的數(shù)量關(guān)系、式與方程、正比例、反比例和探索規(guī)律等內(nèi)容得到整合（方程移到第四學(xué)段），這些內(nèi)容的本質(zhì)都是數(shù)量關(guān)系。從數(shù)量關(guān)系的視角理解和把握這些內(nèi)容的教學(xué)，有助于從整體上認(rèn)識這些內(nèi)容的核心概念。數(shù)量關(guān)系的重點在于用數(shù)和符號對現(xiàn)實情境中數(shù)量之間的關(guān)系和規(guī)律進行表達，凸顯用數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實情境中的問題。在數(shù)量關(guān)系主題下，包含了用四則運算的意義解決實際問題，理解和運用常見的數(shù)量關(guān)系解決問題，從數(shù)量關(guān)系的角度理解字母表示關(guān)系和規(guī)律、比和比例等內(nèi)容。初中第四學(xué)段的“數(shù)與式”也是數(shù)與運算的延伸，本質(zhì)上是數(shù)的認(rèn)識擴展，以及數(shù)與式的運算�！胺匠膛c不等式”“函數(shù)”兩個主題要求學(xué)生較為系統(tǒng)地學(xué)習(xí)數(shù)量關(guān)系，并進一步學(xué)習(xí)變量之間的數(shù)量關(guān)系，探索事物的變化規(guī)律。從這個意義上說，義務(wù)教育階段的“數(shù)與運算”和“數(shù)與式”構(gòu)成了一個統(tǒng)整的主題；“數(shù)量關(guān)系”和“方程與不等式”“函數(shù)”構(gòu)成了一個統(tǒng)整的主題。

在“圖形與幾何”領(lǐng)域，小學(xué)三個學(xué)段的主題整合為“圖形的認(rèn)識與測量”“圖形的位置與運動”。圖形的認(rèn)識重點是圖形特征的探索與描述，圖形的測量是對圖形大小的度量，圖形的認(rèn)識與圖形測量需要從整體上把握。圖形的認(rèn)識是對物體形狀的抽象圖形進行表示，重點是認(rèn)識圖形的特征。圖形特征的認(rèn)識與圖形的測量有密切關(guān)系，如長方形相對的邊相等這一特征，需要通過測量確認(rèn)其正確性。圖形的測量離不開對圖形的認(rèn)識，圖形測量的過程與結(jié)果都與具體圖形的特征密切相關(guān)。探索圖形的周長、面積、體積的問題，一定要與具體的圖形建立聯(lián)系，對圖形特征的把握直接影響圖形測量的學(xué)習(xí)。如學(xué)生在學(xué)習(xí)長方形面積時，在一個長和寬都是整厘米的長方形中，擺滿面積單位（1平方厘米的小正方形），面積單位的個數(shù)就是其面積。這樣的操作之所以可行，與長方形的四個角都是直角有關(guān)。探討平行四邊形面積就沒有這么簡單，直接擺小正方形就行不通，要將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形才可以。圖形的認(rèn)識和測量的整合，凸顯了兩個主題內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系，有助于學(xué)生從整體上理解和掌握這些內(nèi)容，并使學(xué)生形成知識與方法的遷移。圖形的位置與圖形的運動也是有密切關(guān)系的內(nèi)容。在小學(xué)，圖形的位置重點是用一對有序數(shù)對描述一個點的位置（距離和方向也可以看作一對數(shù)），圖形的運動主要是圖形的平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱。要認(rèn)識到圖形運動本質(zhì)上是圖形上點的位置的變化，這種變化主要是平移或旋轉(zhuǎn)，確定圖形運動前的位置與運動后的位置的關(guān)系，了解其中的變化和不變，也就是點的位置的變或不變，所以圖形的運動與圖形的位置有密切的關(guān)系。初中第四學(xué)段“圖形的性質(zhì)”是“圖形的認(rèn)識與測量”的延伸，學(xué)生要以抽象的方式進一步探索小學(xué)階段涉及的圖形，從基本事實出發(fā)推導(dǎo)圖形的幾何性質(zhì)和定理，理解和掌握尺規(guī)作圖的基本原理和方法�！皥D形的變化”和“圖形與坐標(biāo)”是小學(xué)階段“圖形的位置與運動”的延伸，學(xué)生要進一步學(xué)習(xí)圖形在軸對稱、旋轉(zhuǎn)和平移時的變化規(guī)律和變化中的不變量，以及用代數(shù)的方法表達圖形的特征，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合。義務(wù)教育階段圖形與幾何的相關(guān)主題構(gòu)成一個整體。

在“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域，小學(xué)三個學(xué)段的主題調(diào)整為“數(shù)據(jù)分類”“數(shù)據(jù)的收集、整理與表達”和“隨機現(xiàn)象發(fā)生的可能性”三個，重點強調(diào)數(shù)據(jù)的處理。收集、整理與表達是數(shù)據(jù)處理的主要方式，更有助于學(xué)生數(shù)據(jù)意識的形成。原課標(biāo)中的“分類”調(diào)整為“數(shù)據(jù)分類”，與“數(shù)據(jù)的收集、整理與表達”一致，二者構(gòu)成一個整體，都是以數(shù)據(jù)為研究對象，前者是后者必要的準(zhǔn)備。學(xué)生可以從整體上理解統(tǒng)計離不開數(shù)據(jù)，二者都是用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄌ幚頂?shù)據(jù)，從而逐步形成數(shù)據(jù)意識。初中第四學(xué)段的主題“抽樣與數(shù)據(jù)分析”和“隨機事件的概率”是小學(xué)三個學(xué)段主題的延伸，五個主題構(gòu)成一個整體。

“綜合與實踐”領(lǐng)域強調(diào)解決實際問題和跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)，以主題式學(xué)習(xí)和項目式學(xué)習(xí)的方式設(shè)計與組織。義務(wù)教育階段對這一領(lǐng)域進行了整體設(shè)計，同樣構(gòu)成一個整體。

（二）內(nèi)容結(jié)構(gòu)化反映學(xué)科本質(zhì)的一致性

內(nèi)容結(jié)構(gòu)化通過學(xué)習(xí)主題的重組實現(xiàn)，四個領(lǐng)域下的主題不僅體現(xiàn)了內(nèi)容的整體性，還反映了主題內(nèi)學(xué)科本質(zhì)的一致性。學(xué)科本質(zhì)一致性以主題的核心概念為統(tǒng)領(lǐng)，以一個或幾個核心概念貫穿整個主題，在不同學(xué)段表現(xiàn)的水平不同，但本質(zhì)特征具有一致性，指向的核心素養(yǎng)也具有一致性。以“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域為例，對于“數(shù)與運算”主題，“數(shù)的意義與表達”“加的意義”“相等”“運算律”等是核心概念（大概念、大觀念或關(guān)鍵概念），其中最重要的概念是“數(shù)的意義與表達”，整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的認(rèn)識與運算都與相應(yīng)數(shù)的意義與表達密切相關(guān)�！皵�(shù)的認(rèn)識”中從整數(shù)到分?jǐn)?shù)、小數(shù)，都是從數(shù)量到數(shù)的抽象，核心的概念就是其意義和用抽象符號表達的方式。自然數(shù)表達為“十進制計數(shù)法”，用0、1……9這十個符號和以十為基底的位值制表達所有的數(shù)，如235表達的是2個“百”、3個“十”和5個“一”，分?jǐn)?shù)和小數(shù)也是用抽象的方式表達。“數(shù)的運算”中，算理和算法的理解最終都追溯到數(shù)的意義，同樣具有一致性。在“數(shù)與運算”主題下，幾乎所有的問題都可以用這樣一個或幾個核心概念去理解，這樣少量的幾個核心概念反映了這一主題的學(xué)科本質(zhì)。在對該主題內(nèi)容持續(xù)的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生會不斷利用這些概念并通過遷移解決新的問題，相關(guān)的核心素養(yǎng)“數(shù)感”“符號意識”“推理意識”“運算能力”不斷得到發(fā)展。初中第四學(xué)段的“數(shù)與式”是小學(xué)階段“數(shù)與運算”主題的延續(xù)，數(shù)的認(rèn)識拓展到有理數(shù)。運算不僅包括數(shù)的運算，還拓展到式的運算，但主題的學(xué)科本質(zhì)是一致的，幾個核心概念也貫穿在主題內(nèi)容之中，學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展也具有一致性。

對主題學(xué)科本質(zhì)的分析，特別是主題核心概念的確定，是值得研究的重要話題。上面僅是對“數(shù)與運算”主題學(xué)科本質(zhì)一致性的簡要分析。對“數(shù)量關(guān)系”“圖形的認(rèn)識與測量”“圖形的位置與運動”“數(shù)據(jù)的收集、整理與表達”等主題學(xué)科本質(zhì)一致性的理解，以及相關(guān)核心概念的提煉，需要在教學(xué)實踐中不斷探索。

（三）內(nèi)容結(jié)構(gòu)化表現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的階段性

根據(jù)學(xué)生發(fā)展年齡特征和學(xué)習(xí)循序漸進的需要，義務(wù)教育階段課程內(nèi)容各學(xué)習(xí)主題以螺旋式上升的方式被安排在四個學(xué)段。不同學(xué)段提出了相應(yīng)的水平要求，表現(xiàn)了學(xué)生學(xué)習(xí)的階段性特征，這體現(xiàn)在各主題不同學(xué)段的“內(nèi)容要求”“學(xué)業(yè)要求”和“學(xué)段目標(biāo)”之中。以“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域“數(shù)量關(guān)系”主題為例，在小學(xué)三個學(xué)段表述為“數(shù)量關(guān)系”，初中第四學(xué)段的“方程與不等式”和“函數(shù)”則是小學(xué)階段數(shù)量關(guān)系的延伸和發(fā)展，在體現(xiàn)內(nèi)容的整體性和學(xué)科本質(zhì)一致性的同時，四個學(xué)段內(nèi)容的選擇和設(shè)計呈現(xiàn)明顯的階段性。對比第三學(xué)段“數(shù)量關(guān)系”主題和第四學(xué)段“方程與不等式”主題的部分學(xué)業(yè)要求，就可以發(fā)現(xiàn)它們的階段性特征（見表1）。

從數(shù)量關(guān)系的角度看，兩個主題的學(xué)科本質(zhì)具有一致性，但有明顯的階段性特征。例如，關(guān)于等式的基本性質(zhì)，第三學(xué)段的要求是“在具體問題中感受等式的基本性質(zhì)”，第四學(xué)段則是“掌握等式的基本性質(zhì)”；關(guān)于代數(shù)思維，第三學(xué)段的要求是“在具體情境中，用字母或含有字母的式子表示數(shù)量之間的關(guān)系、性質(zhì)和規(guī)律”，第四學(xué)段則是“根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，理解方程的意義”。了解各主題的階段性要求，不僅對特定學(xué)段內(nèi)容的理解和教學(xué)要求有重要意義，而且有助于教師了解同樣主題在不同學(xué)段的特征，從而分析學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和未來學(xué)習(xí)的需求。階段性特征也體現(xiàn)在同一主題下對不同學(xué)段核心素養(yǎng)的要求上。例如，“數(shù)量關(guān)系”和“方程與不等式”主題，第三學(xué)段重點強調(diào)幾何直觀、模型意識（在內(nèi)容要求中）和初步的應(yīng)用意識，第四學(xué)段強調(diào)建立模型觀念。

