下學期>>4.3 任意角的三角函數(shù)

任意角的三角函數(shù)

教學目標：

　　1．通過對初中銳角三角函數(shù)定義的回憶，掌握任意角三角函數(shù)的定義法，并掌握用單位圓中的有向線段表示三角函數(shù)值．

　　2．掌握已知角 終邊上一點坐標，求四個三角函數(shù)值．（即給角求值問題）

教學重點：

　　任意角的三角函數(shù)的定義．

教學難點：

　　任意角的三角函數(shù)的定義，正弦、余弦、正切這三種三角函數(shù)的幾何表示．

教學用具：

　　直尺、圓規(guī)、投影儀．

教學步驟：

1．設置情境

　　角的范圍已經(jīng)推廣，那么對任一角 是否也能像銳角一樣定義其四種三角函數(shù)呢？本節(jié)課就來討論這一問題．

2．探索研究

（1）復習回憶銳角三角函數(shù)

　　我們已經(jīng)學習過銳角三角函數(shù)，知道它們都是以銳角 為自變量，以比值為函數(shù)值，定義了角 的正弦、余弦、正切、余切的三角函數(shù)，本節(jié)課我們研究當角 是一個任意角時，其三角函數(shù)的定義及其幾何表示．

（2）任意角的三角函數(shù)定義

　　如圖1，設 是任意角， 的終邊上任意一點 的坐標是 ，當角 在第一、二、三、四象限時的情形，它與原點的距離為 ，則 ．

定義：①比值 叫做 的正弦，記作 ，即 ．

　�、诒戎� 叫做 的余弦，記作 ，即 ．

圖1

　�、郾戎� 叫做 的正切，記作 ，即 ．

　　同時提供顯示任意角的三角函數(shù)所在象限的課件

提問：對于確定的角 ，這三個比值的大小和 點在角 的終邊上的位置是否有關(guān)呢？

　　利用三角形相似的知識，可以得出對于角 ，這三個比值的大小與 點在角 的終邊上的位置無關(guān)，只與角 的大小有關(guān)．

　　請同學們觀察當 時， 的終邊在 軸上，此時終邊上任一點 的橫坐標 都等于0，所以 無意義，除此之外，對于確定的角 ，上面三個比值都是惟一確定的．把上面定義中三個比的前項、后項交換，那么得到另外三個定義．

　�、鼙戎� 叫做 的余切，記作 ，則 ．

　　⑤比值 叫做 的正割，記作 ，則 ．

　　⑥比值 叫做 的余割，記作 ，則 ．

可以看出：當 時， 的終邊在 軸上，這時 的縱坐標 都等于0，所以 與 的值不存在，當 時， 的值不存在，除此之外，對于確定的角 ，比值 ， ， 分別是一個確定的實數(shù)，所以我們把正弦、余弦，正切、余切，正割及余割都看成是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，以上六種函數(shù)統(tǒng)稱三角函數(shù)．

（3）三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù)

　　對于確定的角 ，如圖2所示， ， ， 分別對應的比值各是一個確定的實數(shù)，因此，正弦，余弦，正切分別可看成從一個角的集合到一個比值的集合的映射，它們都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，當采用弧度制來度量角時，每一個確定的角有惟一確定的弧度數(shù)，這是一個實數(shù)，所以這幾種三角函數(shù)也都可以看成是以實數(shù)為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)．

　　即：實數(shù)→角（其弧度數(shù)等于這個實數(shù)）→三角函數(shù)值（實數(shù)）

（4）三角函數(shù)的一種幾何表示

　　利用單位圓有關(guān)的有向線段，作出正弦線，余弦線，正切線，如下圖3．

圖3

　　設任意角 的頂點在原點 ，始邊與 軸的非負半軸重合，終邊與單位圓相交于點 ，過 作 軸的垂線，垂足為 ；過點 作單位圓的切線，這條切線必然平行于軸，設它與角 的終邊（當 為第一、四象限時）或其反向延長線（當 為第二、三象限時）相交于 ，當角 的終邊不在坐標軸上時，我們把 ， 都看成帶有方向的線段，這種帶方向的線段叫有向線段．由正弦、余弦、正切函數(shù)的定義有：

