摘要：相容性是概率統(tǒng)計(jì)學(xué)描述事件間相互關(guān)系的基本概念，正確理解相容性是解決概率統(tǒng)計(jì)問題的關(guān)鍵之一。本文從隨機(jī)事件相容性的概念入手，討論了它與事件的互逆、獨(dú)立性和零概率事件間的關(guān)系，并結(jié)合實(shí)例闡明隨機(jī)事件相容性的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：隨機(jī)事件 相容性 互逆 獨(dú)立性 零概率事件

為了探討復(fù)雜隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，我們需要研究隨機(jī)事件間的關(guān)系。而隨機(jī)事件間的關(guān)系中，事件的互不相容是最基本、最重要的概念之一。正確理解其意義并把握它與事件的互逆、獨(dú)立性、零概率事件間的關(guān)系，對(duì)于解決概率問題無疑是有幫助的。因此有必要對(duì)隨機(jī)事件相容性的若干問題進(jìn)行探討。

1 事件相容性的概念

若事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生，即事件A的出現(xiàn)必然導(dǎo)致事件B不出現(xiàn)，事件B的出現(xiàn)必然導(dǎo)致事件A不出現(xiàn)，則稱A與B互不相容（或互斥）。顯然，同一試驗(yàn)中的各個(gè)基本事件是互不相容的；互不相容事件的積事件為不可能事件。例1.拋一枚硬幣，“出現(xiàn)正面”與“出現(xiàn)反面”這兩個(gè)事件就是互不相容的事件。例2.擲一顆骰子，“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為1”與“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為5”這兩個(gè)事件也是互不相容的事件。

2 兩事件互不相容（或互斥）與互逆的關(guān)系

2.1 兩事件互逆（或?qū)α⑹录��?若事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生，但又不能同時(shí)發(fā)生，則稱事件A與事件B是互逆事件（或?qū)α⑹录�）�?

顯然，若事件A、B互逆，則A+B=Ω，AB=Φ；反之也成立。

如上面例1中，“出現(xiàn)正面”與“出現(xiàn)反面”這兩個(gè)事件就是互逆事件；但例2中“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為1”與“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為5”這兩個(gè)事件不是互逆事件。

2.2 兩事件互不相容（或互斥）與互逆的關(guān)系 若兩事件互逆，則兩事件一定互不相容（或互斥）；反之不成立。

如上面例1中，“出現(xiàn)正面”與“出現(xiàn)反面”這兩個(gè)互逆事件也是互斥事件；例2中“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為1”與“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為5”這兩個(gè)互斥事件不是互逆事件。

3 兩事件互不相容與相互獨(dú)立的關(guān)系

3.1 兩事件相互獨(dú)立 對(duì)于事件A與B，若P（AB）=P（A）P（B），則稱事件A與B相互獨(dú)立。

當(dāng)P（A）>0，P（B）>0時(shí)，下列結(jié)論是等價(jià)的：

事件A與事件B相互獨(dú)立；

P（AB）=P（A）P（B）；

P（B）=P（BA）；

P（A）=P（AB）。

3.2 兩事件互不相容與相互獨(dú)立的關(guān)系

事件A、B相互獨(dú)立是指A事件發(fā)生的概率與事件B的發(fā)生與否沒有關(guān)系，并不是事件A、B沒有關(guān)系。相反地，若事件A、B相互獨(dú)立，則事件A、B是相容的。

事件A、B互不相容是指事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B不發(fā)生，并沒有說A事件發(fā)生的概率與事件B的發(fā)生與否沒有關(guān)系。由概率關(guān)系推不出事件間的關(guān)系。

一般來說，兩事件A、B互不相容與兩事件A、B相互獨(dú)立二者之間沒有必然聯(lián)系。

例3.圖1與圖2分別表示兩事件獨(dú)立但不互不相容與兩事件互不相容但不獨(dú)立。

立的。圖2表示兩事件互不相容但不相互獨(dú)立。

4 互不相容事件與零概率事件的關(guān)系

4.1 零概率事件 我們稱概率為零的事件為零概率事件。不可能事件是零概率事件，但零概率事件不全是不可能事件。

4.2 互不相容事件與零概率事件的關(guān)系 互不相容事件與零概率事件的關(guān)系是：若事件A、B互不相容，則事件AB是零概率事件，反之不成立。

證明：若事件A、B互不相容，則事件AB=Φ，于是P（AB）=0，即事件AB是零概率事件。反之不成立，請(qǐng)看反例：設(shè)隨機(jī)變量X～U（0，1），事件A={0.1？燮X？燮0.2}，事件B={0.2？燮X？燮0.3}，則P（A）=P（B）=0.1>0，AB={X=0.2}，P（AB）=0；即若P（AB）=0，推不出事件A、B互不相容。