二、課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化的現(xiàn)實意義

《標(biāo)準(zhǔn)》強調(diào)，課程內(nèi)容的組織“重點是對內(nèi)容進行結(jié)構(gòu)化整合，探索發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的路徑”，這是本次課程修訂的重要理念。義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的結(jié)構(gòu)化特征，在內(nèi)容設(shè)計上體現(xiàn)了整體性、一致性和階段性。為什么要對內(nèi)容進行結(jié)構(gòu)化整合？內(nèi)容結(jié)構(gòu)化有什么現(xiàn)實意義？下面對此作一些簡要分析。

課程內(nèi)容組織有多種模式，遵循學(xué)科的邏輯、學(xué)生發(fā)展的邏輯抑或解決社會問題的取向，不同設(shè)計理念構(gòu)成不同樣態(tài)的課程結(jié)構(gòu)。課程內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化是綜合考慮各方面因素進行的課程組織方式。重視學(xué)科結(jié)構(gòu)，是以學(xué)科邏輯為主線，以有助于學(xué)生理解和促進學(xué)生發(fā)展為目標(biāo)的課程設(shè)計理念�！皩W(xué)科結(jié)構(gòu)的學(xué)說對于課程的規(guī)劃和組織具有指導(dǎo)作用和實際影響。內(nèi)容的連貫與綜合、教學(xué)方法和學(xué)習(xí)方式都與所采用的結(jié)構(gòu)概念聯(lián)系著�！痹S多教育學(xué)者對其有明確的論述，如布魯納在《教育過程》一書中對學(xué)科結(jié)構(gòu)的價值、意義和方法作了系統(tǒng)闡述，施瓦布強調(diào)學(xué)科內(nèi)容結(jié)構(gòu)在課程教學(xué)設(shè)計中的作用�？v觀學(xué)科結(jié)構(gòu)研究的理論，結(jié)合本次課程修訂提倡的理念，數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化具有以下幾個方面的意義。

（一）有助于更好地理解和掌握學(xué)科的基本原理

課程內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化，目的在于體現(xiàn)學(xué)習(xí)內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)，使學(xué)生更好地理解一個學(xué)科的基本原理，進而促進其對學(xué)習(xí)內(nèi)容的掌握和能力的發(fā)展。將學(xué)科內(nèi)容恰當(dāng)?shù)亟M織起來，進而形成適應(yīng)學(xué)生理解和遷移的知識結(jié)構(gòu)，避免學(xué)生簡單孤立地學(xué)習(xí)知識與方法，使其在學(xué)習(xí)過程中建立起合理的結(jié)構(gòu)體系，這是課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化的基本理念。布魯納認(rèn)為，“簡單地說，學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)就是學(xué)習(xí)事物是怎樣相互關(guān)聯(lián)的”。例如，在數(shù)學(xué)中，“代數(shù)學(xué)就是把已知數(shù)同未知數(shù)用方程式連接起來，使得未知數(shù)成為可知的一種方法。解這些方程式所包含的三個基本法則，是交換律、分配律和結(jié)合律。學(xué)生一旦掌握了這三個基本法則所體現(xiàn)的思想，他就能認(rèn)識到，要解的‘新’方程式完全不是新的，它不過是一個熟悉的題目的變形罷了。就遷移來說，一個學(xué)生是否知道這些運算法的正式名稱，比起他是否能夠應(yīng)用它們來，是次要的”。學(xué)習(xí)內(nèi)容的這種關(guān)聯(lián)是通過學(xué)科的核心概念實現(xiàn)的，在結(jié)構(gòu)化的內(nèi)容體系中，知識之間不是孤立的互不相干的，學(xué)科知識之間是相互關(guān)聯(lián)的，打通知識之間關(guān)聯(lián)的鑰匙就是學(xué)科的基本原理。布魯納強調(diào)教學(xué)要注重基本觀念的運用，認(rèn)為“一門課程在它的教學(xué)過程中，應(yīng)反復(fù)回到這些基本觀念，以這些觀念為基礎(chǔ)，直至學(xué)生掌握了與這些觀念相適應(yīng)的一整套體系為止”。學(xué)科結(jié)構(gòu)化的目的是使學(xué)習(xí)者了解所學(xué)內(nèi)容的關(guān)聯(lián)，而不是對個別知識的掌握。學(xué)習(xí)者從內(nèi)容的關(guān)聯(lián)中體會其中的核心概念（或基本觀念），并將這些核心概念在其后的學(xué)習(xí)中反復(fù)運用和強化。施瓦布對學(xué)科結(jié)構(gòu)也有類似的觀點，認(rèn)為“學(xué)科結(jié)構(gòu)是部分地由規(guī)定的概念體系所構(gòu)成”“不同的學(xué)科具有極其不同的概念結(jié)構(gòu)”。近年來有關(guān)學(xué)科的大概念、大觀念，學(xué)科核心概念的進階等方面的研究重點，都與學(xué)科結(jié)構(gòu)的理念一脈相承。

前面分析的《標(biāo)準(zhǔn)》內(nèi)容結(jié)構(gòu)整體性特征體現(xiàn)了這樣的理念，一個主題內(nèi)知識與方法之間構(gòu)成一個整體，這些內(nèi)容通過核心概念建立起聯(lián)系，使具體內(nèi)容的學(xué)習(xí)不再單一而碎片化，而是強調(diào)在具體內(nèi)容中體現(xiàn)基本原理的核心概念的理解和運用。例如，數(shù)與運算中“數(shù)的意義與表達”“相等”“運算律”等是核心概念，這些核心概念是學(xué)習(xí)相關(guān)內(nèi)容的關(guān)鍵，在學(xué)習(xí)具體內(nèi)容時，學(xué)習(xí)者將不斷地回到這些核心概念，從而在整體上理解掌握相關(guān)的內(nèi)容。

（二）有助于實現(xiàn)知識與方法的遷移

內(nèi)容結(jié)構(gòu)化使得零散的內(nèi)容通過核心概念建立關(guān)聯(lián)。核心概念（關(guān)鍵概念、大概念、大觀念）可以把主題內(nèi)零散的內(nèi)容聯(lián)系起來，促進知識與方法的遷移�！昂诵母拍钍强梢园杨I(lǐng)域或主題內(nèi)，甚至跨越不同領(lǐng)域、不同主題的更為基本的概念、方法和問題聯(lián)系起來的具有支配性的概念，是促進有意義的、聯(lián)系緊密的知識的一個實用而強大的工具。例如，‘等分’這個核心概念（一個整體可以被分為大小相等的幾個部分）為兒童發(fā)明用于公平分配物品的非正式方法提供了概念基礎(chǔ)，等分（類比公平分配的非正式的形式）就為理解包括除法、分?jǐn)?shù)、度量和平均分在內(nèi)的正式概念奠定了基礎(chǔ)�！眱�(nèi)容結(jié)構(gòu)化可以通過核心概念更好地理解和掌握一類內(nèi)容中基本的概念和方法。核心概念幫助學(xué)生更好地理解和強化更多的知識與方法，并將其運用于新場景的學(xué)習(xí)之中，實現(xiàn)知識與方法的遷移。學(xué)生學(xué)到的是以核心概念為線索的一套學(xué)科內(nèi)容體系，而不是簡單的零碎的知識和技能。在布魯納有關(guān)學(xué)科結(jié)構(gòu)的理論中，人們所熟知的“任何學(xué)科的基本原理都可以用某種形式教任何年齡的任何人”的觀點，聽起來似乎有些極端，但從內(nèi)容結(jié)構(gòu)化的視角理解，這里的基本原理并不是形式化的術(shù)語表達的抽象的學(xué)科概念，而是支撐某一類知識體系的核心概念，這些核心概念的表現(xiàn)形式可以處于不同層次和不同水平。對于不同年齡的學(xué)生，可以用恰當(dāng)?shù)姆绞绞顾麄冊诓煌�水平上認(rèn)識其表達方式，如數(shù)學(xué)中的“相等”是一個核心概念，對于用“=”來表達相等的關(guān)系就有不同水平，有研究將其分為“機械的操作型，靈活的操作型，基礎(chǔ)的關(guān)系型，互相比較型”等不同水平�！读x務(wù)教育課程方案（2023年版）》提出的“加強課程內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系，突出課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，探索主題、項目、任務(wù)等內(nèi)容組織方式”正是反映了課程設(shè)計的結(jié)構(gòu)化理念。早在20世紀(jì)90年代，北京的特級教師馬芯蘭就以結(jié)構(gòu)化的思想梳理了小學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念，并以核心概念為線索，“由十幾個最基本的概念為知識的核心，把小學(xué)中的主要數(shù)學(xué)知識聯(lián)系了起來�！�和’這個概念則是知識的核心的核心。在學(xué)生學(xué)習(xí)‘10以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識’時就開始以滲透的手段逐步建立‘和’的概念，通過滲透‘和’的概念學(xué)習(xí)‘10以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識’‘加、減計算’‘理解加減關(guān)系’‘加減求未知數(shù)’‘簡單應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)’”。馬芯蘭通過數(shù)學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化，以核心概念為線索構(gòu)建學(xué)習(xí)內(nèi)容體系，對“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中的540多個概念之間的從屬關(guān)系進行了深入研究，將起決定作用的十幾個核心概念提煉出來，形成了一個完整的知識結(jié)構(gòu)體系。用較少的時間使學(xué)生理解核心概念，可提高小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量和效率，通過知識與方法的遷移實現(xiàn)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)減負增效。

近年來有許多關(guān)于“大概念”及其在學(xué)科課程教學(xué)中作用的研究，促進人們深入地思考其理論與實踐�！皬V義的大概念指的是，在認(rèn)知結(jié)構(gòu)化思想指導(dǎo)下的課程設(shè)計方式，是為避免課程內(nèi)容零散龐雜，用居于學(xué)科基本結(jié)構(gòu)的核心概念或若干居于課程核心位置的抽象概念整合相關(guān)知識、原理、技能、活動等課程內(nèi)容要素，形成有關(guān)聯(lián)的課程內(nèi)容組塊。狹義的大概念同樣是出于課程結(jié)構(gòu)化的目的，同時強調(diào)學(xué)生對核心概念本質(zhì)的理解，特指對不同層級核心概念理解后的推論性表達�！边@里提到的“大概念”“核心概念”都與課程的結(jié)構(gòu)化密切相關(guān)，只有在具有結(jié)構(gòu)化特征的學(xué)科內(nèi)容主題中，核心概念才有可能得到凸顯，發(fā)揮引領(lǐng)、深化的作用，帶來持續(xù)發(fā)展。

以核心概念為線索的課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，有助于課程實施者更好地把握課程內(nèi)容本質(zhì)，在分析和提煉學(xué)習(xí)主題核心概念的基礎(chǔ)上，理解具體學(xué)習(xí)內(nèi)容的學(xué)科本質(zhì)，使學(xué)生深刻理解和掌握學(xué)習(xí)內(nèi)容，并在此基礎(chǔ)上實現(xiàn)知識與方法的遷移，從而促進學(xué)生核心素養(yǎng)的形成。結(jié)構(gòu)化的課程內(nèi)容可以促進課堂教學(xué)的改革，實現(xiàn)“用少量主題的深度覆蓋去替換學(xué)科領(lǐng)域中對所有主題的表面覆蓋，這些少量主題使得學(xué)科中的關(guān)鍵概念得以理解”。這樣的教學(xué)設(shè)計之所以能夠?qū)崿F(xiàn)少量主題的深度覆蓋替換所有主題的表面覆蓋，是因為利用知識與方法的遷移，而在遷移中發(fā)揮作用的則是“關(guān)鍵概念”，這里的關(guān)鍵概念與核心概念是一致的。

