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高一數(shù)學(xué)關(guān)于周期函數(shù)的定義域性質(zhì)

高一數(shù)學(xué)關(guān)于周期函數(shù)的定義域性質(zhì)

  導(dǎo)語:一個人從另一個人的諍言中所得來的光明,比從他自己的理解力、判斷力所得出的光明更是干凈純粹。。下面是小編為大家整理的,高中數(shù)學(xué)知識點。希望對大家有所幫,歡迎閱讀,僅供參考,更多相關(guān)的知識,請關(guān)注CNFLA學(xué)習(xí)網(wǎng)!

  提出問題:f(x)=sinx (x>0)是周期函數(shù)嗎?;周期函數(shù)定義域是R嗎?若T是f(x)的周期,那么kT(k屬于Z)必是f(x)的周期嗎?

  首先明確:一、有限區(qū)間、無限區(qū)間;二、非空數(shù)集的有界、無界與確界;三、再解疑周期函數(shù)的定義域與周期;四、教師參考.探討如下

  一、有限區(qū)間、無限區(qū)間:

  1.有限區(qū)間

  :

  = 開區(qū)間

  ;

  = 閉區(qū)間

  ;

  半開(半閉)區(qū)間.

  2.無限區(qū)間

 。

  ;二、非空數(shù)集的有界、無界與確界

  1.上界、上確界: 設(shè)A為R中的一個非空數(shù)集.若存在實數(shù)M,使得對一切xA,都有xM, 則稱M為數(shù)集A的上界。所有上界中最小的一個叫數(shù)集= ;

  ;. ;A的上確界。

  2.下界、下確界: 設(shè)A為R中的一個非空數(shù)集.若存在實數(shù)M,使得對一切xA,都有xM, 則稱M為數(shù)集A的下界。所有下界中最大的一個叫數(shù)集A的下確界。

  3. 非空數(shù)集有界:設(shè)A為R中的一個非空數(shù)集,若數(shù)集A“有上界且有下界”, 則稱數(shù)集A有界。如

  有限區(qū)間類:a,b;a,b;a,b;a,b。

  間斷類型:1,25;1,24,5, 6

  4. 非空數(shù)集無界:設(shè)A為R中的`一個非空數(shù)集,若數(shù)集A“無上界或無下界”, 則稱數(shù)集A無界。(A無界含有三種情況:無上界;無下界;無上界且無下界。)如

  無限區(qū)間類: ,a;,a;a,;a,;,

  間斷類型:,24,5;1,25,;xxk,kN; 2xxk,kZ 2

  注意:函數(shù)的定義域是非空數(shù)集應(yīng)分有界與無界兩類。即有限區(qū)間雙側(cè)有界,間斷雙側(cè)有界;無限區(qū)間單側(cè)無界,無限區(qū)間雙側(cè)無界,間斷單側(cè)無界與間斷雙側(cè)側(cè)無界。(定義域分為有限區(qū)間與無限區(qū)間不確切)

  三、 函數(shù)的定義域與周期

  1.周期函數(shù)的定義(舊人教、新課標(biāo)版一樣):對于函數(shù)y=f(x),如果存在常數(shù)T≠0,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)每一個值時, 都有f(x+T) = f(x),那么函數(shù)y= f(x)就叫周期函數(shù),T就叫這個函數(shù)的周期。 若所有周期T中存在一個最小的正數(shù),則稱它為最小正周期。

  注意:①定義中“存在常數(shù)T≠0”,其意是可存在正數(shù)T,也可存在負(fù)數(shù)T,還可二者都存在,不是正負(fù)同時存在才行。

  ②定義中“x取定義域內(nèi)每一個值”時,都有f(x+T) = f(x),即恒成立的意思。

  結(jié)論:⑴其實有周期函數(shù)定義和注意①②不難得出周期函數(shù)的定義域有不同的三種形式,:定義域左側(cè)無界;定義域右側(cè)無界;定義域雙側(cè)無界。(定義域為左側(cè)無限區(qū)間;定義域為右側(cè)無限區(qū)間;定義域雙側(cè)無限區(qū)間;不妥因由間斷)。