5 有關(guān)隨機(jī)事件相容性的應(yīng)用舉例

從上面的分析可以知道，對(duì)于隨機(jī)事件的相容性及其相關(guān)概念，只有準(zhǔn)確理解并從本質(zhì)上把握好這些概念之間的相互關(guān)系，才能應(yīng)用自如。再舉例如下：

例4.設(shè)事件A與事件B1、B2獨(dú)立，且事件B1、B2互斥，證明事件A與事件B1+B2獨(dú)立。

證明：因?yàn)锳與B1、B2獨(dú)立，

所以P（AB1）=P（A）P（B1），P（AB2）=P（A）P（B2）；

又因?yàn)锽1、B2互斥且AB1？奐B1、AB2？奐B2，

所以P（B1+B2）=P（B1）+P（B2）且AB1、AB2也互斥；

于是P（A（B1+B2））=P（AB1+AB2）=P（AB1）+P（AB2）

=P（A）P（B1）+P（A）P（B2）=P（A）（P（B1）+P（B2））

=P（A）（P（B1+B2））

即P（A（B1+B2））=P（A）（P（B1+B2））

故事件A與事件B1+B2獨(dú)立。

該題的求解須準(zhǔn)確理解事件的互斥性、事件獨(dú)立性的概念及正確使用兩事件互斥時(shí)的加法公式。

例5.若事件A、B相互獨(dú)立，且A？奐B，則事件A是零概率事件。

證明：因?yàn)锳？奐B，所以AB=A，P（AB）=P（A）；又因?yàn)槭录嗀、B相互獨(dú)立，所以P（AB）=P（A）P（B）；于是P（A）=P（A）P（B），所以P（A）=0，即事件A是零概率事件。

該題的求解須準(zhǔn)確理解事件的獨(dú)立性、零概率事件的概念。

例6.對(duì)事件A、B，若P（AB），則

（A）事件A、B互不相容 （B）事件AB是不可能事件

（C）P（A）=0或者P（B）=0 （D）事件AB不一定是不可能事件

解：正確答案為D。

注解：由例5可知，選項(xiàng)A不成立；再由互不相容事件與零概率事件的關(guān)系得，選項(xiàng)B、C也不成立。

（A）事件A、B互逆 （B）事件A、B相互獨(dú)立

（C）事件A、B互不相容 （D）事件A、B不相互獨(dú)立

解：正確答案為B。

例8.對(duì)某校一年級(jí)學(xué)生上下兩學(xué)期成績(jī)的統(tǒng)計(jì)調(diào)查

中發(fā)現(xiàn)：上下兩學(xué)期成績(jī)均優(yōu)的學(xué)生占被調(diào)查學(xué)生總數(shù)的5%，僅上學(xué)期成績(jī)得優(yōu)的學(xué)生占被調(diào)查學(xué)生總數(shù)的10%，求上學(xué)期成績(jī)得優(yōu)的概率？

解：設(shè)A={上學(xué)期成績(jī)得優(yōu)}，B={下學(xué)期成績(jī)得優(yōu)}，由題意得P（AB）=0.05，P（AB）=0.1，

又由A=AΩ=A（B+B）=AB+AB且AB、AB互斥，得

P（A）=P（AB）+P（AB）=0.05+0.1=0.15；

即上學(xué)期成績(jī)得優(yōu)的概率為15%。

該題的求解須準(zhǔn)確理解事件的互斥性并正確使用兩事件互斥時(shí)的加法公式。

總之，只有準(zhǔn)確理解隨機(jī)事件相容性的概念及其相互關(guān)系，才能正確解決好概率統(tǒng)計(jì)問題。

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