（三）有助于準(zhǔn)確把握核心概念的進階

學(xué)習(xí)進階的研究是針對學(xué)科的核心概念或大概念展開的，在物理、化學(xué)、生物等科學(xué)類學(xué)科中有大量的研究。數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)進階研究在國外由來已久。盡管數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)進階研究與科學(xué)領(lǐng)域的有所不同，但在本質(zhì)上具有共同的特征。國內(nèi)對于數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)進階的研究雖然剛剛起步，但也有學(xué)者對數(shù)與代數(shù)、統(tǒng)計與概率等主題中核心概念的進階有系列的研究。學(xué)習(xí)進階研究重點關(guān)注四個必備的要素：大概念及對大概念的解析；界定清晰的各進階層級；檢驗學(xué)生所處水平的測評工具；促進學(xué)生發(fā)展的教學(xué)干預(yù)手段。從某種意義上說，學(xué)習(xí)進階的研究可以看作布魯納學(xué)科結(jié)構(gòu)理論的延續(xù)與教學(xué)實踐的支持。布魯納認(rèn)為，教授學(xué)科基本結(jié)構(gòu)有四個重要意義：一是懂得基本原理，使得學(xué)科更容易理解；二是使學(xué)習(xí)的內(nèi)容更容易記憶；三是更容易實現(xiàn)知識和方法的遷移；四是縮小高級知識與低級知識之間的差別。這些關(guān)于學(xué)科結(jié)構(gòu)重要性的觀點，與學(xué)習(xí)進階的基本要素有異曲同工之處。就學(xué)科內(nèi)容結(jié)構(gòu)化的現(xiàn)實意義而言，我們還需在上述學(xué)科結(jié)構(gòu)的四個意義的基礎(chǔ)上增加一條，就是結(jié)構(gòu)化的內(nèi)容對于學(xué)生形成核心素養(yǎng)的重要意義。以核心概念為主線的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)主題，有助于課程實施者從學(xué)習(xí)進階的視角整體理解學(xué)生不同階段的學(xué)習(xí)內(nèi)容，明確每一個階段完成的學(xué)習(xí)任務(wù)所達成相關(guān)核心概念的階段性水平。隨著學(xué)習(xí)進程的遞進，學(xué)習(xí)內(nèi)容不斷擴展，相關(guān)核心概念的水平不斷提升，從而使學(xué)生的核心素養(yǎng)逐步形成。結(jié)構(gòu)化的內(nèi)容會使學(xué)生的學(xué)習(xí)變得更輕松，更持久，“一個人越是具有學(xué)科結(jié)構(gòu)的觀念，就越能毫不疲乏地完成內(nèi)容充實和時間較長的學(xué)習(xí)情節(jié)”。在這樣的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)習(xí)建立積極的情感體驗，而持久的學(xué)習(xí)經(jīng)歷也有助于活動經(jīng)驗的積累和核心素養(yǎng)的形成。內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，凸顯學(xué)習(xí)主題的整體性和一致性，并通過主題中起重要作用的核心概念來實現(xiàn)。

內(nèi)容結(jié)構(gòu)化的階段性特征凸顯學(xué)習(xí)進階的進程，學(xué)習(xí)進階的階段性特征通過關(guān)鍵內(nèi)容的教學(xué)體現(xiàn)出來。課程內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化提供了以核心概念為線索的促進學(xué)習(xí)進階的路徑，透過關(guān)鍵內(nèi)容的深度學(xué)習(xí)實現(xiàn)核心概念的理解與進階。以“數(shù)與運算”主題為例，“數(shù)的意義與表示”可以看作一個核心概念，其核心要義是如何從數(shù)量抽象為數(shù)，如何將數(shù)用符號表達出來。在義務(wù)教育階段的四個學(xué)段中，學(xué)生學(xué)習(xí)有關(guān)數(shù)的內(nèi)容時都與這個概念建立關(guān)聯(lián)。第一學(xué)段認(rèn)識20以內(nèi)的數(shù)、百以內(nèi)的數(shù)、萬以內(nèi)的數(shù)；第二學(xué)段認(rèn)識十進制計數(shù)法，初步認(rèn)識分?jǐn)?shù)和小數(shù)；第三學(xué)段認(rèn)識分?jǐn)?shù)和小數(shù)的意義，自然數(shù)的性質(zhì)（奇數(shù)與偶數(shù)、質(zhì)數(shù)與合數(shù)）；第四階段認(rèn)識有理數(shù)。每一個階段雖然認(rèn)識具體的數(shù)不同，但其學(xué)科本質(zhì)都指向核心概念“數(shù)的意義與表示”，都是用抽象的符號和計數(shù)單位表達數(shù)。例如，35表示的是3個十（十位），5個一（個位）；35表示的是3個1/5（分?jǐn)?shù)單位）；-35表示與35相反的量。每一種抽象的符號表達，都與具體的數(shù)量關(guān)聯(lián)。如何建立起這種關(guān)聯(lián)，學(xué)生在不同階段對于這種關(guān)聯(lián)的理解水平如何，以及如何引導(dǎo)學(xué)生理解與掌握這種關(guān)聯(lián)，都需要通過結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)內(nèi)容來實現(xiàn)。把握其中的核心概念，并在學(xué)生學(xué)習(xí)進階過程中實現(xiàn)內(nèi)容與方法的遷移，進而促進學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展，是整體提升教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵。課程內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化為實現(xiàn)教學(xué)方式的變革提供了可能。

三、內(nèi)容結(jié)構(gòu)化帶來的挑戰(zhàn)與契機

課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化對課程實施提出了新的要求，同時也為教科書編寫和教學(xué)改進等提供了契機。內(nèi)容結(jié)構(gòu)化體現(xiàn)了內(nèi)容統(tǒng)整的理念，避免了知識的碎片化。在內(nèi)容要求和學(xué)業(yè)要求中，將關(guān)聯(lián)密切的知識內(nèi)容統(tǒng)整，體現(xiàn)了核心概念為主線的內(nèi)容一致性。內(nèi)容結(jié)構(gòu)化為教育者引導(dǎo)學(xué)生從整體上深刻理解主題的內(nèi)容和方法，促進學(xué)生能力的發(fā)展和核心素養(yǎng)的形成提供了條件。在教學(xué)活動中，要充分考慮學(xué)科的核心概念，從體現(xiàn)核心概念的關(guān)鍵內(nèi)容入手，促進學(xué)生對其學(xué)科本質(zhì)的理解，形成知識與方法的遷移，逐步發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。

（一）內(nèi)容編排以主題的核心概念為線索

《標(biāo)準(zhǔn)》對領(lǐng)域下的主題進行了整合，凸顯了數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)，體現(xiàn)了主題內(nèi)容的一致性，為教科書編寫和教學(xué)設(shè)計提供了更多選擇和組織的空間。

首先，主題的整合將帶來教科書呈現(xiàn)上的變化�！稑�(biāo)準(zhǔn)》除“綜合與實踐”領(lǐng)域外，小學(xué)階段和初中階段分別列出七個和八個學(xué)習(xí)主題，如“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域包括“數(shù)與運算”“數(shù)量關(guān)系”“數(shù)與式”“方程與不等式”“函數(shù)”五個主題。每個主題都構(gòu)成一個整體，其中蘊含了反映主題學(xué)科本質(zhì)的核心概念，這些核心概念在不同學(xué)段具有一致性和階段性。例如，小學(xué)的“數(shù)與運算”主題和初中的“數(shù)與式”主題具有共同特征，其學(xué)科本質(zhì)具有一致性，“數(shù)的意義和表示”“相等”“運算律”等作為統(tǒng)領(lǐng)的核心概念體現(xiàn)在不同學(xué)段的相關(guān)內(nèi)容之中，而在不同學(xué)段又具有階段性特征，抽象的程度不同，表征的水平就有所不同。教科書的呈現(xiàn)既要考慮將其作為一個整體進行設(shè)計與組織，也要體現(xiàn)其階段特征。對于“數(shù)與運算”主題，現(xiàn)有的教材大多是將數(shù)的認(rèn)識和數(shù)的運算分成不同的單元進行設(shè)計。有教材將“100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”和“100以內(nèi)數(shù)的加減法”安排在一下和二上的不同單元。依據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》對“數(shù)與運算”主題的整體理解，可以考慮將100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識和加減法運算安排在同一單元，使學(xué)生在理解數(shù)的意義的同時，探索100以內(nèi)加減法的算理和算法，從而在整體上理解和掌握這個內(nèi)容。數(shù)與運算的結(jié)合，不僅促進學(xué)生對算理和算法的理解掌握，反過來也可以幫助學(xué)生從運算的角度進一步理解數(shù)的意義，有助于學(xué)生數(shù)感、符號意識、運算能力、推理意識等核心素養(yǎng)的形成。當(dāng)然，并不是所有的數(shù)與運算內(nèi)容都要采取整合的方式來編排，即使分成不同的單元進行組織和設(shè)計，也可以用整體的觀點理解相關(guān)內(nèi)容，以把握數(shù)與運算的關(guān)聯(lián)。“圖形與幾何”領(lǐng)域?qū)ⅰ皥D形的認(rèn)識”與“圖形的測量”主題整合為“圖形的認(rèn)識與測量”主題，強調(diào)圖形的認(rèn)識與測量關(guān)聯(lián)，從整體上認(rèn)識圖形與測量。與其相關(guān)的核心概念可能包括“圖形的特征”“圖形大小的度量”等。幾何中的測量都是對圖形的測量，圖形測量的本質(zhì)是確定圖形的大小，從一維、二維到三維，分別用長度、面積、體積表達。對一個圖形完整的認(rèn)識，包括對其特征（如長方形的邊和角及其關(guān)系）的認(rèn)識，也包括對這個圖形的周長、面積等度量的認(rèn)識。例如，三角形的兩邊之和大于第三邊，可以從邊的長度的測量視角進行探索。將圖形的認(rèn)識與測量整合成一個主題，為圖形與幾何的學(xué)習(xí)提供了更廣闊的空間，不僅可以把周長和面積這樣的測量問題整合起來進行分析和理解，也可以嘗試將圖形的認(rèn)識與測量問題整合起來進行教材的組織和教學(xué)設(shè)計。

