四種命題

教學(xué)目標(biāo)

（1）理解的概念；
（2）理解之間的相互關(guān)系，能由原命題寫(xiě)出其他三種形式；
（3）理解一個(gè)命題的真假與其他三個(gè)命題真假間的關(guān)系；
（4）初步掌握反證法的概念及反證法證題的基本步驟；
（5）通過(guò)對(duì)之間關(guān)系的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力；
（6）通過(guò)對(duì)的存在性和相對(duì)性的認(rèn)識(shí)，進(jìn)行辯證唯物主義觀點(diǎn)教育；
（7）培養(yǎng)學(xué)生用反證法簡(jiǎn)單推理的技能，從而發(fā)展學(xué)生的思維能力.

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：之間的關(guān)系；難點(diǎn)：反證法的運(yùn)用.

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

第一課時(shí)：

一、導(dǎo)入新課

【練習(xí)】 1.把下列命題改寫(xiě)成“若 則 ”的形式：
（l）同位角相等，兩直線(xiàn)平行；
（2）正方形的四條邊相等.

2.什么叫互逆命題？上述命題的逆命題是什么？
將命題寫(xiě)成“若 則 ”的形式，關(guān)鍵是找到命題的條件 與結(jié)論 .
如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，且第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互道命題.
上述命題的道命題是“若一個(gè)四邊形的四條邊相等，則它是正方形”和“若兩條直線(xiàn)平行，則同位角相等”.
值得指出的是原命題和逆命題是相對(duì)的.我們也可以把逆命題當(dāng)成原命題，去求它的逆命題.
3.原命題真，逆命題一定真嗎？
“同位角相等，兩直線(xiàn)平行”這個(gè)原命題真，逆命題也真.但“正方形的四條邊相等”的原命題真，逆命題就不真，所以原命題真，逆命題不一定真.

學(xué)生活動(dòng)：

口答：（l）若同位角相等，則兩直線(xiàn)平行；（2）若一個(gè)四邊形是正方形，則它的四條邊相等.

設(shè)計(jì)意圖：

通過(guò)復(fù)習(xí)舊知識(shí)，打下學(xué)習(xí)否命題、逆否命題的基礎(chǔ).

二、新課

【設(shè)問(wèn)】命題“同位角相等，兩條直線(xiàn)平行”除了能構(gòu)成它的逆命題外，是否還可以構(gòu)成其它形式的命題？
【講述】可以將原命題的條件和結(jié)論分別否定，構(gòu)成“同位角不相等，則兩直線(xiàn)不平行”，這個(gè)命題叫原命題的否命題.
【提問(wèn)】你能由原命題“正方形的四條邊相等”構(gòu)成它的否命題嗎？

學(xué)生活動(dòng)：

口答：若一個(gè)四邊形不是正方形，則它的四條邊不相等.

教師活動(dòng)：

【講述】一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否定，這樣的兩個(gè)命題叫做互否命題.把其中一個(gè)命題叫做原命題，另一個(gè)命題叫做原命題的否命題.
若用 和 分別表示原命題的條件和結(jié)論，用┐ 和┐ 分別表示 和 的否定.
【板書(shū)】原命題：若 則 ；
否命題：若┐ 則┐ .
【提問(wèn)】原命題真，否命題一定真嗎？舉例說(shuō)明？
學(xué)生活動(dòng)：

講論后回答：

原命題“同位角相等，兩直線(xiàn)平行”真，它的否命題“同位角不相等，兩直線(xiàn)不平行”不真.
原命題“正方形的四條邊相等”真，它的否命題“若一個(gè)四邊形不是正方形，則它的四條邊不相等”不真.
由此可以得原命題真，它的否命題不一定真.

設(shè)計(jì)意圖：
通過(guò)設(shè)問(wèn)和討論，讓學(xué)生在自己舉例中研究如何由原命題構(gòu)成否命題及判斷它們的真假，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.