 、浦芷赥有不同的三種形式形式:有正周期不一定有負(fù)周期;有負(fù)周期不一定有正周期;有正周期不一定有最小正周期。舉例如下

  例1:f(x)sinx(x0) 解:周期T=2。無負(fù)周期,定義域右側(cè)無界,有最小正周期。

  例2:f(x)sinx(x0) 解:周期T=-2。無正周期,定義域左側(cè)無界,無最小正周期。

  例3:f(x)sinx(xR) 解:周期T=2。有正負(fù)周期,定義域雙側(cè)無界,有最小正周期。

  例4f(x)tanx(x0,xk

  右側(cè)無界,有最小正周期。 2,kZ) 解:周期T=。無負(fù)周期,定義域

  例5: f(x)tanx(x0,xk

  2,kZ) 解:周期T=-。無正周期,定

  義域左側(cè)無界,無最小正周期。

  例6: f(x)tanx(xk

  側(cè)無界,有最小正周期。

  例7: f(x)C(xR) 解:任意T0都是周期。有正負(fù)周期,定義域雙側(cè)無界,無最小正周期。

  例8: f(x)Cxa,b 解:非周期函數(shù)。

  例9:f(x)=0,x為整數(shù) 解:周期T=1。有正負(fù)周期,定義域雙側(cè)無界,有最小正周期。

  例10lgsin(x) 解:周期T=2。有正負(fù)周期,定義域雙側(cè)無界,有最小正周期。 2,kZ) 解:周期T=。有正負(fù)周期,定義域雙

  1(x為有理數(shù))例11克雷Dirichlet函數(shù)f(x) 解:周期為任意T0實數(shù)。

  0(x為無理數(shù))

  有正負(fù)周期,定義域雙側(cè)無界,無最小正周期。

  2. 周期函數(shù)性質(zhì):①T是函數(shù)f(x)的周期,則對于任意的正整數(shù)k∈N*,kT是f(x)的周期。應(yīng)該把那個k∈Z改成k∈N*.

 、谌鬞1,T2都為函數(shù)f(x)的周期,且T1T20,則T1T2也是f(x)的周期.

  注意:T是函數(shù)f(x)的周期,則對于任意的整數(shù)k0kz,kT是f(x)的周期不正確。

  四、教師參考

  為什么對周期函數(shù)的定義域與周期理解有異議哪?其原因是中學(xué)與大學(xué)教材定義不一樣。

  1. 大學(xué)周期函數(shù)的定義:對于函數(shù)y=f(x),如果存在常數(shù)T≠0,使得當(dāng)x取定

  義域內(nèi)每一個值時,都有f(x±T)=f(x),那么函數(shù)y= f(x)就叫周期函數(shù),T

  就叫這個函數(shù)的周期。 若所有周期T中存在一個最小的正數(shù),則稱它為最小正周期。

  結(jié)論:⑴定義域雙側(cè)無界。

 、浦芷赥:有正周期必有負(fù)周期;有負(fù)周期必有正周期;有正周期不一定有最小正周期。

  性質(zhì):此時周期函數(shù)的性質(zhì)可變?yōu)椋?/p>

  (1) 若T是f(x)的周期,則-T也是f(x)的周期;

  (2) 若T是f(x)的周期,則kT也是f(x)的周期,其中k是非零整數(shù);

  (3) 若T1、T2是f(x)的周期,則T1±T2也是f(x)的周期;

  (4) 若T是f(x)的最小正周期,則f(X)的所有周期組成的集合為{t|t=kT,k∈Z, k≠0};

  (5 若f(x)是周期函數(shù),則f(x)的定義域一定是雙側(cè)無界的。

  2. 嚴(yán)格按照課本,如果課本上沒有明確定義,我想像高考這種考試會避開這類問題。因為這種定義,是觀察了實際中的事物或現(xiàn)象后,在數(shù)學(xué)上找一個可以反映這種規(guī)律的數(shù)學(xué)定義,很難說哪一種定義更符合人們的初衷,而且還可能會有一些奇怪的例子,很不符合最初的觀念。

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