其次，具體內(nèi)容主題歸屬的變化有助于課程實施者準(zhǔn)確理解其學(xué)科本質(zhì)�！稑�(biāo)準(zhǔn)》對一些內(nèi)容調(diào)整了主題歸屬，如“用字母表示數(shù)”和“百分?jǐn)?shù)”由原來“數(shù)的認(rèn)識”主題下分別調(diào)整到“數(shù)量關(guān)系”和“數(shù)據(jù)的收集、整理與表達”主題下。用字母表示數(shù)在以往的標(biāo)準(zhǔn)和教學(xué)中只是作為數(shù)的進一步抽象，數(shù)是數(shù)量的抽象，字母又是對數(shù)的更一般的表達，是更高層次的抽象。《標(biāo)準(zhǔn)》將用字母表示數(shù)調(diào)整到“數(shù)量關(guān)系”主題下，重點將用字母表示數(shù)理解為事物之間關(guān)系和規(guī)律的一般性表達，其內(nèi)容要求是“在具體情境中，探索用字母表示事物的關(guān)系、性質(zhì)和規(guī)律的方法，感悟用字母表示的一般性”，學(xué)業(yè)要求為“能在具體情境中，用字母或含有字母的式子表示數(shù)量之間的關(guān)系、性質(zhì)和規(guī)律，感悟用字母表示具有一般性”。從數(shù)量關(guān)系角度來理解字母表示數(shù)的學(xué)科本質(zhì)，其教學(xué)的重點和意義與以往相比就會產(chǎn)生變化，從某種意義上彌補了小學(xué)階段不學(xué)簡易方程帶來的缺失，有助于發(fā)展學(xué)生初步的代數(shù)思維。“百分?jǐn)?shù)”的內(nèi)容移到“數(shù)據(jù)的收集、整理和表達”這個主題下，凸顯了百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計意義。以往百分?jǐn)?shù)在“數(shù)的認(rèn)識”主題下，學(xué)生更多是從數(shù)的意義理解百分?jǐn)?shù)，將百分?jǐn)?shù)看作特殊的分?jǐn)?shù)。但百分?jǐn)?shù)主要用于解決實際問題，從統(tǒng)計意義上理解百分?jǐn)?shù)更能清晰地了解其來龍去脈。百分?jǐn)?shù)的內(nèi)容要求是“結(jié)合具體情境，探索百分?jǐn)?shù)的意義，能解決與百分?jǐn)?shù)有關(guān)的簡單實際問題，感受百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計意義”。這些內(nèi)容主題歸屬的變化，有助于課程實施者準(zhǔn)確理解具體內(nèi)容的本質(zhì)，為合理的教學(xué)設(shè)計創(chuàng)造條件。

（二）內(nèi)容分析凸顯學(xué)科本質(zhì)的整體特征

分析學(xué)習(xí)內(nèi)容是合理進行教學(xué)設(shè)計和課堂實施的前提，其重點在于對學(xué)科內(nèi)容的整體理解。課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化為整體上理解相關(guān)內(nèi)容的學(xué)科本質(zhì)提供了線索，有助于確定一類學(xué)習(xí)內(nèi)容的核心概念、關(guān)鍵內(nèi)容和重點難點。以“小數(shù)除法”為例，在現(xiàn)行某版本的教材中，這個內(nèi)容單元和相關(guān)的前后知識安排如表2所示。

學(xué)習(xí)內(nèi)容的單元分析一般是將單元作為整體，分析這個單元內(nèi)容的本質(zhì)及其不同內(nèi)容之間的關(guān)系，確定單元的重點和難點等。從主題視角看單元內(nèi)容的本質(zhì)及其關(guān)聯(lián)，并且將本單元內(nèi)容與前后相關(guān)的單元內(nèi)容建立聯(lián)系，會對其本質(zhì)有更清晰的認(rèn)識和理解。“小數(shù)除法”這個單元的主題是“數(shù)與運算”，主要內(nèi)容是小數(shù)除法的計算方法。從教材內(nèi)容的具體分析可以看出，前三個內(nèi)容是不同類型的小數(shù)除法，體現(xiàn)這個內(nèi)容的核心概念是“計數(shù)單位個數(shù)‘累加’”。從計算方法的角度確定哪個具體內(nèi)容（例題）是重點，有助于學(xué)生理解小數(shù)除法的算理和算法。而后三個內(nèi)容“近似計算”“循環(huán)小數(shù)”“混合運算”不屬于計算方法，近似計算和混合運算都與問題的情境有直接關(guān)系，從某種意義上講涉及問題解決能力，其核心概念與計算方法不同�！稑�(biāo)準(zhǔn)》在第二學(xué)段“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域?qū)Α皵?shù)量關(guān)系”主題有“能在簡單的實際情境中，運用四則混合運算解決問題”的學(xué)業(yè)要求。而循環(huán)小數(shù)在本質(zhì)上是數(shù)的認(rèn)識的擴展，之所以在小數(shù)除法單元中呈現(xiàn)，原因之一就是解決類似1÷3這樣的問題時出現(xiàn)了循環(huán)小數(shù)，其重點不是除法的問題，是數(shù)的表示的拓展，是如何表達循環(huán)小數(shù)和循環(huán)小數(shù)在具體情境中怎樣取舍的問題，其核心概念是“數(shù)的意義與表達”。這兩類問題雖然不是該單元的重點，但與小數(shù)除法的計算有關(guān)，可以看作小數(shù)除法的應(yīng)用，其本質(zhì)是問題解決和數(shù)的表達。施教者在對內(nèi)容進行縱向整體分析時還要了解前后單元的相關(guān)內(nèi)容。從表2可以看到，四年級與小數(shù)除法相關(guān)的內(nèi)容有整數(shù)除法、運算律和小數(shù)的意義等，五下進一步學(xué)習(xí)的分?jǐn)?shù)除法，與整數(shù)除法和小數(shù)除法的算理相關(guān)。數(shù)的運算的重點在于理解算理、掌握算法，與算理直接相關(guān)的核心概念是“計數(shù)單位的‘累加’”，這一核心概念在四年級和五下都會在不同的運算單元中重復(fù)出現(xiàn)。從這個意義上講，這些相關(guān)內(nèi)容在學(xué)科本質(zhì)上具有一致性。將能夠突出地體現(xiàn)核心概念一致性的內(nèi)容作為關(guān)鍵內(nèi)容組織教學(xué)，有助于實現(xiàn)知識和方法的遷移，使這些相關(guān)內(nèi)容在整體上形成一個“大單元”。內(nèi)容結(jié)構(gòu)化有助于從整體上把握內(nèi)容的關(guān)聯(lián)，清晰地梳理數(shù)的運算內(nèi)容的線索，以及不同階段“數(shù)與運算”主題之間的聯(lián)系。將對主題學(xué)科本質(zhì)的整體理解運用到具體的內(nèi)容分析之中，有助于深刻理解具體學(xué)習(xí)內(nèi)容的核心概念，以及單元內(nèi)容的重點和關(guān)鍵內(nèi)容的確定。

（三）教學(xué)活動突出關(guān)鍵內(nèi)容的單元整體設(shè)計

內(nèi)容結(jié)構(gòu)化促進課堂教學(xué)改進的持續(xù)研究，從關(guān)鍵內(nèi)容入手的單元整體教學(xué)設(shè)計是實現(xiàn)核心素養(yǎng)導(dǎo)向目標(biāo)的重要路徑�！稑�(biāo)準(zhǔn)》結(jié)構(gòu)化的內(nèi)容設(shè)計在領(lǐng)域下以主題的形式呈現(xiàn)，具體內(nèi)容要求呈現(xiàn)學(xué)科知識與核心素養(yǎng)兩條線索。主題的整合更加凸顯學(xué)科內(nèi)容的本質(zhì)特征，以及相關(guān)內(nèi)容之間的聯(lián)系。通過教學(xué)內(nèi)容的縱向分析，可以從整體上把握學(xué)習(xí)內(nèi)容的發(fā)展脈絡(luò)、學(xué)科本質(zhì)的一致性特征以及內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)，同時把握一個主題內(nèi)容重點體現(xiàn)的核心概念以及蘊含的核心素養(yǎng)。教學(xué)設(shè)計與組織應(yīng)當(dāng)采用單元整體教學(xué)設(shè)計的思路，從整體的視角分析內(nèi)容本質(zhì)和學(xué)生學(xué)情，聚焦核心概念，確定核心素養(yǎng)導(dǎo)向的學(xué)習(xí)目標(biāo)，針對單元中的關(guān)鍵內(nèi)容設(shè)計與實施體現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的教學(xué)活動。下面以小數(shù)除法為例，借助表2作簡要分析。

首先，基于自然單元內(nèi)容的整體分析，形成以核心概念為線索的反映該單元與前后相關(guān)單元之間聯(lián)系的內(nèi)容的整體理解。以教材的自然單元為形，以單元和單元之間內(nèi)容本質(zhì)與核心概念為魂，從自然單元入手進行內(nèi)容分析，既容易操作，又可以從自然單元分析中將學(xué)習(xí)內(nèi)容延伸、拓展，實現(xiàn)對學(xué)習(xí)內(nèi)容的整體理解。表2顯示“小數(shù)除法”單元的核心內(nèi)容是“數(shù)與運算”主題中的小數(shù)除法，其重點是理解算理、掌握算法。小數(shù)除法的算理和算法與整數(shù)除法有密切關(guān)系，需要追溯到整數(shù)除法，特別是有余數(shù)除法的教學(xué)，教學(xué)設(shè)計時有必要考慮喚起學(xué)生這方面的認(rèn)知，特別是核心概念“計數(shù)單位個數(shù)‘累加’”的運用。小數(shù)意義的理解對于小數(shù)除法算理的理解不可缺少，教學(xué)中應(yīng)采用恰當(dāng)?shù)姆绞綆椭鷮W(xué)生運用小數(shù)意義理解算理。除了這個主題外，第四至第六三個內(nèi)容又涉及數(shù)的認(rèn)識和問題解決等，教學(xué)中應(yīng)與相關(guān)的核心概念關(guān)聯(lián)，采取不同的教學(xué)策略。

其次，確定單元中的關(guān)鍵內(nèi)容。關(guān)鍵內(nèi)容是能更好地體現(xiàn)所學(xué)內(nèi)容的學(xué)科本質(zhì)和核心概念的內(nèi)容，并且蘊含著相關(guān)的核心素養(yǎng)。表2中第一至第三個內(nèi)容是不同類型的小數(shù)除法問題，這些內(nèi)容中能較為集中地體現(xiàn)小數(shù)除法的算理和算法的內(nèi)容可以作為教學(xué)的關(guān)鍵內(nèi)容。從該單元的教材安排看，第一個內(nèi)容是小數(shù)除以整數(shù)，可以理解教材的編者將這個內(nèi)容作為關(guān)鍵內(nèi)容的設(shè)計思路。這樣的設(shè)計不無道理，這個內(nèi)容直指小數(shù)除法運算，學(xué)生直接面對的是小數(shù)除法，要解決的問題就是被除數(shù)是小數(shù)時怎樣計算，可借助這個問題理解小數(shù)除法的算理和算法。吳正憲基于多年的教學(xué)經(jīng)驗，在對內(nèi)容進行整體分析基礎(chǔ)上，將第二個內(nèi)容“整數(shù)除以整數(shù)商是小數(shù)”作為關(guān)鍵內(nèi)容，通過具體的問題情境引導(dǎo)學(xué)生探索和理解小數(shù)除法的算理和算法：“4個人吃飯，付給服務(wù)員97元，這頓飯他們要AA制”，讓學(xué)生根據(jù)這個情境提出問題和解決問題。問題本身并不難，但在進行運算時發(fā)現(xiàn)97÷4=24……1，這是一個有余數(shù)的除法。在AA制的情境中，需要將余下的1繼續(xù)除，在整數(shù)除法的范圍內(nèi)無法解決這個問題�！坝嘞碌�1怎么分”引起學(xué)生學(xué)習(xí)過程的認(rèn)知沖突。這個問題的解決直接引出小數(shù)除法計算算理的深度探索。將小數(shù)除法與以往學(xué)習(xí)的有余數(shù)的除法聯(lián)系起來，運用學(xué)生學(xué)習(xí)的前概念，可以引起學(xué)生進一步探索和思考。更重要的是，從有余數(shù)的除法引入可以喚起學(xué)生相關(guān)的核心概念——計數(shù)單位個數(shù)“累加”與細分，并讓學(xué)生將其運用于新的問題解決之中。當(dāng)以“一”為單位的1不夠除以4的時候，將其變成以十分之一為單位的10個0。1，就可以除以4，商是2（2個0。1），接下來的計算都是這個方法的推理。這個例題作為學(xué)習(xí)這類內(nèi)容的關(guān)鍵內(nèi)容，對于深刻理解算理、掌握算法起畫龍點睛的作用。

