高中數(shù)學(xué)弦切角定理的證明方法

　　弦切角是幾何中的定理，那它們是怎么被證明的呢?證明的方法是怎樣的呢?下面就是百分網(wǎng)小編給大家整理的弦切角定理證明方法內(nèi)容，希望大家喜歡。

　　弦切角定理證明方法一

　　1)連OC、OA，則有OC⊥CD于點C。得OC‖AD，知∠OCA=∠CAD。

　　而∠OCA=∠OAC，得∠CAD=∠OAC。進(jìn)而有∠OAC=∠BAC。

　　由此可知，0A與AB重合，即AB為⊙O的直徑。

　　(2)連接BC，且作CE⊥AB于點E。立即可得△ABC為Rt△，且∠ACB=Rt∠。

　　由射影定理有AC²=AE*AB。又∠CAD=∠CAE，AC公用，∠CDA=∠CEA，得△CEA≌△CDA，有AD=AE，所以，AC²=AB*AD。

　　第一題重新證明如下：

　　首先證明弦切角定理，即有∠ACD=∠CBA 。

　　連接OA、OC、BC，則有

　　∠ACD+∠ACO=90°

　　=(1/2)(∠ACO+∠CAO+∠AOC)

　　=(1/2)(2∠ACO+∠AOC)

　　=∠ACO+(1/2)∠AOC,

　　所以∠ACD=(1/2)∠AOC，

　　而∠CBA=(1/2)∠AOC(同弧上的圓周角等于圓心角的一半)，

　　得∠ACD=∠CBA 。

　　另外，∠ACD+∠CAD=90°，∠CAD=∠CAB，

　　所以有∠CAB+∠CBA=90°，得∠BCA=90°，進(jìn)而AB為⊙O的直徑。

　　弦切角定理證明方法二

　　證明一：設(shè)圓心為O，連接OC，OB,。

　　∵∠TCB=90-∠OCB

　　∵∠BOC=180-2∠OCB

　　∴,∠BOC=2∠TCB(定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對的圓心角的度數(shù)的一半)

　　∵∠BOC=2∠CAB(圓心角等于圓周角的兩倍)

　　∴∠TCB=∠CAB(定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓周角)

　　證明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切線，A為切點，弧是弦切角∠BAC所夾的弧.

　　求證：(弦切角定理)

　　證明：分三種情況：

　　(1)圓心O在∠BAC的.一邊AC上

　　∵AC為直徑，AB切⊙O于A，

　　∴弧CmA=弧CA

　　∵為半圓,

　　∴∠CAB=90=弦CA所對的圓周角 (2)圓心O在∠BAC的內(nèi)部.

　　過A作直徑AD交⊙O于D,

　　若在優(yōu)弧m所對的劣弧上有一點E

　　那么，連接EC、ED、EA

　　則有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB

　　∴ ∠CEA=∠CAB

　　∴ (弦切角定理)

　　(3)圓心O在∠BAC的外部,

　　過A作直徑AD交⊙O于D

　　那么 ∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90

　　∴∠CDA=∠CAB

　　∴(弦切角定理)

　　弦切角定理證明方法三

　　若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個弦切角也相等

　　應(yīng)用舉例

　　例1：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，以AB為弦的⊙O與AC相切于點A，∠CBA=60° , AB=a 求BC長.

　　解：連結(jié)OA，OB.

　　∵在Rt△ABC中, ∠C=90

　　∴∠BAC=30°

　　∴BC=1/2a(RT△中30°角所對邊等于斜邊的一半)

　　例2：如圖，AD是ΔABC中∠BAC的平分線，經(jīng)過點A的⊙O與BC切于點D，與AB，AC分別相交于E，F(xiàn).

　　求證：EF∥BC.

　　證明：連DF.

　　AD是∠BAC的平分線∠BAD=∠DAC

　　∠EFD=∠BAD

　　∠EFD=∠DAC

　　⊙O切BC于D ∠FDC=∠DAC

　　∠EFD=∠FDC

　　EF∥BC

　　例3：如圖，ΔABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O直徑，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，

　　求證：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.

　　證明：∵AB是⊙O直徑

　　∴∠ACB=90

　　∵CD⊥AB

　　∴∠ACD=∠B，

　　∵M(jìn)N切⊙O于C

　　∴∠MCA=∠B，

　　∴∠MCA=∠ACD，

　　即AC平分∠MCD，

　　同理：BC平分∠NCD.