高一數(shù)學(xué)試題與解析
高一數(shù)學(xué)試題與解析
一、選擇題
1.(2009湖北荊州質(zhì)檢二)過點(diǎn)P(1,2),且方向向量v=(-1,1)的直線的方程為
( )
A.x-y-3=0 B.x+y+3=0
C.x+y-3=0 D.x-y+3=0
答案:C
解析:方向向量為v=(-1,1),則直線的斜率為-1,直線方程為y-2=-(x-1)即x+y-3=0,故選C.
2.(2009重慶市高三聯(lián)合診斷性考試)將直線l1:y=2x繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得直線l2,則直線l2到直線l3:x+2y-3=0的角為 ( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
答案:A
解析:記直線l1的斜率為k1,直線l3的斜率為k3,注意到k1k3=-1,l1⊥l3,依題意畫出示意圖,結(jié)合圖形分析可知,直線l2到直線l3的角是30°,選A.
3.(2009東城3月)設(shè)A、B為x軸上兩點(diǎn),點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2,且|PA|=|PB|,若直線PA的方程x-y+1=0,則直線PB的方程為 ( )
A.2x+y-7=0 B.2x-y-1=0
C.x-2y+4=0 D.x+y-5=0
答案:D
解析:因kPA=1,則kPB=-1,又A(-1,0),點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2,則B(5,0),直線PB的方程為x+y-5=0,故選D.
4.過兩點(diǎn)(-1,1)和(0,3)的直線在x軸上的截距為 ( )
A.-32 B.32 C.3 D.-3
答案:A
解析:由兩點(diǎn)式,得y-31-3=x-0-1-0,
即2x-y+3=0,令y=0,得x=-32,
即在x軸上的截距為-32.
5.直線x+a2y+6=0和(a-2)x+3ay+2a=0無公共點(diǎn),則a的值是 ( )
A.3 B.0 C.-1 D.0或-1
答案:D
解析:當(dāng)a=0時(shí),兩直線方程分別為x+6=0和x=0,顯然無公共點(diǎn);當(dāng)a≠0時(shí),-1a2=-a-23a,∴a=-1或a=3.而當(dāng)a=3時(shí),兩直線重合,∴a=0或-1.
6.兩直線2x-my+4=0和2mx+3y-6=0的交點(diǎn)在第二象限,則m的取值范圍是
( )
A.-32≤m≤2 B.-32
C.-32≤m<2 D.-32
答案:B
解析:由2x-my+4=0,2mx+3y-6=0,解得兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3m-6m2+3,4m+6m2+3),由交點(diǎn)在第二象限知橫坐標(biāo)為負(fù)、縱坐標(biāo)為正,故3m-6m2+3<0且4m+6m2+3>0-32
7.(2009福建,9)在平面直角坐標(biāo)系中,若不等式組x+y-1≥0,x-1≤0,ax-y+1≥0,(a為常數(shù))所表示的平面區(qū)域的面積等于2,則a的值為 ( )
A.-5 B.1 C.2 D.3
答案:D
解析:不等式組x+y-1≥0,x-1≤0,ax-y+1≥0所圍成的區(qū)域如圖所示.
∵其面積為2,∴|AC|=4,
∴C的坐標(biāo)為(1,4),代入ax-y+1=0,
得a=3.故選D.
8.(2009陜西,4)過原點(diǎn)且傾斜角為60°的直線被圓x2+y2-4y=0所截得的弦長為
( )
A.3 B.2 C.6 D.23
答案:D
解析:∵直線的方程為y=3x,圓心為(0,2),半徑r=2.
由點(diǎn)到直線的距離公式得弦心距等于1,從而所求弦長等于222-12=23.故選D.
9.(2009西城4月,6)與直線x-y-4=0和圓x2+y2+2x-2y=0都相切的半徑最小的圓的.方程是 ( )
A.(x+1)2+(y+1)2=2 B.(x+1)2+(y+1)2=4
C.(x-1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y+1)=4
答案:C
解析:圓x2+y2+2x-2y=0的圓心為(-1,1),半徑為2,過圓心(-1,1)與直線x-y-4=0垂直的直線方程為x+y=0,所求的圓的圓心在此直線上,排排除A、B,圓心(-1,1)到直線x-y-4=0的距離為62=32,則所求的圓的半徑為2,故選C.
10.(2009安陽,6)已知直線x+y=a與圓x2+y2=4交于A、B兩點(diǎn),且|OA→+OB→|=|OA→-OB→|,其中O為原點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的值為 ( )
A.2 B.-2C.2或-2 D.6或-6
答案:C
解析:由|OA→+OB→|=|OA→-OB→|得|OA→+OB→|2=|OA→-OB→|2,OA→OB→=0,OA→⊥OB→,三角形AOB為等腰直角三角形,圓心到直線的距離為2,即|a|2=2,a=±2,故選C.
11.(2009河南實(shí)驗(yàn)中學(xué)3月)若直線l:ax+by=1與圓C:x2+y2=1有兩個(gè)不同交點(diǎn),則點(diǎn)P(a,b)與圓C的位置關(guān)系是 ( )
A.點(diǎn)在圓上 B.點(diǎn)在圓內(nèi)C.點(diǎn)在圓外 D.不能確定
答案:C
解析:直線l:ax+by=1與圓C:x2+y2=1有兩個(gè)不同交點(diǎn),則1a2+b2<1,a2+b2>1,點(diǎn)P(a,b)在圓C外部,故選C.
12.(2010保定市高三摸底考試)從原點(diǎn)向圓x2+(y-6)2=4作兩條切線,則這兩條切線夾角的大小為 ( )
A.π6 B.π2C.arccos79 D.arcsin229
答案:C
解析:如圖,sin∠AOB=26=13,cos∠BOC=cos2∠AOB=1-2sin2∠AOB=1-29=79,∴∠BOC=arccos79,故選C.