最后，設(shè)計有效的教學(xué)活動�；�于學(xué)生的基礎(chǔ)和前概念，組織圍繞關(guān)鍵內(nèi)容的學(xué)習(xí)活動，有助于促進學(xué)生整體發(fā)展。關(guān)鍵內(nèi)容體現(xiàn)學(xué)科本質(zhì)，指向?qū)W生的核心素養(yǎng)。有效教學(xué)活動的組織需要基于學(xué)生現(xiàn)有的知識基礎(chǔ)和對當(dāng)前學(xué)習(xí)內(nèi)容的理解水平以及存在的困惑，提出引發(fā)學(xué)生思考的問題，并采用多樣性的策略與方法，引導(dǎo)學(xué)生獨立思考、質(zhì)疑問難、合作交流，在解決問題過程中深度理解所學(xué)內(nèi)容，形成和發(fā)展核心素養(yǎng)。在小數(shù)除法教學(xué)中，師生圍繞“余下的1怎樣分”的問題展開教學(xué)活動，學(xué)生經(jīng)過獨立思考，給出不同的解決方法，再對有代表性的方法進行討論、質(zhì)疑、交流，最后實現(xiàn)問題解決，在理解算理、掌握算法的同時，學(xué)生的推理意識、運算能力、幾何直觀等核心素養(yǎng)獲得發(fā)展。

課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化是深化基礎(chǔ)教育課程改革的重要理念，在中小學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)改革中應(yīng)引起充分的重視。伴隨著《標(biāo)準(zhǔn)》的頒布與實施，圍繞課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化的理解及其引起的深化教學(xué)改革的探索將成為重要的研究話題。

篇二：小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)最新版2023解讀

各位老師大家好，很高興借助東師教師教育論壇這樣一個平臺，來跟大家分享一下義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)2023年版有關(guān)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化這方面的一些分析和自己學(xué)習(xí)的體會。

分這么三個問題來做介紹。首先說一下數(shù)學(xué)課標(biāo)2023年版內(nèi)容結(jié)構(gòu)化的特征，然后談一下內(nèi)容結(jié)構(gòu)化它的價值和意義。最后說一下體現(xiàn)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化的教學(xué)變革。首先我們大家都知道義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)在制定過程中強調(diào)的內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，那么在數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)2023年完里邊也具有這樣結(jié)構(gòu)化的特征結(jié)構(gòu)化的特征。從以下三個方面做一些簡要的分析。首先是它的依據(jù)，第二就是它的主題是如何整合的，整合后的這種結(jié)構(gòu)化的主題它的特征。首先我們來看一下，課程標(biāo)準(zhǔn)的制定實際上是以課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)同步做的，或者說數(shù)學(xué)各個。學(xué)科的課程標(biāo)準(zhǔn)是在義務(wù)教育課程方案指導(dǎo)下，以義義務(wù)教育課程方案為依據(jù)來做的。那么我就談一下內(nèi)容結(jié)構(gòu)化的它主要的依據(jù)。首先就是課程方案。在課程方案里邊有這樣的一個論述，就是加強課程內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系，突出課程內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化，探索主題項目任內(nèi)容組織方式，這是課程方案的。那我們都知道義務(wù)教育的課程修訂從

2023年那么到2023年，現(xiàn)在到2023，是在有一個不斷變化的過程。那么課程方案是從2023年有一個課程方案，那么到2023年的新的課程方案，在這課程方案里規(guī)定了課程的指導(dǎo)思想。比如說遵循立德樹人，落實立德樹人的根本任務(wù)，致力于實現(xiàn)德、智、體、美勞的全面發(fā)展等等方面。那么在目標(biāo)內(nèi)容等方面也做了相應(yīng)的規(guī)定。與內(nèi)容相關(guān)的就是我剛才描述的這樣一段話，這是義務(wù)教育課程方案里邊所規(guī)定的。那么課程方案里邊提出要突出課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，突出結(jié)構(gòu)化是怎么樣。怎么樣突出？應(yīng)該在學(xué)科課程里邊。不同的學(xué)科數(shù)學(xué)課程也應(yīng)該按照這樣一種方式進行一些結(jié)構(gòu)化的變革，這是從課程方案。另外從國內(nèi)外有關(guān)數(shù)學(xué)課程的研究。就是我們都知道數(shù)學(xué)是國際性的、通用的語言和工具那么數(shù)學(xué)教育在各個國家的數(shù)學(xué)整個教育的領(lǐng)域里邊是占有重要的位置的。那么歷來國際上對于課程數(shù)學(xué)課程改革都是非常重視的。那么我們梳理了國外有關(guān)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的一些一些狀況，特別是關(guān)于課程。內(nèi)容整合、課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)的一些具體的呈現(xiàn)的方式。那么我們發(fā)現(xiàn)多數(shù)國家其實他們都有內(nèi)容的整合，這樣的一個需求，或者是這樣的一種呈現(xiàn)的方式。比如說很多國家在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域里邊，用數(shù)與運算、數(shù)與計算、模式與關(guān)系、模式與代數(shù)等等這樣的這樣的方式表示。那么其實它是一種整合，比如說術(shù)語運算是術(shù)的認(rèn)識和運算的理解、運用的整合，術(shù)語計算也是其實是一樣的。模式與關(guān)系其實就把一些解決問題的模式和一些數(shù)量關(guān)系放在一個。物體里邊那么有的用模式與代數(shù)，那么是把代數(shù)的東西代數(shù)和數(shù)學(xué)的模式放在放在一起那么是這樣。其實我們國家國內(nèi)也有數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)化的這樣的一些研究，比如說早在上個世紀(jì)九十年代，北京的馬新南老師就開始研究小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化。那么很多研究，比如說中科院數(shù)學(xué)所的，還有很多教學(xué)改革的一些，同時都是從課程結(jié)構(gòu)課程內(nèi)容的結(jié)構(gòu)角度做一些研究。那么這方面的研究成果也是我們制定數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)借鑒的很好的且做法。那么回過頭來說，我們課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)大致是這樣的幾個幾個方面。一個是首先說了數(shù)學(xué)課程性質(zhì)，那么數(shù)課程性質(zhì)是數(shù)數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，數(shù)學(xué)闡述了數(shù)學(xué)在人的成長中的價值。另外就是課程里面，課程里面有一共有五個方面的課程理念，這里不詳細說。其中有一個就是關(guān)于課程內(nèi)容。關(guān)于課程內(nèi)容是這樣的表述的，就是課標(biāo)數(shù)學(xué)課標(biāo)二零二二年版，有課程內(nèi)容的組織，重點是對內(nèi)容進行結(jié)構(gòu)化整合，探索發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的路徑。好，我們這里邊有兩個事情，一個是結(jié)構(gòu)化整合后邊我們要重點說結(jié)構(gòu)化整合。那么結(jié)構(gòu)化整合的目的在什么探索發(fā)展趨勢、核核心素養(yǎng)的路徑。那么這也就回到上一個話話題大的話題，就是我們現(xiàn)在的課程目標(biāo)是以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的那么實現(xiàn)核心素養(yǎng)導(dǎo)向的課程目標(biāo)要有相應(yīng)的一致的課程內(nèi)容，包括它的結(jié)構(gòu)、包括它的內(nèi)容選擇和安排與之相對應(yīng)。所以那么就是在課程理念數(shù)學(xué)課程理念下邊也提出來結(jié)構(gòu)化的這樣的一個基本的理念那么遵循這樣的一個理念，我們確定提一系列的核心素養(yǎng)、課程目標(biāo)、課程內(nèi)容、系列質(zhì)量，包括課程實施，都是在課程標(biāo)準(zhǔn)里。我我這里面不每一個每一個詳詳細去說。那么今天介紹的就是課程內(nèi)容課程內(nèi)容它的結(jié)構(gòu)化。那么在標(biāo)準(zhǔn)的課程里邊，延續(xù)了上兩個版本，對數(shù)學(xué)課程內(nèi)容分為四個領(lǐng)域，術(shù)語、代數(shù)、圖形、幾何、統(tǒng)計、概率、綜合與時間，這四個領(lǐng)域保持不變，在二零一一年版也是讓二零零一年版也基本是這樣，后來文字上有點有點變動。

