摘 要 筆者以兩次市級(jí)復(fù)習(xí)公開課磨課過程中的課例為例，闡述小學(xué)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)要加強(qiáng)縱向聯(lián)系，找準(zhǔn)聯(lián)系點(diǎn)，點(diǎn)動(dòng)成線，課堂中切中聯(lián)系之“脈”，課外踐行長作業(yè)，尋覓知識(shí)與生活的聯(lián)系之路；關(guān)注各類知識(shí)的橫向整合，線動(dòng)成面，著眼整體，適時(shí)聚焦，整合發(fā)展；講練結(jié)合，注重知識(shí)的運(yùn)用，合縱連橫，面動(dòng)成體。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué) 復(fù)習(xí) 聯(lián)系 整合

子曰：“溫故而知新，可以為師亦”，可見復(fù)習(xí)的重要性�？蓪�(duì)小學(xué)生而言，面對(duì)一學(xué)期或者整個(gè)小學(xué)階段浩如煙海的知識(shí)內(nèi)容，復(fù)習(xí)時(shí)會(huì)感到茫然、手足無措。應(yīng)該從哪里著手整理？怎樣梳理呢……我們知道教材在編寫時(shí)非常重視整體性，有清晰的知識(shí)圖式，只不過學(xué)生是“只緣身在此山中”。筆者對(duì)總復(fù)習(xí)教學(xué)進(jìn)行了研究，主張用聯(lián)系的方法復(fù)習(xí)知識(shí)，點(diǎn)動(dòng)成線、線動(dòng)成面，面動(dòng)成體，例談小學(xué)數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)的“點(diǎn)線面體”。

一、縱向聯(lián)系，點(diǎn)動(dòng)成線

數(shù)學(xué)課程總目標(biāo)第二條中指出，“體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考……”，“聯(lián)系”兩字躍然紙上。總復(fù)習(xí)課的內(nèi)容散落在各冊(cè)各單元，呈點(diǎn)狀分布。由于學(xué)習(xí)進(jìn)程的安排，學(xué)生長時(shí)間沒有實(shí)踐提升的機(jī)會(huì)，那么就需要把平時(shí)相對(duì)獨(dú)立學(xué)習(xí)的知識(shí)點(diǎn)，運(yùn)用聯(lián)系的方法予以再現(xiàn)、整理、歸納，點(diǎn)動(dòng)成線，使之條理化、系統(tǒng)化，凸顯知識(shí)的價(jià)值。筆者結(jié)合2023年執(zhí)教過的市級(jí)總復(fù)習(xí)公開課《可能性總復(fù)習(xí)》的課堂教學(xué)和課外作業(yè)設(shè)計(jì)為例闡述。

（一）立足微課堂，切中“聯(lián)系”之脈

“可能性”知識(shí)對(duì)于六年級(jí)的學(xué)生，應(yīng)該說是“年代久遠(yuǎn)”了，初次接觸是在三年級(jí)上冊(cè)，學(xué)會(huì)用“可能、一定、不可能”描述生活中的現(xiàn)象，接著在五年級(jí)上冊(cè)學(xué)過“等可能性”，學(xué)生知道了可能性是有大小的，當(dāng)可能性相等時(shí)，游戲具有了公平性�；仡櫺�學(xué)階段學(xué)過的可能性內(nèi)容較多，有“可能、不可能、一定、可能性的大小”；有“摸球、骰子、轉(zhuǎn)盤、硬幣、抽簽、石頭剪刀布”等等。課堂中需要喚起學(xué)生的記憶，使之體會(huì)到可能性與現(xiàn)實(shí)生活的密切聯(lián)系�；�于這樣的考量，設(shè)計(jì)了一系列的情景鏈，以蒙太奇的手法，在互動(dòng)參與中，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系。

1.“點(diǎn)”上回眸足跡

“可能性”知識(shí)從生活現(xiàn)象的描述開始學(xué)習(xí)，到后來學(xué)習(xí)等可能性知識(shí)的應(yīng)用，經(jīng)歷了較長的過程，學(xué)生感受不到知識(shí)的積淀過程，需要向他們展示這種學(xué)習(xí)的歷程。于是，在課始課件顯示：“我很幸運(yùn)”。并提示學(xué)生猜一猜可能是什么原因才打出“我很幸運(yùn)”這4個(gè)字？引導(dǎo)到用“可能是――”的句式來說，根據(jù)學(xué)生的回答，老師板書：可能。之后點(diǎn)題：看到“可能”這兩個(gè)字，你能想到我們以前學(xué)過哪些關(guān)于有關(guān)可能性的內(nèi)容？課件出示前幾冊(cè)的例題。

用 “我很幸運(yùn)”+“可能” 6個(gè)字戳點(diǎn)，喚醒他們沉睡了幾年有關(guān)可能性知識(shí)的記憶，并通過已學(xué)教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)，在形式上實(shí)現(xiàn)串點(diǎn)成線。

