因式分解的方法與技巧

　　導(dǎo)語：因式分解是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的恒等變形之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，在數(shù)學(xué)求根作圖、解一元二次方程方面也有很廣泛的應(yīng)用。是解決許多數(shù)學(xué)問題的有力工具。把一個(gè)多項(xiàng)式在一個(gè)范圍(如有理數(shù)范圍內(nèi)分解，即所有項(xiàng)均為有理數(shù))化為幾個(gè)整式的積的形式，這種式子變形叫做這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解，也叫作把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。

　　因式分解的方法與技巧

　　1、 提公因法

　　如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有公因式，那么就可以把這個(gè)公因式提出來，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式。

　　例1、 分解因式x3 -2x 2-x

　　x3 -2x2 -x=x(x2 -2x-1)

　　2、 應(yīng)用公式法

　　由于分解因式與整式乘法有著互逆的關(guān)系，如果把乘法公式反過來，那么就可以用來把某些多項(xiàng)式分解因式。

　　例2、分解因式a2 +4ab+4b2

　　解：a2 +4ab+4b2 =(a+2b)2

　　3、 分組分解法

　　要把多項(xiàng)式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前兩項(xiàng)分成一組，并提出公因式a，把它后兩項(xiàng)分成一組，并提出公因式b，從而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，從而得到(a+b)(m+n)

　　例3、分解因式m2 +5n-mn-5m

　　解：m2 +5n-mn-5m= m 2-5m -mn+5n

　　= (m2 -5m )+(-mn+5n)

　　=m(m-5)-n(m-5)

　　=(m-5)(m-n)

　　4、 十字相乘法

　　對(duì)于mx2 +px+q形式的多項(xiàng)式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，則多項(xiàng)式可因式分解為(ax+d)(bx+c)

　　例4、分解因式7x2 -19x-6

　　分析： 1 ×7=7, 2×(-3)=-6

　　1×2+7×(-3)=-19

　　解：7x2 -19x-6=(7x+2)(x-3)

　　5、配方法

　　對(duì)于那些不能利用公式法的多項(xiàng)式，有的可以利用將其配成一個(gè)完全平方式，然后再利用平方差公式，就能將其因式分解。

　　例5、分解因式x2 +6x-40

　　解x2 +6x-40=x2 +6x+( 9) -(9 ) -40

　　=(x+ 3)2 -(7 ) 2

　　=[(x+3)+7]*[(x+3) – 7]

　　=(x+10)(x-4)

　　6、拆、添項(xiàng)法

　　可以把多項(xiàng)式拆成若干部分，再用進(jìn)行因式分解。

　　例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

　　解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

　　=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

　　=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)

　　=(c+b)(c-a)(a+b)

　　7、 換元法

　　有時(shí)在分解因式時(shí)，可以選擇多項(xiàng)式中的相同的部分換成另一個(gè)未知數(shù)，然后進(jìn)行因式分解，最后再轉(zhuǎn)換回來。

　　例7、分解因式2x4 –x3 -6x2 -x+2(也叫相反式，在這里以二次項(xiàng)系數(shù)為中心對(duì)稱項(xiàng)的系數(shù)是相等的，如四次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)對(duì)稱，系數(shù)相等，解法也是把對(duì)稱項(xiàng)結(jié)合在一起)

　　解：2x 4–x3 -6x2 -x+2=2(x4 +1)-x(x2 +1)-6x2

　　=x2 {2[x2 + ()2]-(x+ )-6}

　　令y=x+ ,

　　x2 {2[x2 +( )2]-(x+)-6}

　　= x2 [2(y2 -2)-y-6]

　　= x2 (2y2 -y-10)

　　=x 2(y+2)(2y-5)

　　=x2 (x+ +2)(2x+ -5)

　　= (x2 +2x+1) (2x2 -5x+2)

　　=(x+1)2 (2x-1)(x-2)