那么領(lǐng)域不變那么這種結(jié)構(gòu)整合表現(xiàn)在什么地方表現(xiàn)在領(lǐng)域下邊的主題。那么這四個領(lǐng)域根據(jù)學(xué)科內(nèi)容的發(fā)展和學(xué)生的學(xué)習(xí)，那么內(nèi)容它的內(nèi)容的水平和基本思想為主線，循序漸進的，每一個學(xué)段的主題有所不同每一個學(xué)段的主題有所有所不同。那么綜合實踐是一種綜合性的設(shè)計，以跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)為主那么是內(nèi)容的內(nèi)容的安排那么我們的課程的整合，結(jié)構(gòu)化的整合主要體現(xiàn)在主題層面上，就是領(lǐng)域下面的主題是如何整合的。我們從下邊做一些介紹。第二就是說一下主題結(jié)構(gòu)化整合的一個基本的思路。我們都知道數(shù)學(xué)課程是四個領(lǐng)域，那么我們每一個領(lǐng)域我們分別去說。首先我們看數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域，先看一到三學(xué)段的主題后邊我們再再說第四學(xué)段和什么樣的關(guān)系。我們看左邊是二零一一年版的幾個主題，右邊是二零二，二連板的主題術(shù)語怠速在左邊。二零一一年版是有六個主題，數(shù)的認(rèn)識、數(shù)的運算、常見的量、探索規(guī)律是與方程比正比例、反比例，有六個主題。而到二零二二年版變成了兩個主題，那就是整體上主題有六個變成了兩個。那么一一版的六個主題和二二版的兩個主題什么關(guān)系？我們看數(shù)的認(rèn)知和數(shù)的運算，我們整合為術(shù)語運算，不是簡單的名稱的疊加。我們后面再說這種組合意味著什么？這種組合意味著這樣一種內(nèi)容內(nèi)容的整合、內(nèi)容結(jié)構(gòu)的這樣的變化。然后探索規(guī)律是與方程正比例、反比例，整合為數(shù)量關(guān)系就是數(shù)量關(guān)系是這樣的一個有這三個主題整合整合而來的。但是其實不僅是這三個主題的，還有一些其他的內(nèi)容也是整合。后面我再說。然后還有一個常見的量。中間就有一個常見的量，常見的量就沒有在數(shù)與代數(shù)這兩個領(lǐng)域下邊，常見的量把它放到綜合與實踐里。我們說常見的量常見量包括包括重量、單位、時間、時間、單位這樣的這樣的一些那么把它放到綜合綜合與實踐里。所以說現(xiàn)在看這樣的一些主題整合，六個主題兩個主題整合為術(shù)語代數(shù)，三個主題整合為數(shù)量關(guān)系，一個主題調(diào)整到綜合與實踐。所以所以說二二版和一一版相相對主題的變化是相當(dāng)大的。我說這一到三階段，后邊第四階段我再說。所以這種主題的變化不是形式的變化。在形式變化基礎(chǔ)上，其實它的內(nèi)涵、它對我們的教學(xué)實踐會帶來很大的影響，這是術(shù)語術(shù)語代數(shù)。那我們再看圖形有幾何圖形幾何一一版是四個主題，圖形的認(rèn)識圖、圖形的認(rèn)識測量、圖形的運動、圖形的位置。那么二板是整合為兩個兩個主題，圖形的認(rèn)識和測量，整合為圖形的認(rèn)識與測量。因為測量測量原來基本上是圖形的測量，或者我們把測量集中在圖形的測量。我們說從量感的角度可能還有測量，比如說時間的時間也有也需要測量也需要需要由時間單位去測量對吧那么重量也要也要去測量是吧有重量。那么所謂的測量我們放在綜合實踐里邊。所以那么這兩個那么就變成圖形的認(rèn)識與測量，其實相當(dāng)于圖形的認(rèn)識和圖形的測量那么這是這是那么圖形的運動與位置整合到圖形的運動和圖形的位置整合的圖形的位置與與運動。是這樣，所以說那么也是這樣，由四個主題整合為兩個主題。那么好，再看統(tǒng)計與概率。我們我們看哈主題的數(shù)量的變化不大，還是三個主題。主題的描述的方式有所變化，但主題的描述方式和對于主題的理解其實關(guān)系是比較大的。你看，原來是分類，在低年級，特別是一年級是分類，那么到二二版叫數(shù)據(jù)分類。雖然加了兩個字，但是其實對他的理解是不同的。分類是主要還是物體的分類，因為另外也包括數(shù)數(shù)的分類和圖形的分類。那那是分類分類的理解是比較廣的，而數(shù)據(jù)的分類就是能夠用數(shù)據(jù)表達的那樣的一些事物進行分類。事物如果是事物，你也可以把事物賦值把事物賦值也變成數(shù)據(jù)。為什么說數(shù)據(jù)分類？是和統(tǒng)計統(tǒng)計思想或者現(xiàn)在叫統(tǒng)計意識聯(lián)系在一起的。因為后邊后邊兩個其實都和數(shù)據(jù)有關(guān)系，特別是后邊主題數(shù)據(jù)的收集、整理與表達隨機現(xiàn)象的可能性。那么這些其實都是和數(shù)據(jù)有關(guān)的，所以說就數(shù)據(jù)就有一個同等的、一致性的這樣這樣的一個一個線索。所以這是統(tǒng)計概率綜合與實踐其實變化是很大的。綜合與實踐在因為在二零零一版。和二零一一版都有綜合與實踐這樣的一個主題。比如二零一一版就是只是說運用綜合運用知識和方法解決問題，就是籠統(tǒng)地說綜合與實踐就是綜合運用知識與方法解決問題。那么在二零二發(fā)生一個重要的變化就是，綜合實踐以跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)為主。主題學(xué)習(xí)那么并且強調(diào)跨學(xué)科，也是這一次課程標(biāo)準(zhǔn)修訂的一個重要的一個理念，就是提倡跨學(xué)科的主題學(xué)習(xí)。那么數(shù)學(xué)里邊的跨學(xué)科的主題學(xué)習(xí)重點是體現(xiàn)在綜合實踐在綜合實踐領(lǐng)域里邊，我們設(shè)計了若干個主題學(xué)習(xí)。若干個主題主題學(xué)習(xí)的內(nèi)容，然后去提倡主題式學(xué)習(xí)和項目式學(xué)習(xí)。初中階段是提倡項目式學(xué)習(xí)，小學(xué)階段是以主題學(xué)習(xí)為主，并且一個重要的變化就是一些知識內(nèi)容融入到綜合實踐的主題學(xué)習(xí)里邊。剛才剛才我們說的時間、重量還有方向，這樣的一些這樣的一些內(nèi)容，我們都放在主題學(xué)習(xí)里邊。所以這樣的一個變化就和原來的這種教學(xué)方式會帶來。新的這樣的一些一些變化，變化就是你原來的綜合與實踐，那么只是學(xué)生活動，沒有沒有具體的內(nèi)容。那現(xiàn)在把內(nèi)容所要學(xué)的這樣的一些內(nèi)容，或者用我們原來說的知識點放在綜合實踐的活動里面。那么這樣的設(shè)計應(yīng)該是什么樣的？應(yīng)該怎么樣去設(shè)計，也對我們的實施者是一些新的挑戰(zhàn)，而這些挑戰(zhàn)我們說都是這種主題的整合。所以綜合實踐剛才說把內(nèi)容放在這里邊也是一種整合把把一些內(nèi)容放到你主題學(xué)習(xí)里邊。所以說我們說四個領(lǐng)域都有相應(yīng)的這樣的這樣的整合。這是我們說整合成什么樣子。那么下面我們說主題。主題的結(jié)構(gòu)化他表現(xiàn)出來的特征我們從三個方面，就是它的整體性、一致性和階段性。我們在核心素養(yǎng)的設(shè)計上，其實也是具有這種整體性、一致性和階段性，那是核心素養(yǎng)。我們在內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化也體現(xiàn)了這樣的幾個特點，下面我簡單的做一下介紹。首先我們說整體性。整體性是什么意思？整體性就是相同本質(zhì)特征的內(nèi)容的整合。就是把具有相同學(xué)科本質(zhì)的那樣的內(nèi)容。放到一個主題里邊，我們主題整合，剛才說兩個放在放到一一起，數(shù)與運算，數(shù)量關(guān)系，三個。三個主題放的放的原來三個放放在一起都用數(shù)量關(guān)系來表達。那么是體現(xiàn)了他們的學(xué)科本質(zhì)的這種一致性。比如說我比如說我們來說以數(shù)量關(guān)系為為為例來說，在一到三學(xué)段，我們看這是表的分布就是一到四學(xué)段，四個領(lǐng)域、各個主題。我們可以看術(shù)語代數(shù)，數(shù)一到三學(xué)段術(shù)語運算，到第四學(xué)段的數(shù)與試，一會兒我們再說。一到三學(xué)段數(shù)量關(guān)系，到第四學(xué)段是方程函數(shù)。那么圖形幾何也是這樣幾個主題這樣幾個主題，是吧？現(xiàn)在就說數(shù)量關(guān)系。你看，數(shù)與代數(shù)，一到三學(xué)段都是說數(shù)量關(guān)系，那么就是數(shù)量關(guān)系是一個大的主題，而不同學(xué)段有不同的這種表現(xiàn)方式和不同的內(nèi)容。剛才我剛才我們說我們回憶一下，回憶一下，在二零一一版有兩兩種數(shù)量關(guān)系對吧就是就是乘乘法模型，我們叫乘法模型，總總數(shù)等于等于單加乘以數(shù)量，路程等于。速度乘以時間，那樣兩個數(shù)量關(guān)系二零二零。一零一版沒有沒有數(shù)量關(guān)系主題。而這些解決問題是分散在術(shù)語運算數(shù)的數(shù)與代數(shù)，同音幾何的各個各個部分部分里邊。那么慢慢慢慢到二零零二零一一版加了兩個兩個常見的數(shù)量關(guān)系那我們叫常見的數(shù)量關(guān)系。而現(xiàn)在我們發(fā)展到數(shù)量關(guān)系，包括了常見的數(shù)量關(guān)系，而由加法模型由拓展拓展成加乘法模型，又拓展為加法模型和乘法模型兩兩類模型和三個模式加法模型是總量等于分量加分量和剛那兩個。然后再加上用四輪運算的意義解決問題，用不同的學(xué)到不同的數(shù)解決不同的問題。然后把原來的字母表示數(shù)，原來字母表示數(shù)是在數(shù)的認(rèn)識里面，現(xiàn)在也放在數(shù)量關(guān)系里面。因為字母表示數(shù)更多的是發(fā)展學(xué)生的代數(shù)思維，還有比和比例，比和比例包括比包括正比例，也包括成正比的量等等這樣的一些內(nèi)容。那么都用數(shù)量關(guān)系這樣的一個主題的一些核心概念來理解他們。我們就可以使他們成為一個整體。使它整體的重要意義在什么地方？就是保持他們之間聯(lián)系，關(guān)注他們之間聯(lián)系，后面我們再要介紹。所以所以我們下面我們老師可以去看課標(biāo)，每一個這樣相同的主題，它的內(nèi)容其實它的本質(zhì)特征是一樣的。你知道它的本質(zhì)特征的一致性，然后對我們理解是有有重要重要意義的。就是剛才我說的，我們把常見的常見的數(shù)量關(guān)系，有點常見的數(shù)量關(guān)系，運用數(shù)和運算，解決問題探索規(guī)律是與方程比和比例正比例排比例，都放在這里邊。當(dāng)然方程我們放到第四學(xué)第四學(xué)段了，其實還有。還有字母表示，字母表示數(shù)，原來字母表示數(shù)，放在里邊，這是一個一個整合。其他的內(nèi)容我們可以下面可以去去看。這是整體性的一個就是相同本質(zhì)。另外一個整體性體現(xiàn)了研究對象家就是前兩天史寧登教授在一個報告里專門提出來研究對象家的一些這樣一些概念，就是研究對象。我們把數(shù)作為一個研究對象，把圖形作為一個研究的對象，也就是說我們研究樹不只是研究樹，而且研究樹的什么什么什么什么東西，是吧？所以叫研究對象加構(gòu)成一個整體，就術(shù)語、運算和術(shù)的認(rèn)識與測量，就術(shù)語運算。不是在樹的基礎(chǔ)上，數(shù)作為一個研究對象，因為數(shù)是數(shù)量的抽象。那么研究樹不是研究樹本身，要研究樹的性質(zhì)。說的性質(zhì)是什么？