2.“線”上溝通聯(lián)系

復(fù)習(xí)課的重要任務(wù)之一就是引導(dǎo)學(xué)生將各個(gè)年級(jí)所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)的梳理，將分散的知識(shí)點(diǎn)連成一條線，使知識(shí)結(jié)構(gòu)具有生產(chǎn)性�？赡苄园粗�識(shí)的學(xué)習(xí)時(shí)間來說是一種縱向的線形聯(lián)系，但留在學(xué)生腦海里的僅僅是一個(gè)個(gè)知識(shí)點(diǎn)，前不著村后不著店。如何把這些零散的、孤立的知識(shí)串點(diǎn)成線呢？這就需要教師的引導(dǎo)和點(diǎn)撥�？赡苄灾�識(shí)產(chǎn)生于現(xiàn)實(shí)活動(dòng)，可以設(shè)計(jì)游戲串接，在玩中學(xué)習(xí)。

游戲第二環(huán)節(jié)：用等可能性知識(shí)解決問題。教師提出上一環(huán)節(jié)摸球游戲的三人中，只能留下一個(gè)人繼續(xù)接受挑戰(zhàn)贏取大獎(jiǎng)，誰留下？大家有什么辦法？促使學(xué)生運(yùn)用可能性的相關(guān)知識(shí)解決問題，他們會(huì)想到用抽簽、石頭剪刀布等方法來決定，這樣就順勢(shì)復(fù)習(xí)了等可能性采用的方式，把所學(xué)的知識(shí)和方法進(jìn)行有效的聯(lián)系，線路清晰。

（二）踐行長作業(yè)，踏尋“聯(lián)系”之路

小學(xué)階段的學(xué)習(xí)主要是為了培養(yǎng)學(xué)生的隨機(jī)思維，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用概率的眼光去觀察世界，而不僅僅是以確定的、一成不變的思維方式去理解事物。因此，可以把學(xué)生的作業(yè)設(shè)計(jì)為“長作業(yè)”，所謂“長作業(yè)”就是一種研究性的實(shí)踐作業(yè)，需要較長時(shí)間、較多活動(dòng)的求證探索，通過學(xué)習(xí)小組實(shí)踐活動(dòng)、調(diào)查分析、探索論證等途徑，溝通數(shù)學(xué)和生活、現(xiàn)象和本質(zhì)之間的聯(lián)系。讓長作業(yè)悟于實(shí)踐活動(dòng)之中、融于日常生活之間、援于鏈接展望知識(shí)體系之內(nèi)。

1.悟于實(shí)踐，感知現(xiàn)象

課上在摸球游戲中師生共同回顧了可能性的大小，思維是順向的。為進(jìn)一步體驗(yàn)可能性，通過放棋子這一逆向思維的操作，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到對(duì)于某一客觀事件來說，其發(fā)生的可能性和個(gè)人愿望無關(guān)。

活動(dòng)一：我們來放棋子。小組成員一方提出具體的要求，另一方實(shí)踐操作，并針對(duì)出現(xiàn)的問題展開討論。“放棋子”活動(dòng)，材料常見、操作簡單，學(xué)生課間、午間、課外活動(dòng)時(shí)都可操作。通過“怎么放棋子”這一逆向思維的訓(xùn)練，進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生的隨機(jī)思想，以變化的思維方式去理解事物。

2.融于生活，透視本質(zhì)

活動(dòng)二：“透視摸獎(jiǎng)陷阱”。通過調(diào)查生活中的摸獎(jiǎng)現(xiàn)象，如超市節(jié)日抽獎(jiǎng)、文具店促銷抽獎(jiǎng)等。在計(jì)算各獎(jiǎng)項(xiàng)的中獎(jiǎng)概率中，發(fā)現(xiàn)有時(shí)抽一萬次還是個(gè)“謝謝”，透過現(xiàn)象看清本質(zhì)，通過數(shù)據(jù)分析體驗(yàn)隨機(jī)性、小概率，從中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念。

3.援于鏈接，展望體系

活動(dòng)三：知識(shí)鏈接。小學(xué)階段設(shè)置的內(nèi)容是依據(jù)已知的概率分布估計(jì)事件發(fā)生的概率，而概率學(xué)習(xí)的高級(jí)目標(biāo)是：了解現(xiàn)實(shí)世界中的隨機(jī)現(xiàn)象（不確定現(xiàn)象），能在不確定中作出合理的判斷。目前的學(xué)習(xí)只是冰山一角，在課外，可以從書本、網(wǎng)絡(luò)中查閱資料，做一個(gè)相關(guān)概率知識(shí)的鏈接。如在隨機(jī)現(xiàn)象研究中，了解用頻率可以估計(jì)概率等，勾起學(xué)生的求知欲，讓他們帶著疑惑和憧憬步入中學(xué)校園。 二、橫向整合，線動(dòng)成面

