2023北京卷高考數(shù)學(xué)真題及答案

眾所周知，數(shù)學(xué)屬于形式科學(xué)，而不是自然科學(xué)。不同的數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)的確切范圍和定義有一系列的看法。以下是小編整理的2023北京卷高考數(shù)學(xué)真題，希望可以提供給大家進(jìn)行參考和借鑒。

2023北京卷高考數(shù)學(xué)真題

2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(北京卷)

數(shù)學(xué)

本試卷共5頁，150分。考試時(shí)長120分鐘�？忌鷦�(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效�？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分(選擇題 共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。

1.已知全集，集合，則( )

A. B. C. D.

2.若復(fù)數(shù)z滿足，則( )

A.1 B.5 C.7 D.25

3.若直線是圓的一條對(duì)稱軸，則( )

A. B. C.1 D.

4.已知函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有( )

A. B.

C. D.

5.已知函數(shù)，則( )

A.在上單調(diào)遞減 B.在上單調(diào)遞增

C.在上單調(diào)遞減 D.在上單調(diào)遞增

6.設(shè)是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的( )

A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

7.在北京冬奧會(huì)上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn).如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和的關(guān)系，其中T表示溫度，單位是K;P表示壓強(qiáng)，單位是.下列結(jié)論中正確的是( )

A.當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于液態(tài)

B.當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于氣態(tài)

C.當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

D.當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

8.若，則( )

A.40 B.41 C. D.

9.已知正三棱錐的六條棱長均為6，S是及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合.設(shè)集合，則T表示的區(qū)域的面積為( )

A. B. C. D.

10.在中，.P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是( )

A. B. C. D.

第二部分(非選擇題 共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

11.函數(shù)的定義域是_________.

12.已知雙曲線的漸近線方程為，則__________.

13.若函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為，則________;________.

14.設(shè)函數(shù)若存在最小值，則a的一個(gè)取值為________;a的最大值為___________.

15.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和滿足.給出下列四個(gè)結(jié)論：

①的第2項(xiàng)小于3; ②為等比數(shù)列;

③為遞減數(shù)列; ④中存在小于的項(xiàng).

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________.

三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.(本小題13分)

在中，.

(I)求;

(II)若，且的面積為，求的周長.

17.(本小題14分)

如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，M，N分別為，AC的中點(diǎn).

(I)求證：平面;

(II)再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值.

條件①：;

條件②：.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

18.(本小題13分)

在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績達(dá)到以上(含)的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng).為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)(單位：m)：

甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25;

乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23;

丙：9.85，9.65，9.20，9.16.

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨(dú)立.

(I)估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率;

(II)設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望EX;

(III)在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計(jì)值最大?(結(jié)論不要求證明)

19.(本小題15分)

已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，焦距為.

(I)求橢圓E的方程;

(II)過點(diǎn)作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B，C，直線AB，AC分別與x軸交于點(diǎn)M，N，當(dāng)時(shí)，求k的值.

20.(本小題15分)

已知函數(shù).

(I)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;

(II)設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性;

(III)證明：對(duì)任意的，有.

21.(本小題15分)

已知為有窮整數(shù)數(shù)列.給定正整數(shù)m，若對(duì)任意的，在Q中存在，使得，則稱Q為連續(xù)可表數(shù)列.

(I)判斷是否為連續(xù)可表數(shù)列?是否為連續(xù)可表數(shù)列?說明理由;

(II)若為連續(xù)可表數(shù)列，求證：k的最小值為4;

(III)若為連續(xù)可表數(shù)列，且，求證：.

2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(北京卷)

數(shù)學(xué)參考答案

第一部分(選擇題 共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).

1. D 2. B 3. A 4. C 5. C 6. C 7. D 8. B 9. B 10. D

第二部分(非選擇題 共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.

12.

13. ①. 1 ②.

14. ①. 0(答案不唯一) ②. 1

15.①③④

三、解答題共6小愿，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.(1)

(2)

17.(1)取的中點(diǎn)為，連接，

由三棱柱可得四邊形為平行四邊形，

而，則，

而平面，平面，故平面，

而，則，同理可得平面，

而平面，

故平面平面，而平面，故平面，

(2)因?yàn)閭?cè)面為正方形，故，

而平面，平面平面，

平面平面，故平面，

因?yàn)�，故平面�?/p>

因?yàn)槠矫妫�故�?/p>

若選①，則，而，，

故平面，而平面，故，

所以，而，，故平面，

故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則，

故，

設(shè)平面的法向量為，

則，從而，取，則，

設(shè)直線與平面所成的角為，則

.