　　8、 求根法

　　令多項(xiàng)式f(x)=0,求出其根為x1,x2 ,x3 ,……xn ,則多項(xiàng)式可因式分解為f(x)=(x-x1 )(x-x 2)(x-x3 )……(x-xn ) (一般情況下是試根法，并且一般試-3,-2,-1,0,1,2,3這些數(shù)是不是方程的根)

　　例8、分解因式2x4 +7x3 -2x2 -13x+6

　　解：令f(x)=2x4 +7x3 -2x2 -13x+6=0

　　通過綜合除法可知，f(x)=0根為 ，-3，-2，1 ,

　　則2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)

　　9、 圖象法(這種方法在以后學(xué)函數(shù)的時(shí)候會(huì)用到。現(xiàn)在只是作為了解內(nèi)容，它和第八種方法是類似的)

　　令y=f(x)，做出函數(shù)y=f(x)的圖象，找到函數(shù)圖象與X軸的交點(diǎn)x1 ,x2 ,x3 ,……xn ，則多項(xiàng)式可因式分解為

　　f(x)= f(x)=(x-x1 )(x-x2 )(x-x3)……(x-xn )

　　例9、因式分解x3 +2x2 -5x-6

　　解：令y= x3 +2x2 -5x-6

　　作出其圖象，可知與x軸交點(diǎn)為-3，-1，2

　　則x3 +2x 2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)

　　10、 主元法

　　先選定一個(gè)字母為主元，然后把各項(xiàng)按這個(gè)字母次數(shù)從高到低排列，再進(jìn)行因式分解。

　　例10、分解因式a2 (b-c)+b2 (c-a)+c2 (a-b)

　　分析：此題可選定a為主元，將其按次數(shù)從高到低排列

　　解：a2 (b-c)+b2 (c-a)+c2 (a-b)=a2 (b-c)-a(b2 -c 2)+bc(b-c)

　　=(b-c) [a2 -a(b+c)+bc]

　　=(b-c)(a-b)(a-c)

　　11、 利用特殊值法

　　將2或10(或其它數(shù))代入x，求出數(shù)P，將數(shù)P分解質(zhì)因數(shù)，將質(zhì)因數(shù)適當(dāng)?shù)慕M合，并將組合后的每一個(gè)因數(shù)寫成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式。例11、分解因式x 3+9x2 +23x+15

　　解：令x=2，則x3 +9x 2+23x+15=8+36+46+15=105

　　將105分解成3個(gè)質(zhì)因數(shù)的積，即105=3×5×7

　　注意到多項(xiàng)式中最高項(xiàng)的系數(shù)為1，而3、5、7分別為x+1，x+3，x+5，在x=2時(shí)的值

　　則x3 +9x2 +23x+15=(x+1)(x+3)(x+5)

　　12、待定系數(shù)法

　　首先判斷出分解因式的形式，然后設(shè)出相應(yīng)整式的字母系數(shù)，求出字母系數(shù)，從而把多項(xiàng)式因式分解。

　　例12、分解因式x4 –x3 -5x2 -6x-4

　　如果已知道這個(gè)多項(xiàng)式?jīng)]有一次因式，因而只能分解為兩個(gè)二次因式。

　　解：設(shè)x4 –x3 -5x2 -6x-4=(x2 +ax+b)(x2 +cx+d)

　　= x4 +(a+c)x3 +(ac+b+d)x2 +(ad+bc)x+bd

　　從而a+c=-1,ac+b+d=-5,ad+bc=-6,bd=-4

　　所以 解得

　　則x4 –x3 -5x2 -6x-4 =(x 2+x+1)(x2 -2x-4)。

　　因式分解應(yīng)該注意哪些問題?