比如說它既有性，比如說能被二三五整除的數(shù)的特征，那么我們都是要樹的性質(zhì)和樹的關(guān)系樹和事物之間的關(guān)系關(guān)系有大小關(guān)系。數(shù)的比較大小是一一種關(guān)系。另外就是運算就是運算。數(shù)通過不同的運算又得到新的數(shù)，那么我們最基本就是四折加、減、乘、除四的四折運算。圖形圖形我們不只是認(rèn)識圖形，那么長方形、正方形，第一次。零三角形，我們不只是認(rèn)識圖形本身，我們還要認(rèn)識圖形它的特征。我們說這邊平行相等對吧，這是一個特征。然后我們在看圖形的大小，就是圖形的測量。圖形我們圖形測量就是它的周長面積、體積，對吧，圖形要認(rèn)識，圖形的特征、它的測量。所以說我們就整合為術(shù)語運算。就是這樣的一個一個整體，把它看成一個整體，研究對象和它的性質(zhì)和它的關(guān)系放在在一起。圖形的認(rèn)識與測量就是圖形本身的樣子，它的特征。還有圖形的大小，如何判斷、如何測量、如何計算圖形的大小。那么都是都是那么同樣數(shù)據(jù)也是一樣，數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)本身我們要去認(rèn)識，而數(shù)據(jù)的特征就是它的它的統(tǒng)計量。圖表來表示，那么這樣構(gòu)成了一個整體，從意義上也具有整體性。整體性的第三個就是一到四學(xué)段，其實也構(gòu)成了一個整體。剛才我分析的一到三學(xué)段，一到三學(xué)段我我們看哈，我們看一到三學(xué)段主題的名稱是一樣的，到第四階段好像是不同了對吧？你看術(shù)語運算一到三學(xué)段是術(shù)語運算，第四學(xué)段是術(shù)語式那我們看一到三學(xué)段的術(shù)語運算和第四學(xué)段的術(shù)語式其實是一致的。什么一致？還是說本本質(zhì)它的內(nèi)容的本質(zhì)是一致的。我們你一到三階段你學(xué)習(xí)整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)，到第四學(xué)段數(shù)是什么有理數(shù)。對吧那么數(shù)它的本質(zhì)是一樣的，然后是是是用字母表示的。用字母表示的關(guān)系表示這樣的一種一種一種關(guān)系，也是數(shù)數(shù)的加運算，再加他們之間的這種這種關(guān)關(guān)系那么運算到第四弦的運算，不僅是數(shù)的運算，還有式的運算。代數(shù)式的運算是吧？那Www.0279.NeT么他們也是構(gòu)成一個一個整體。數(shù)量關(guān)系數(shù)量關(guān)系剛才說一到三學(xué)段那么多那么多內(nèi)容，常見的數(shù)量關(guān)系、比和比例呀。好，到第四階段是方程與不等式，還有函數(shù)方程與不等式以及函數(shù)最。這兩個主題其實是數(shù)量關(guān)系的延展和數(shù)量是數(shù)量關(guān)系的這種抽象的表達。函數(shù)是數(shù)變量的變量的表達，變量之間關(guān)系的表達。是吧方程是未知數(shù)的這種等相等的這種表表達，或者是確確定量的這種等式和不等式的這種這種表達。那么它們本質(zhì)都是數(shù)量關(guān)系。所以，他們是一脈相承的，樹的認(rèn)識與測量與樹的性質(zhì)是有關(guān)系的，樹的性質(zhì)包括證明、包括他們平行、包括他們?nèi)�等等等不是�?shù)字性圖，圖形的性質(zhì)和圖形的性質(zhì)是有是有關(guān)系的，去進一步從邏輯上、從抽象水平上認(rèn)識認(rèn)識對吧同同樣數(shù)位置與運動和數(shù)的變化和坐標(biāo)是有關(guān)系的，是吧？所以從意義上來講，這種整體性是一致的，一到四學(xué)段構(gòu)成一個整體，這是說整體性。那么下面我們說一致性。一致性表現(xiàn)在什么？我們說小學(xué)小學(xué)階段是整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)及其私人運算。到第四學(xué)段是有理數(shù)是四和和和代數(shù)。不是的一運算。那么其實他們橫向上、縱向上都是具有一致性。我們以小學(xué)的這幾個數(shù)和運算為例，我們說從整數(shù)到小數(shù)、分?jǐn)?shù)，是什么樣一個程？比如說關(guān)于數(shù)，整數(shù)。整數(shù)的表達是數(shù)字和數(shù)位的組合，就三十五、三十三、三十五是數(shù)字加上數(shù)數(shù)位三，三和五，三和五放在不同的位置上，表示三十和五對吧在一起是三三十五。小數(shù)？小數(shù)零點三五，零點三五也同樣是數(shù)字加上數(shù)位，對吧是零點三五，零點三三零點三是十分位。十三，百分位是五，那么同樣是十分位的三個是三個三個數(shù)十分位的三和百分位的五，那就是零點三五，對吧？那么他們是表達方式也是一致。分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)有所不同對吧，分?jǐn)?shù)還用五和三來說哈，五分之三五分之三這五分之三這兩個是不不可分的。如果是分的話要怎么分？它還是數(shù)字加上數(shù)位。數(shù)位是什么在這里面是分?jǐn)?shù)單位分?jǐn)?shù)單位是五分之一。那么就可以說五分之三是三個五分之一。如果這樣的話，和你三個十三個零點零點一和三個五分之一，表達就是一。是一致的，就是也是本質(zhì)上也是這樣。所以說我們說樹的表達這種統(tǒng)一性，它的一致性都是數(shù)字加上計數(shù)的單位，所以我們把數(shù)位、分?jǐn)?shù)單位都叫做計數(shù)單位。那么后面我們說計數(shù)單位，我們就可以把它再看作一個核心概念。好，我們再來看數(shù)的運算。數(shù)的運算加法是最基本的，基本的運算。加法我們說用兩位數(shù)加法，三十五加上四十八，那么等于三十加上四十，加上五加上八。什么意思？我們?yōu)槭裁窗讶�十和四十放到一起？三十加上四十，因為兩個都是三個十和四個十，所以先加三十，四十等于七十。然后形式上算的就是十位上的三加四等于七等于七個。操作上是三加三加四是什么三加四，十位上的三加四，它到底是三十加上四十，再加上五和八。當(dāng)然這里邊要用到交換力、結(jié)合力，我不說，那么這是這是最基本的加法，小數(shù)加法也是這樣。零點三五加上零點四八是零點三，加上零點四加上零點零五加上零點零八，也同樣，零點三加零點是等于零點七，再加上十三三個零點零一那就是那就是零點哎十三，十三個零點零一那就是那就是零點一一三，對吧？然后再去操作跟加法跟整數(shù)。加法是一樣的，是吧道理是一樣。分?jǐn)?shù)？分?jǐn)?shù)有不同，分?jǐn)?shù)又不能分?jǐn)?shù)，我們還是用這幾個數(shù)說五分之三加上八分之四，你就不能直接那樣，你就不能是三加四是五加八對吧？我們不能我們不能說三加四等于七、五加八等于十三等于十三分之七。那么這樣這樣是不行的，為什么不行？我們不行的原因就是他沒有做到分計數(shù)分?jǐn)?shù)、單位的下降。我們前面都是說單位多少個單位？單位的個數(shù)相加，對，前面說相同單位的個數(shù)相加相同單，相單位是什么？問題就是五分之三和八分之四的單位是不同的，五分之三的單位是五分之一，五分之三分之四的單位是。八分之一對吧？八分之一和五分之一多少個五分之一多少個八分之一不能直接相加，就像你十位上的三不能加不能直接加個位上的八。你我我五三十五加上四四十八，三加八等于十一，這是不對的，對吧？三加八等于等于等于十一，你是沒有道理的，就相當(dāng)于你。那么怎么樣讓它相同？就變成相同的單位，所以變成四十分之二十四加上四十分之二二十那么就等于四十分之二十四加上二十四十分，四二十四相加就相當(dāng)于二十四個四十分之一，再加上二十個四十分之一等于四十四個四十分之一，所以等于四十分之四十四。當(dāng)然你可以變成帶分?jǐn)?shù)，那是另外一個問題，對吧。好，那么如果這樣的話，我們就看到它的一致性，一致性的是什么都是相同的計數(shù)單位的個數(shù)的累加。你要找到計數(shù)單位要找到相同的計數(shù)單位，你無論是省出小數(shù)，分?jǐn)?shù)相同計數(shù)單位加就沒有錯。那么我們也把叫做核心的概念，他們在核心概念學(xué)科反映、學(xué)科本質(zhì)的核心概念上是一致的。所以這兩個大家記住，后面我們可能還要用。從這里邊我們就可以看出它的一致性。對吧另外，我標(biāo)準(zhǔn)里邊其實我們我們回到標(biāo)準(zhǔn)哈標(biāo)準(zhǔn)里面有很有一些關(guān)。一致性的表達。大家根據(jù)前邊對一致性的理解，可以理解標(biāo)準(zhǔn)中的關(guān)于一致性的這樣的一些表達。比如說第二學(xué)段，第二學(xué)段就是在認(rèn)識整數(shù)的基礎(chǔ)上認(rèn)識小數(shù)和分?jǐn)?shù)，通過數(shù)的認(rèn)識和數(shù)的運算有機結(jié)合，感悟計數(shù)單位的意義。所以我們要記住這句話哈，感悟計數(shù)單位的意義，了解運算的一致性。為什么感受感悟分?jǐn)?shù)單位的意義就是要了解它的一致性。我們看第二階段叫了解一致性了解一致性。第三階段也是進行簡單的小數(shù)分布運算、感悟運算的一致性。所以從里邊我們就看標(biāo)準(zhǔn)里邊的這樣的一些表述，其實是基于主題整合所出現(xiàn)的這種一致性。標(biāo)準(zhǔn)里邊提到一致性的直接提到一致性的話并不多，但是我們從一致性的角度、從學(xué)科本質(zhì)的核心概念相同角度我們來理解，可能會幫助我們理解更多的那樣內(nèi)容的一致性。然后我們再看數(shù)與運算，我們把術(shù)語運算整合在一起，這說明術(shù)語算其實他們他們是具有一致性的，他們是一個整體。我們開始就說從整體來看，術(shù)語運算的是研究對象加研究對象是數(shù)。那么加加什么加它的性質(zhì)，加它的運算，是吧，加它的。我們我們開我們從從自然數(shù)開始就是從一一開始，一再加上一就是有新的數(shù)。所以說自然數(shù)的產(chǎn)生逐漸的擴大，其實就和佳聯(lián)聯(lián)系在一起的，產(chǎn)生過程其實就就標(biāo)志的運算和數(shù)有密切的關(guān)系那么。加法是所有運算的基礎(chǔ)，其他的運算其實都從加法演變出來的。加和自然數(shù)有直接的關(guān)系。那么減是加的逆運算，你你加是加法是加一加一加一對吧，你減法就是減一減一，減一減幾就是連續(xù)減幾個一，對吧那就是逆運算。乘法，乘法也是加對吧？乘法是相同加數(shù)核的簡便運算，那么其實它也是加，你。你加最原始是加一加一乘法是三加三加三再加三再加三等于三乘以四，對吧？我表示成三乘以四，三乘以四什么意思？是四個三的累加是四個三的累加四個三的累加。我們也再分解，也可以說三再加一加一加一，連續(xù)加。那么多，加到加到多少加到十二。講了十二，所以我們說四乘以三是十二，那就是三個三，哪家是十二或者是三個一，加是十二除法？除法是乘法的逆運算，那么你是累加相同加數(shù)的，和那么除法就是連連續(xù)的減連減一個相同的數(shù)，對吧？是吧十二除以十二除以三十二除以三減一個三減一個三，一共減去四個三。所以說那么運算它是。這樣的具有具有一具有一致性的。所以我們看小數(shù)乘法。小數(shù)乘法它是數(shù)和運算這樣的一個整合，是針對所有的運算，都是針對具體的數(shù)，那么運算是針對小小數(shù)的。那么它的一致性表現(xiàn)怎么什么樣就是計數(shù)單位個數(shù)的累加。計數(shù)單位你看整數(shù)、小數(shù)，你你你實際上的累累加是一個，累加是一個概念，核心概念，計數(shù)單位又是一個核心概念。我們只要記住計數(shù)單位和累加這樣兩件事情，就解決所有的數(shù)和運算他們的核核的問題。核心小小數(shù)乘法小數(shù)乘法，計數(shù)單位，小數(shù)位就是十分為百分為間份位。