　　這幾條與單位圓有關(guān)的有向線段 叫做角 的正弦線、余弦線、正切線．當角 的終邊在 軸上時，正弦線、正切線分別變成一個點；當角 的終邊在 軸上時，余弦線變成一個點，正切線不存在．

（5）例題講評

　　已知角 的終邊經(jīng)過 ，求 的六個三角函數(shù)值（如圖4）．

解：∵

　　∴

　　提問：若將 改為 ，如何求 的六個三角函數(shù)值呢？（分 ， 兩種情形討論）

求下列各角的六個三角函數(shù)值

　�。�1） ；（2） ；（3） ．

解：（1）∵當 時， ，

　　∴ ， ，

 不存在， ， 不存在

　�。�2）∵當 時， ，

　　∴ ，

 不存在

 不存在

　　（3）當 時， ，

　　∴

 不存在 不存在

作出下列各角的.正弦線，余弦線，正切線．（1） ；（2） ．

　　解： ， 的正弦線，余弦線，正切線分別為 ．

求證：當 為銳角時， ．

　　證明：如右圖，作單位圓，當 時作出正弦線 和正切線 ，連

　　∵

　　∴

　　∴

利用三角函數(shù)線還可以得出如下結(jié)論

 的充要條件是 為第一象限角．

 的充要條件是 為第三象限角．

練習（學生板演，利用投影儀）

　�。�1）角 的終邊在直線 上，求 的六個三角函數(shù)值．

　�。�2）角 的終邊經(jīng)過點 ，求 ， ， ， 的值．

　�。�3）說明 的理由． ．

解答：

（1）先確定終邊位置

　�、偃� 在第一象限，在其上任取一點 ， ，則

 ，

　�、谌� 在第三象限，在終邊上任取一點 ，則

 ，

　�。�2）若 ，不妨令 ，則 在第二角限

　　∴

　�。�3）在 終邊上任取一點 ，因為 與 終邊相同，故 也為角 終邊上一點，所以 成立．

　　說明：以后會知道，求三角函數(shù)值的方法有多種途徑．用定義求角 的三角函數(shù)值，是基本方法之一．當角終邊不確定時，要首先確定終邊位置，然后再在終邊上取一個點來計算函數(shù)值．

3．反饋訓練

（1）若角 終邊上有一點 ，則下列函數(shù)值不存在的是（ ）．

　　A． B． C． D．

（2）函數(shù) 的定義域是（ ）．

　　A．B．

　　C． D．

（3）若 ， 都有意義，則 ．

（4）若角 的終邊過點 ，且 ，則 ．

參考答案：（1）D；（2）B；（3） 或8，說明點 在半徑為 的圓上；（4）－6．

4．本課小結(jié)

　　利用定義求三角函數(shù)值，首先要建立直角坐標系，角頂點和始邊要按既定的位置設置．角 的三角函數(shù)定義式，其實是比例的化身，它的背后是相似形在支稱著，不過這個定義具有一般性，如軸上角的三角函數(shù)，如果沒有定義作為論據(jù)，欲求其函數(shù)性就不是很容易．

　　分類討論（角位置）是三角函數(shù)求值過程中，使用頻率非常高的一個數(shù)學思想，而分類標準往往是四個象限及四個坐標半軸．

課時作業(yè)：

1．已知角 的終邊經(jīng)過下列各點，求角 的六個三角函數(shù)值．

　�。�1） （2）

2．計算

　�。�1）

　�。�2）

　�。�3）

　　（4）

3．化簡

　�。�1）

　�。�2）

　�。�3）

　�。�4）

參考答案：

1．（1） ， ，

　　　　　 ， ，

　　　　　 ，

　�。�2） ， ，

 ， ，

 ，

2．（1）－2；（2）8；（3）－1；（4）

3．（1）0；（2） ；（3） ；（4）