教師活動(dòng)：

【提問(wèn)】命題“同位角相等，兩條直線(xiàn)平行”除了 能構(gòu)成它的逆命題和否命題外，還可以不可以構(gòu)成別的命題？
學(xué)生活動(dòng)：

討論后回答
【總結(jié)】可以將這個(gè)命題的條件和結(jié)論互換后再分別將新的條件和結(jié)論分別否定構(gòu)成命題“兩條直線(xiàn)不平行，則同位角不相等”，這個(gè)命題叫原命題的逆否命題.
教師活動(dòng)：
【提問(wèn)】原命題“正方形的四條邊相等”的逆否命題是什么？
學(xué)生活動(dòng)：
口答：若一個(gè)四邊形的四條邊不相等，則不是正方形.
教師活動(dòng)：
【講述】一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定和條件的否定，這樣的兩個(gè)命題叫做互為逆否命題.把其中一個(gè)命題叫做原命題，另一個(gè)命題就叫做原命題的逆否命題.
原命題是“若 則 ”，則逆否命題為“若 則 .
【提問(wèn)】“兩條直線(xiàn)不平行，則同位角不相等”是否真？“若一個(gè)四邊形的四條邊不相等，則不是正方形”是否真？若原命題真，逆否命題是否也真？
學(xué)生活動(dòng)：
討論后回答
這兩個(gè)逆否命題都真.
原命題真，逆否命題也真.
教師活動(dòng)：
【提問(wèn)】原命題的真假與其他三種命題的真
假有什么關(guān)系？舉例加以說(shuō)明？
【總結(jié)】1.原命題為真，它的逆命題不一定為真.
2.原命題為真，它的否命題不一定為真.
3.原命題為真，它的逆否命題一定為真.
設(shè)計(jì)意圖：
通過(guò)設(shè)問(wèn)和討論，讓學(xué)生在自己舉例中研究如何由原命題構(gòu)成逆否命題及判斷它們的真假，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)的積極性.
教師活動(dòng)：
三、課堂練習(xí)
1.設(shè)原命題是“若 ，則 ”，寫(xiě)出它的逆命題、否命題與逆否命題，并分別判斷它們的真假.
學(xué)生活動(dòng)：
筆答：
逆命題“若 ，則 ”.逆命題是假命題.
否命題“若 ，則 ”.否命題是假命題.
逆否命題“若 ，則 ”.逆否命題是真命題.
教師活動(dòng)：
2.設(shè)原命題是“當(dāng) 時(shí)，若 ，則 ”，寫(xiě)出它的逆命題、否定命與逆否命題，并分別判斷它們的真假.
學(xué)生活動(dòng)：
筆答
逆命題“當(dāng) 時(shí)，若 ，則 ”.
否命題“當(dāng) 時(shí)，若 ，則 ”.否命題為真.
逆否命題“當(dāng) 時(shí)，若 ，則 ”.逆否命題為真.
設(shè)計(jì)意圖：
通過(guò)練習(xí)鞏固由原命題構(gòu)成否命題、逆否命題及判斷它的真假的能力.
教師活動(dòng)：
【總結(jié)】“當(dāng) 時(shí)”是大前提，寫(xiě)其他命題時(shí)應(yīng)該將“當(dāng) 時(shí)”寫(xiě)在前面.原命題的條件是 ，結(jié)論是

“ ”的否定是“ ”，而不是“ ”，同樣“ ”的否定是“ ”，而不是“ ”.
【投影】
3.填圖

1.若原命題是“若 則 ”，其它三種命題的形式怎樣表示？請(qǐng)寫(xiě)在方框內(nèi)？

學(xué)生活動(dòng)：筆答
教師活動(dòng)：
2.根據(jù)上圖所給出的箭頭，寫(xiě)出箭頭兩頭命題之間的關(guān)系？舉例加以說(shuō)明？
學(xué)生活動(dòng)：討論后回答
設(shè)計(jì)意圖：
通過(guò)學(xué)生自己填圖，使學(xué)生掌握的形式和它們之間的關(guān)系.
教師活動(dòng)：
四、小結(jié)
的形式和關(guān)系如下圖：