那么你小數(shù)乘法也是，他這些位不同數(shù)位的數(shù)，如果乘幾就就是加加幾次。那么你你都可以追溯到這樣。所以說術(shù)語運算它也具有具有一致性。所以從意義上來說，我們在在想混合運算是另外一個問題，我這里不說，大家可以去思考。好，這是說的一致性。下面就是階段性，所謂的階段性是什么意思？階段性我們可以從三個方面，一個是學(xué)業(yè)要求的不同水平，不同的學(xué)段有學(xué)業(yè)要求的不同水平。第二是思維水平的階段性。第三個核心素養(yǎng)的階段性。首先我們看學(xué)業(yè)學(xué)業(yè)要求。我們在課標(biāo)里邊表現(xiàn)形式上，前面我沒說哈，那內(nèi)容的呈現(xiàn)方式上有一個大的變化。我們有內(nèi)容要求、學(xué)業(yè)要求和教學(xué)提示。學(xué)業(yè)要求是標(biāo)示學(xué)生學(xué)到什么樣的程度。我們看，不同學(xué)段在同一個主題下的內(nèi)容的要求、學(xué)業(yè)要求是不同的，那么體現(xiàn)了一種階段性。比如說第一學(xué)段第一學(xué)段是能用數(shù)表示物體的個數(shù)和事物的順序，能讀任讀寫萬以內(nèi)的數(shù)。說出不同數(shù)位的表格，那是這是第一第一第一學(xué)段第一學(xué)段對于數(shù)的認(rèn)識。第二學(xué)段是認(rèn)識萬以內(nèi)的數(shù)，外面的數(shù)，是是萬。你哎哎外以上的數(shù)。第二第一學(xué)段是萬，就是從學(xué)習(xí)的整整數(shù)，我們只看整數(shù)哈。當(dāng)然第二學(xué)段還有小數(shù)小數(shù)數(shù)和分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識。第三階段就是理解小數(shù)分?jǐn)?shù)意義，從數(shù)的擴展這上面有些要求，有有有階段性，我們所說的思維水平。我們回到我們剛才說的核心概念。從數(shù)的意義上來說，核心概念。我們我們回想剛才說的核心概念，計數(shù)單位、計酬單位的累加，我們作為核心概念。那么在核心概念在不同學(xué)段上是怎么表表征的？看第一學(xué)段，能說出不同數(shù)位上的數(shù)表示的數(shù)值，要求什么意思？你要知道。個位上是幾幾個，十位上是幾十，百位上是幾百幾十、幾百，對吧？能說出數(shù)數(shù)位。我們再看第二階段，是了解十進制計數(shù)法，從數(shù)位擴展到十進制的計數(shù)法。整個整數(shù)整數(shù)正正整數(shù)哈，認(rèn)識自然數(shù)作為一個作為一個整體，然后感悟分?jǐn)?shù)單位，因為第二階段有分?jǐn)?shù)，有的分?jǐn)?shù)初初步認(rèn)識。好，第三階段，感悟計數(shù)單位。我我們看，是一一條線，是所謂的核心概念�；氐轿覀儎偛诺挠嫈�(shù)單位的核心概念，計數(shù)單位開始是數(shù)位，然后十進制計數(shù)法，然后有分?jǐn)?shù)單位，有小數(shù)單位，有有整數(shù)的數(shù)位到分?jǐn)?shù)。有分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)單位有小數(shù)的小數(shù)的單位，對吧十分位、百百分位。然后到第三階段小數(shù)分?jǐn)?shù)都學(xué)之后，叫感悟計數(shù)單位。好，核心概念的層次性，而這幾個都是計數(shù)單位的核心概念，我們是一條線的。這一條線他們具有具有這種這種一致性和階段性核心素養(yǎng)的階段性。我們第一階段你說初步形成初步的數(shù)感和符號意識對數(shù)感、符號意思書認(rèn)識是最重要的。第二階段形成數(shù)感符號意識。第三階段進一步發(fā)展數(shù)感和符號意識。因為在小學(xué)階段，手感符號意識就是階段性的表現(xiàn)。那么我們。用不同的詞，大家可能說你初步形成是什么意思，形成初步的，然后行然后進一步發(fā)展，大家體會有不同層次的要求，就我們就是核心素養(yǎng)也有不同的要求，這是這是第一個大的問題，我們說對于主題整合它的理解、它的它的特征。第二，我們說課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化的價值與意義，就是為什么我們要結(jié)構(gòu)化？結(jié)構(gòu)化它的意義是什么？對于我們的教學(xué)意味意味著什么？我們想從三個三個方面來，一個是它內(nèi)容的關(guān)聯(lián)，一個是知識方法的遷移，一是核心素養(yǎng)。首先我們說結(jié)構(gòu)化，課程內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化，凸顯了內(nèi)容的關(guān)聯(lián)。我們回到基本的一些理理論反思一下，或者是回回顧一下它的發(fā)展結(jié)構(gòu)化的這種脈，如果我們追溯的話，不往不往不往再早更早的追溯，我們追溯到上世紀(jì)六十年代，最有影響的就是布魯納。布魯諾的教育過程相信很多人都看過這本書，不太厚的一本書。那么布魯納在教育過程里邊，好，一個很重要的觀點就是知識的結(jié)構(gòu)化，就學(xué)習(xí)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化。他在那本書里有說，簡單地說學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)，他說結(jié)構(gòu)化就是要學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)，學(xué)生不僅不是學(xué)習(xí)碎片的知識，而是學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)，學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)就是學(xué)習(xí)事物是怎樣相互關(guān)聯(lián)的。是什么意思？其實就是說結(jié)我就是你解釋了，我們現(xiàn)在的結(jié)構(gòu)化，它的目的就是體現(xiàn)學(xué)習(xí)內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)。學(xué)習(xí)內(nèi)容之間學(xué)習(xí)內(nèi)容可能是碎片的、雜亂的、分散在不同的主題主題下，分散在不同的學(xué)段下，但是他們的關(guān)聯(lián)是什么？你如果把它關(guān)聯(lián)能夠找到，那么就能夠更使學(xué)生更好的理解學(xué)科的基本原理關(guān)聯(lián)。理解關(guān)聯(lián)是目的是學(xué)理解基本原理，然后促進學(xué)習(xí)內(nèi)容的掌握和能力的發(fā)展。是是當(dāng)時布魯納的一個一個觀點。當(dāng)然他還說了，他舉了一些。電子這本書里邊也也舉了數(shù)學(xué)的例子，大家有時間可以去看。那么學(xué)科內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化目的是要了使學(xué)生不僅了解某一個知識、某些知識，而且描寫知識之間的關(guān)聯(lián)。那這種關(guān)聯(lián)是通過什么關(guān)聯(lián)的？通過通過核心概念，就是不是個別知識的掌握，而是從內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)中體會其中的核心概念。在布魯納布魯納那本書里邊叫基本觀念，那翻譯成基本觀念我看了英文的叫叫貝斯改變，也可以翻譯成基本概念，所以說布羅娜叫基本概念，那么現(xiàn)在我們叫核心概念。而另外一個學(xué)科教育的專家，施瓦布也也也說說學(xué)科結(jié)構(gòu)。學(xué)科結(jié)構(gòu)是什么學(xué)科結(jié)構(gòu)是部分的，由規(guī)定的概念系統(tǒng)所構(gòu)成的，有概念系統(tǒng)。那這是什么意思？就是我們要學(xué)習(xí)不僅學(xué)習(xí)單個的內(nèi)容、一系列內(nèi)容，而且要學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)由核心概念組成，簽一位線索這樣的結(jié)果。然后有一句話很重要，就是講這些核心概念在氣候的學(xué)習(xí)中反復(fù)運用和強化。核心概念是在后來的學(xué)習(xí)中反復(fù)運用和強化的，是以不同的方式所表達的。剛才我們說計數(shù)單位是個大的。我們在小學(xué)一年級的時時候就說是數(shù)位，你不能跟學(xué)生說計數(shù)單位就是數(shù)位是具體，然后有小數(shù)的單位，然后有分?jǐn)?shù)的單位，然后我把它最后統(tǒng)一成都是計數(shù)單位。而學(xué)生腦子里邊就是不同的位置上的數(shù)，它表示的值是不同的，而數(shù)的表達是多少個用多少個單位或者多少個單位的組合而成的。那么然后這樣的一種東西在用到運算的時候，那也就是你對多少個單位的操作，多少個一多少個、十多少個十分之多少個十分之一、百分之多少個八分之一，多少個五分之一等等等等，都是對他多少個單位的這樣的一個表達。那么在意義上他們是一致的。所以說核心概念是不斷地反復(fù)出現(xiàn)和強化，還有不斷的進階，用現(xiàn)代時髦的語哇依然是說是吧。所以那么這就是說所以說現(xiàn)在我們用的好多，比如說大概念、大觀念、核心概念、基本概念，我認(rèn)為哈和與核心概念與學(xué)科結(jié)構(gòu)核心概念是一脈相承的。他們表達的含義應(yīng)該是應(yīng)該是一致的，可能略有略有不同是吧在不同的學(xué)科里邊可能也有略有不同。實質(zhì)表達的含義都是要結(jié)都是都是為了實現(xiàn)結(jié)構(gòu)化，都是為了實現(xiàn)內(nèi)容學(xué)習(xí)內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)，用核心概念把它們關(guān)聯(lián)出來。所以說學(xué)生學(xué)的不是知識，不不僅是個別的知識，而且要學(xué)習(xí)那些個別知識中蘊含的核心概念，然后通過這些核心概念的反復(fù)運用和強化，然后實現(xiàn)知識方法的遷移。就是下面我們說的，結(jié)構(gòu)化有助于知識與方法的遷移。其實前面我們已經(jīng)已經(jīng)說了也說了一點，結(jié)構(gòu)化事實，零散的內(nèi)容，通過核心概念使咱們串聯(lián)起來，建立起關(guān)聯(lián)。那么這些核心概念可以把主題中零散的內(nèi)容。聯(lián)系起來，促進知識與方法的遷移。怎么遷移？不是知識本身的，建議你記住，記住單個記住越來越多的知識。實現(xiàn)不了遷移，知識本身實現(xiàn)不了遷移，知識背后或者知識所蘊含的核心概念是助于遷移的。所以說這種遷移是一種運用核心概念來實現(xiàn)的遷移，你整數(shù)不能直接遷移到分?jǐn)?shù)，對吧？但是你由數(shù)位你牽扯，你遷移到分?jǐn)?shù)單位，這是可以做到的，它的本質(zhì)是一樣的，對吧？所以核心概念是可以把領(lǐng)域或者主題內(nèi)，甚至跨越主題的一些不同的這樣一些東西聯(lián)聯(lián)系起來。不同主題，這是教授主編的，主編的叫數(shù)學(xué)教育手冊數(shù)學(xué)教育手冊里邊第二第二冊里邊有這樣關(guān)于核心概念這樣一句話，我覺得他對核心概念也是說的比較清楚，就是就是主題甚至跨主題、跨領(lǐng)域的基本的概念、方法和問題聯(lián)系起來，其具有支配性的概念。就是核心概念是有支配線的，就概念是促進有意義的、聯(lián)系緊密的知識的一個強大的工具。