若選②，因，故平面，而平面，

故，而，故，

而，，故，

所以，故，

而，，故平面，

故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則，

故，

設(shè)平面的法向量為，

則，從而，取，則，

設(shè)直線與平面所成的角為，則

.

18.(1)0.4 (2)

(3)丙

19.(1)

(2)

20.(1)

(2)在上單調(diào)遞增.

(3)解：原不等式等價(jià)于，

令，，

即證，

∵，

，

由(2)知在上單調(diào)遞增，

∴，

∴

∴在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?/p>

∴，所以命題得證.

21.(1)是連續(xù)可表數(shù)列;不是連續(xù)可表數(shù)列.

(2)若,設(shè)為,則至多，6個(gè)數(shù)字，沒有個(gè)，矛盾;

當(dāng)時(shí),數(shù)列，滿足，，，，，，，， .

(3)，若最多有種，若，最多有種，所以最多有種，

若，則至多可表個(gè)數(shù)，矛盾,

從而若,則，至多可表個(gè)數(shù)，

而，所以其中有負(fù)的，從而可表1~20及那個(gè)負(fù)數(shù)(恰 21個(gè))，這表明中僅一個(gè)負(fù)的，沒有0，且這個(gè)負(fù)的在中絕對(duì)值最小，同時(shí)中沒有兩數(shù)相同,設(shè)那個(gè)負(fù)數(shù)為 ，

則所有數(shù)之和，，

，再考慮排序，排序中不能有和相同，否則不足個(gè)，

(僅一種方式)，

與2相鄰，

若不在兩端,則形式，

若，則(有2種結(jié)果相同，方式矛盾)，

， 同理 ，故在一端，不妨為形式，

若,則 (有2種結(jié)果相同，矛盾)，同理不行，

，則 (有2種結(jié)果相同，矛盾)，從而，

由于,由表法唯一知3,4不相鄰,、

故只能，①或，②

這2種情形，

對(duì)①：，矛盾，

對(duì)②：，也矛盾，綜上

如何學(xué)好數(shù)學(xué)

其實(shí)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是沒有什么簡單的方法的，都是經(jīng)過腳踏實(shí)地一步步學(xué)習(xí)的，所以不要想著有什么捷徑，我們只有清晰的認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)應(yīng)該怎么學(xué)習(xí)，才能找到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)該用什么方法。如果你真的打算好好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，除了在上課的時(shí)候，認(rèn)真的聽課以外，最主要的就是做題了，其實(shí)理科當(dāng)中，不僅是數(shù)學(xué)需要多做題，其他的科目也是需要多做題的。

做題的時(shí)候，不能說這道題我們不會(huì)，就不做了，一定要好好的研究一下，然后讓老師或者是同學(xué)給自己講解一下，自己回來之后，多專研，然后把它寫在自己的本子上，最好能有一個(gè)單獨(dú)的本子，記錄這些自己不會(huì)的題，在記錄的時(shí)候，要解題的思路和步驟都寫好，這樣你再翻看的時(shí)候，如果還是不會(huì)，看到解題的思路和步驟，就會(huì)把這道題在心理理順一遍，這樣對(duì)自己做這道題有很大的幫助。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)小竅門是什么

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)候，我們一定要知道學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維模式是什么，只有掌握了思維模式，看到數(shù)學(xué)題的時(shí)候，我們才能知道怎么去思考，一旦我們有了思路，做什么題都會(huì)簡單一點(diǎn)，數(shù)學(xué)當(dāng)中最重要的就是做題的時(shí)候有思路，如果你連思路都沒有，這道數(shù)學(xué)題是不可能會(huì)做出來的，數(shù)學(xué)當(dāng)中思路的重要性，不用小編說，同學(xué)們也都知道，所以在生活中，多多培養(yǎng)自己的這種能力，對(duì)于自己學(xué)理科很有幫助。

一些理科的思路其實(shí)都是有相同點(diǎn)的，所以只要你掌握了一種學(xué)習(xí)思路，無論是哪個(gè)科目你學(xué)習(xí)起來都會(huì)簡單很多，數(shù)學(xué)中，有些題型雖然一樣，但是一些同學(xué)即使做過相同的題型，還是不太會(huì)做，這種情況下，我們的成績基本就很難提高了。

高中數(shù)學(xué)常用公式

乘法與因式分

a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

三角不等式

|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a

根與系數(shù)的關(guān)系X1+X2=-b/a X1__X2=c/a 注：韋達(dá)定理

判別式

b2-4ac=0 注：方程有兩個(gè)相等的實(shí)根

b2-4ac>0 注：方程有兩個(gè)不等的實(shí)根

b2-4ac<0 注：方程沒有實(shí)根，有共軛復(fù)數(shù)根

三角函數(shù)公式

兩角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

倍角公式

tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

半角公式

sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

和差化積

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

某些數(shù)列前n項(xiàng)和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6

13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1__2+2__3+3__4+4__5+5__6+6__7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圓半徑