　　一、要注意到“1”的存在而避免漏項(xiàng)

　　在提取公因式時(shí),多數(shù)同學(xué)易忘記觀察被分解多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)是多少,更沒有理解因式分解與乘法運(yùn)算之間的關(guān)系,而在分解因式時(shí)應(yīng)注意到“1”在這個(gè)多項(xiàng)式分解中的存在和作用。

　　例1分解因式23x+5xy+x=x(3x+5y)

　　錯(cuò)解: 23x+5xy+x=x(3x+5y),這樣就漏了“x”這一項(xiàng),提出“x”后應(yīng)由“1”來補(bǔ)其位。 正解: 23x+5xy+x=x(3x+5y+1)

　　二、提取公因式時(shí)要注意符號(hào)的變化

　　牢記在有理數(shù)的乘法運(yùn)算中“括號(hào)前是負(fù)號(hào),去括號(hào)時(shí)括號(hào)里的各項(xiàng)都要變號(hào)”這一運(yùn)算律,而因式分解與乘法運(yùn)算之間互為逆變形,首相為負(fù)號(hào)應(yīng)提取負(fù)號(hào),但加括號(hào)并且括號(hào)里的`各項(xiàng)都要變號(hào)。

　　例2分解因式2-10x+10xy.

　　錯(cuò)解: 2-10x+10xy=-10x(x+y),錯(cuò)在括號(hào)里沒有變號(hào)。

　　正解: 2-10x+10xy=-10x(x-y).

　　三、要注意整體與個(gè)體之間的關(guān)系

　　在公式22a-b=(a+b)(a-b) ，222a+2ab+b=(a+b), 222a-2ab+b=(a-b)中,a、b代表符合這一特點(diǎn)的整個(gè)代數(shù)式里的整個(gè)因式,而不只代表這個(gè)代數(shù)式里的某一個(gè)因式。如216x是表示2(4x),而不是216x.因此再分解因式時(shí)要注意整體與個(gè)體之間的關(guān)系。

　　例3分解因式29x-1

　　錯(cuò)解: 29x-1=(9x+1)(9x-1),錯(cuò)在29x-1只能寫為2(3x)不能寫為29x. 正解: 29x-1=(3x+1)(3x-1).

　　四、要注意分解完整

　　因式分解即是把一個(gè)多項(xiàng)式分解為幾個(gè)不能再分解的因式的乘積形式,因式分解需要分解到不能再分解為止。

　　例4分解因式4216x-72x+81

　　錯(cuò)解: 4216x-72x+81=22(4x-9),很多學(xué)生就分解到此為止,但沒有注意到24x-9還可以分解。因?yàn)?4x可以寫成2(2x),9可以寫成2(3),故24x-9符合平方差公式的特點(diǎn)應(yīng)繼續(xù)分解。

　　正解: 4216x-72x+81=22(4x-9)=2[(2x+3)(2x-3)]=22(2x+3)(2x-3) 例5分解因式4x-9 (在實(shí)數(shù)范圍內(nèi))

　　錯(cuò)解: 4x-9=22(x+3)(x-3),錯(cuò)在許多學(xué)生還未注意到2(x-3)中的“3”還可以寫為

　　2(3),因此2(x-3)寫為2x-2(3),這就符合平方差公式的特點(diǎn)應(yīng)繼續(xù)分解。

　　正解: 4x-9=22(x+3)(x-3)=2(x+3)(x+3)(x-3) 五、應(yīng)注意因式與整式乘法的關(guān)系

　　因式分解是要把一個(gè)多項(xiàng)式分解為幾個(gè)整式的乘積形式;然而整式的乘法是要把幾個(gè)正式的乘積形式化成一個(gè)多項(xiàng)式的形式。 例6分解因式4224a-2ab+b.

　　錯(cuò)解: 4224a-2ab+b=222(a-b)=22(a+b)(a-b)=2222(a+2ab+b)(a-2ab+b),錯(cuò)在又把22(a+b)(a-b)化為了2222(a+2ab+b)(a-2ab+b)

　　正解: 4224a-2ab+b=222(a-b)=22(a+b)(a-b)。