由原命題構(gòu)成道命題只要將 和 換位就可以.由原命題構(gòu)成否命題只要 和 分別否定為 和 ，但 和 不必?fù)Q位.由原命題構(gòu)成逆否命題時(shí)不但要將 和 換位，而且要將換位后的 和 否定·
原命題為真，它的逆命題不一定為真.
原命題為真，它的否命題不一定為真.
原命題為真，它的逆否命題一定為真.
因?yàn)榛�為逆否命題同真同假，所以討論的真假性只討論原命題和逆否命題中的一個(gè)，逆命題和否命題中的一個(gè)，只討論兩種就可以了，不必對(duì)形式—一加以討論.
教師活動(dòng)：
五、作業(yè)
1.閱讀課本 .
2. ，練習(xí)（31頁(yè)）1、2，練習(xí)（32頁(yè)）1、2
3.習(xí)題 1、2、3、4

第二課時(shí)：反證法
一、導(dǎo)入新課
【提問(wèn)】初中我們學(xué)過(guò)反證法，你能回答出用反證法證明命題的一般步驟嗎？
學(xué)生活動(dòng)：
口答：
（l）假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；
（2）從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理論證，得出矛盾；
（3）由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確.
設(shè)計(jì)意圖：
復(fù)習(xí)舊知識(shí)，為學(xué)習(xí)反證法鋪平道路.
教師活動(dòng)：
【導(dǎo)入】同學(xué)們對(duì)反證法這種間接證法不像學(xué)過(guò)的直接證法如綜合法、分析法那樣熟悉，感到抽象、難懂，讓我們舉出一例對(duì)反證法加以介紹.
我們年級(jí)有367名學(xué)生，請(qǐng)你證明這些學(xué)生中至少有兩個(gè)學(xué)生在同一天過(guò)生日.
這個(gè)問(wèn)題若用直接證法來(lái)解決是有困難的，我們可以運(yùn)用反證法.
運(yùn)用反證法證明這個(gè)問(wèn)題首先是根據(jù)“至少有兩個(gè)學(xué)生在同一天過(guò)生日”的反面是“任何兩個(gè)學(xué)生都不在同一天過(guò)生日”，也就是反設(shè)“假設(shè)任何兩個(gè)學(xué)生都不在同一天過(guò)生日”，從這個(gè)反設(shè)出發(fā)就會(huì)推出這367人就會(huì)有不同的367天過(guò)生日，這就出現(xiàn)了與一年只有365天（閏年366天）的矛盾.產(chǎn)生這個(gè)矛盾的來(lái)源是由于開(kāi)始的反設(shè)，因此反設(shè)不成立，這樣得出了“至少有兩個(gè)學(xué)生在同一天過(guò)生日”的結(jié)論.
設(shè)計(jì)意圖：
以生活中的實(shí)際例子拉近學(xué)生與反證法的距離，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.
【板書(shū)】反證法證題的步驟：
1.反設(shè)； 2.歸謬； 3.結(jié)論
【例】用反證法證明：圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分.
已知：如圖，在⊙O中，弦 AB、CD相交于 P點(diǎn)，且 AB、CD不是直徑.
求證：弦AB、CD不被P點(diǎn)平分.

【設(shè)問(wèn)】用反證法證明這道題如何進(jìn)行反設(shè)？怎樣進(jìn)行歸謬？
【引導(dǎo)討論】“弦AB、CD不被P點(diǎn)平分”的反面是“弦AB、CD被P點(diǎn)平分”，因而反設(shè)是“假設(shè)弦AB、CD被P點(diǎn)平分”.
學(xué)生活動(dòng)：
思考后分組討論，互相補(bǔ)充.
設(shè)計(jì)意圖：
在關(guān)鍵處設(shè)問(wèn)，激勵(lì)學(xué)生探究精神，提高運(yùn)用反證法的能力.
教師活動(dòng)：
由于P點(diǎn)不是圓心O，連結(jié)OP，由垂徑定理的推論得 ， ，這樣過(guò)P點(diǎn)有兩條直線(xiàn)與OP都垂直，與垂線(xiàn)的性質(zhì)矛盾.
結(jié)論是“弦AB、CD不被P點(diǎn)平分”成立.
這道題用反證法證明還有一個(gè)方法.