余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注：角B是邊a和邊c的夾角

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：(a,b)是圓心坐標(biāo)

圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0

拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py

直棱柱側(cè)面積S=c__h 斜棱柱側(cè)面積 S=c'__h

正棱錐側(cè)面積S=1/2c__h' 正棱臺(tái)側(cè)面積 S=1/2(c+c')h'

圓臺(tái)側(cè)面積S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面積 S=4pi__r2

圓柱側(cè)面積S=c__h=2pi__h 圓錐側(cè)面積 S=1/2__c__l=pi__r__l

弧長公式l=a__r a是圓心角的弧度數(shù)r >0 扇形面積公式 s=1/2__l__r

錐體體積公式V=1/3__S__H 圓錐體體積公式 V=1/3__pi__r2h

斜棱柱體積V=S'L 注：其中,S'是直截面面積， L是側(cè)棱長

柱體體積公式V=s__h 圓柱體 V=pi__r2h

數(shù)學(xué)五大常數(shù)

圓周率π≈3.141592653589793

不管圓有多大，它的周長與直徑的比值總是一個(gè)固定的數(shù)。我們就把這個(gè)數(shù)叫做圓周率，用希臘字母π來表示。

π是數(shù)學(xué)中最基本、最重要、最神奇的常數(shù)之一，它常常出現(xiàn)在一些與幾何毫無關(guān)系的場(chǎng)合中。例如，任意取出兩個(gè)正整數(shù)，則它們互質(zhì)(最大公約數(shù)為1)的概率為6/π^2。

自然底數(shù)

e≈2.718281828459

在17世紀(jì)末，瑞士數(shù)學(xué)家Bernoulli注意到了一個(gè)有趣的現(xiàn)象：當(dāng)x越大時(shí)，(1+1/x)^x將會(huì)越接近某個(gè)固定的數(shù)。18世紀(jì)的大數(shù)學(xué)家Euler仔細(xì)研究了這個(gè)問題，并第一次用字母e來表示當(dāng)x無窮大時(shí)(1+1/x)^的值。他不但求出了e≈2.718，還證明了e是一個(gè)無理數(shù)。

e的用途也十分廣泛，很多公式里都有e的身影。在微積分中，無理數(shù)e更是大顯神通，這使得它也成為了高等數(shù)學(xué)中最重要的無理數(shù)之一。

虛數(shù)單位i

在計(jì)算中常用到的是：i^2=-1，即虛數(shù)單位的平方為負(fù)一。在復(fù)數(shù)a+bi中，a稱為復(fù)數(shù)的實(shí)部，b稱為復(fù)數(shù)的虛部，i稱為虛數(shù)單位。當(dāng)虛部等于零時(shí)，這個(gè)復(fù)數(shù)就是實(shí)數(shù);當(dāng)虛部不等于零時(shí)，這個(gè)復(fù)數(shù)稱為虛數(shù)，虛數(shù)的實(shí)部a如果等于零，且虛部b不等于零，則稱為純虛數(shù)。由上可知，復(fù)數(shù)集包含了實(shí)數(shù)集，因而是實(shí)數(shù)集的擴(kuò)張。

數(shù)字0

0是-1與1之間的整數(shù)。0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù);0不是質(zhì)數(shù)。0是偶數(shù)。在數(shù)論中，0屬于自然數(shù)，0沒有倒數(shù);在集合論和計(jì)算機(jī)科學(xué)中，0屬于自然數(shù)。0在整數(shù)、實(shí)數(shù)和其他的代數(shù)結(jié)構(gòu)中都有著單位元這個(gè)很重要的性質(zhì)。

數(shù)字1

是0與2之間的自然數(shù)和正整數(shù)。唯一一個(gè)既不是質(zhì)數(shù)，又不是合數(shù)的正整數(shù)。最小的正整數(shù)(因?yàn)椤?”既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù))。

第二個(gè)自然數(shù)。既不是質(zhì)數(shù)(素?cái)?shù))，也不是合數(shù)。任何數(shù)除以1都等于原數(shù)。任何數(shù)乘1都等于原數(shù)。任何數(shù)的一次方都等于原數(shù)。任何數(shù)的一次方根都等于原數(shù)。兩個(gè)互質(zhì)數(shù)的最大公因數(shù)是1。