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,請將答案填在題中的橫線上。)
13.(2010湖南長沙一中)已知直線l1:ax+y+2a=0,直線l2:ax-y+3a=0.若l1⊥l2,則a=________.
答案:±1
解析:∵l1⊥l2,∴kl1kl2=-1,即(-a)a=-1,∴a=±1.
14.點(diǎn)P(a,3)到直線4x-3y+1=0的距離等于4,且在不等式2x+y<4表示的平面區(qū)域內(nèi),則P點(diǎn)的坐標(biāo)為__________.
答案:(-3,3)
解析:因|4a-9+1|5=4,∴a=7,a=-3.
當(dāng)a=7時(shí),不滿足2x+y<4(舍去),∴a=-3.
15.(2009朝陽4月,12)已知?jiǎng)又本l平分圓C:(x-2)2+(y-1)2=1,則直線l與圓:x=3cosθ,y=3sinθ,(θ為參數(shù))的位置關(guān)系是________.
答案:相交
解析:動(dòng)直線l平分圓C:(x-2)2+(y-1)2=1,即圓心(2,1)在直線上,又圓O:x=3cosθ,y=3sinθ,即x2+y2=9,且22+12<9,(2,1)在圓O內(nèi),則直線l與圓O:
x=3cosθ,y=3sinθ,(θ為參數(shù))的位置關(guān)系是相交,故填相交.
16.(2009山東濟(jì)南一模)若直線y=kx-2與圓x2+y2=2相交于P、Q兩點(diǎn),且∠POQ=120°(其中O為原點(diǎn)),k的值為________.
答案:±3
解析:由圖可知,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,-2),
∠OPQ=30°,∴直線y=kx-2的傾斜角為60°或120°,∴k=±3.
三、解答題(本大題共6小題,共70分,解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。)
17.(本小題滿分10分)求經(jīng)過7x+8y=38及3x-2y=0的交點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截得的截距相等的直線方程.
解析:易得交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3)
設(shè)所求直線為7x+8y-38+λ(3x-2y)=0,
即(7+3λ)x+(8-2λ)y-38=0,
令x=0,y=388-2λ,
令y=0,x=387+3λ,
由已知,388-2λ=387+3λ,
∴λ=15,即所求直線方程為x+y-5=0.
又直線方程不含直線3x-2y=0,而當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí),在兩軸上的截距也相等,故3x-2y=0亦為所求.
18.(本小題滿分12分)已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(3,1),且被兩平行直線l1;x+y+1=0和l2:x+y+6=0截得的線段之長為5,求直線l的方程.
分析一:如圖,利用點(diǎn)斜式方程,分別與l1、l2聯(lián)立,求得兩交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)(用k表示),再利用|AB|=5可求出k的值,從而求得l的方程.
解析:解法一:若直線l的斜率不存在,則直線l的方程為x=3,此時(shí)與l1、l2的交點(diǎn)分別為A′(3,-4)或B′(3,-9),截得的線段AB的長|AB|=|-4+9|=5,符合題意.
若直線l的斜率存在,則設(shè)直線l的方程為y=k(x-3)+1.
解方程組y=k(x-3)+1,x+y+1=0,得
A(3k-2k+1,-4k-1k+1).
解方程組y=k(x-3)+1,x+y+6=0,得
B(3k-7k+1,-9k-1k+1).
由|AB|=5.
得(3k-2k+1-3k-7k+1)2+(-4k-1k+1+9k-1k+1)2=52.
解之,得k=0,直線方程為y=1.
綜上可知,所求l的方程為x=3或y=1.
分析二:用l1、l2之間的距離及l(fā)與l1夾角的關(guān)系求解.
解法二:由題意,直線l1、l2之間的距離為d=|1-6|2=522,且直線L被平行直線l1、l2所截得的線段AB的長為5,設(shè)直線l與直線l1的夾角為θ,則sinθ=5225=22,故θ=45°.
由直線l1:x+y+1=0的傾斜角為135°,知直線l的傾斜角為0°或90°,又由直線l過點(diǎn)P(3,1),故直線l的方程為:
x=3或y=1.
分析三:設(shè)直線l1、l2與l分別相交于A(x1,y1),B(x2,y2),則通過求出y1-y2,x1-x2的值確定直線l的斜率(或傾斜角),從而求得直線l的方程.
解法三:設(shè)直線l與l1、l2分別相交A(x1,y1)、B(x2,y2),則x1+y1+1=0,x2+y2+6=0.
兩式相減,得(x1-x2)+(y1-y2)=5. ①
又(x1-x2)2+(y1-y2)2=25. ②
聯(lián)立①、②可得
x1-x2=5,y1-y2=0,或x1-x2=0,y1-y2=5.
由上可知,直線l的傾斜角分別為0°或90°.
故所求的直線方程為x=3或y=1.
19.(本小題滿分12分)設(shè)圓上的點(diǎn)A(2,3)關(guān)于直線x+2y=0的對稱點(diǎn)仍在圓上,且與直線x-y+1=0相交的弦長為22,求圓的方程.
解析:設(shè)所求圓的圓心為(a,b),半徑為r,
∵點(diǎn)A(2,3)關(guān)于直線x+2y=0的對稱點(diǎn)A′仍在這個(gè)圓上,
∴圓心(a,b)在直線x+2y=0上,
∴a+2b=0, ①
(2-a)2+(3-b)2=r2. ②
又直線x-y+1=0截圓所得的弦長為22,
∴r2-(a-b+12)2=(2)2 ③
解由方程①、②、③組成的方程組得:
b=-3,a=6,r2=52.或b=-7,a=14,r2=244,
∴所求圓的方程為
(x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244.
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