連結(jié) AD、BD、BC、AC·
【提問(wèn)】用反證法證明怎樣反設(shè)？怎樣歸謬？
反設(shè)仍是“弦AB、CD能被P點(diǎn)平分”.
學(xué)生活動(dòng)：
討論后回答
因?yàn)?SUB> ，所以四邊形ABCD是平行四邊形，而圓內(nèi)接平行四邊形必是矩形，則其對(duì)角線(xiàn)AB、CD必是圓O的直徑，這與假設(shè)矛盾，所以結(jié)論“弦AB、CD不被P點(diǎn)平分”成立·
設(shè)計(jì)意圖：
讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)在反證法中如何進(jìn)行反充、歸謬.
教師活動(dòng)：
【練習(xí)】用反證法證明 不是有理數(shù)
證明：假設(shè) 是有理數(shù)，則 可表示為 （ ， 為自然數(shù)，且互質(zhì)）
兩邊平方，得

①

由①知 必是2的倍數(shù)，進(jìn)而 必是2的倍數(shù).

令 代入①式，得

②

由②知， 必是2的倍數(shù)， 和 都是2的倍數(shù)，則 、 不互質(zhì)，與假定 、 互質(zhì)相矛盾， 不是有理數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：
鞏固練習(xí).
教師活動(dòng)：
【例】用反證法證明：如果 ，那么 .
【剖析】運(yùn)用反證法證明這道題時(shí)，怎樣進(jìn)行反設(shè)？ 的反面是否僅有 ？
證明：假設(shè) 不小于 ，則或者 ，或者

當(dāng) ，因?yàn)?SUB> ，所以

在 的兩邊都乘以 得

，

在 的兩邊都乘以 得

，

所以

這與假設(shè) 矛盾，所以 不成立.

當(dāng) 時(shí)可得到 ，這與假設(shè) 矛盾.

綜上所述，所以

設(shè)計(jì)意圖：
通過(guò)對(duì)例題的剖析，使學(xué)生掌握如何在反證法中反設(shè)和歸謬.
教師活動(dòng)：
三、課堂練習(xí)
用反證法證明：
已知：銳角三角形ABC中
求證：
證明：假設(shè) ，則
因?yàn)?SUB> ，所以 ， .這樣可推出 是鈍角三角形或直角三角形，這與假設(shè) 是銳角三角形矛盾.所以
設(shè)計(jì)意圖：
進(jìn)一步提高運(yùn)用反證法證題的能力.

四、小結(jié)
反證法證題的步驟：
（1）反設(shè)；（2）歸謬；（3）結(jié)論.
運(yùn)用反證法在歸謬中所導(dǎo)出的矛盾可以是與已知條件的矛盾，也可以是與某個(gè)公理、定理的矛盾，也可以是證明過(guò)程中自相矛盾.
五、作業(yè)
1.閱讀課本 中“反證法”部分
2. 中“反證法”練習(xí)1、2.
3.習(xí)題 5、6
4.用反證法證明：在 中，AB、BC、AC不全相等，那么 、 、 中至少有一個(gè)大于
證明：假設(shè) 、 、 都大于 ，即 ， ，

因?yàn)锳B、BC、AC不全相等，所以上面三式中不能同時(shí)取等號(hào)，這樣有 .與定理“三角形內(nèi)角和為 ”矛盾，因此結(jié)論 、 、 中至少有一個(gè)大于 成立.