對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)進(jìn)行橫向整合，既可以擴(kuò)展學(xué)生的視野，又能鍛煉學(xué)生從多角度思維問題的能力。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的有些知識(shí)在學(xué)生看來貌似八竿子打不著，實(shí)際上在大知識(shí)背景中具有橫向聯(lián)系，學(xué)生很難自己發(fā)現(xiàn)，是需要教師著力的地方，線動(dòng)成面�，F(xiàn)以2023年元月市級(jí)研究課人教修訂版六年級(jí)上冊(cè)《圓的總復(fù)習(xí)》為例闡述。

（一）重構(gòu)知識(shí)，整合落實(shí)

學(xué)期的總復(fù)習(xí)不同于單元復(fù)習(xí)，它側(cè)重于讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)單元與單元知識(shí)的聯(lián)系整合，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)一要把教材教厚，二要把知識(shí)變實(shí)，更要把連接延長。利用總復(fù)習(xí)的 “成長小檔案”，引導(dǎo)學(xué)生回顧與反思本學(xué)期學(xué)了哪些知識(shí)？哪些單元之間是有聯(lián)系的？因此要在“圓”這一單元知識(shí)復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上，將圓的知識(shí)與確定位置、扇形的知識(shí)有機(jī)整合。

1.精彩回放“銜接點(diǎn)”

課件顯示練習(xí)單，獨(dú)立完成后，嘗試向同學(xué)介紹圓與其他知識(shí)的聯(lián)系。

觀察下面的圖。想一想，本學(xué)期學(xué)過與圓有關(guān)的知識(shí)有哪些？填一填。

2.適時(shí)聚焦“交叉點(diǎn)”

上述練習(xí)單的設(shè)計(jì)體現(xiàn)了兩個(gè)特點(diǎn)，一是縱向脈絡(luò)清晰，引導(dǎo)學(xué)生回顧半徑、直徑、圓周長、圓面積等概念的形成，計(jì)算公式的推導(dǎo)，加深對(duì)圓本質(zhì)特征的理解和掌握。二是橫向有機(jī)融合，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)位置和方向、圓、扇形統(tǒng)計(jì)圖之間的聯(lián)系。讓學(xué)生真真切切感受到各線知識(shí)的緊密聯(lián)系，讓學(xué)生在深度參與中整合、重構(gòu)知識(shí)體系。

（二）延伸拓引，整合發(fā)展

與圓有關(guān)的知識(shí)之間有那么多的聯(lián)系，這種聯(lián)系在解決實(shí)際生活問題非常有用。我把復(fù)習(xí)整理圖與課本P113的第4題，兩者合二為一，整合本冊(cè)教材的《圓》、《位置和方向》、《扇形統(tǒng)計(jì)圖》三個(gè)單元的內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生提出并解答啟迪性較強(qiáng)的綜合題，讓學(xué)生在多看、多思中去發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)之間的整合。

1.關(guān)注“延伸點(diǎn)”

提出縱向聯(lián)系的問題，延伸方向?yàn)椋夯�本知識(shí)→推導(dǎo)過程→逆向思維。問題一：如果圓形是一個(gè)公園，半徑為（ ）km。根據(jù)半徑（ ）千米，你又能想到什么（直徑，圓周長，圓面積，圓內(nèi)接正方形的面積……）？問題二：已知C=6.28，求S =？ 如果C=6或10呢？求S會(huì)碰上什么困難？

2.體現(xiàn)“兼容點(diǎn)”

通過基礎(chǔ)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的搭建，在延伸處交融，多角度、多層次對(duì)復(fù)習(xí)的內(nèi)容進(jìn)行全面的考察、整合、思考，達(dá)到訓(xùn)練思維、優(yōu)化思維品質(zhì)的目的。

三、合縱連橫，面動(dòng)成體

復(fù)習(xí)課的主要目標(biāo)就是根據(jù)一定的結(jié)構(gòu)，對(duì)已學(xué)知識(shí)的梳理、概括、提升，從而達(dá)到靈活運(yùn)用解決問題的目的。不同的復(fù)習(xí)內(nèi)容存在不同的邏輯特點(diǎn)，應(yīng)采取不同的梳理方式，溝通聯(lián)系、重構(gòu)整合，但都應(yīng)該為多樣化的問題及問題之間的聯(lián)結(jié)和轉(zhuǎn)換提供條件。教師要引領(lǐng)學(xué)生走進(jìn)數(shù)學(xué)的奇妙世界，面動(dòng)成體，深刻體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)是一個(gè)相互關(guān)聯(lián)的、動(dòng)態(tài)的活動(dòng)系統(tǒng)，促使學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)能力的提高。

（一）用聯(lián)系的觀點(diǎn)復(fù)習(xí)知識(shí)，從樹木走向森林

日常的課堂教學(xué)中往往以解決課時(shí)單一的知識(shí)技能為重點(diǎn)，忽視了知識(shí)的整體性，導(dǎo)致日復(fù)一日地只見樹木不見森林。數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)是一種重構(gòu)的過程，要尋找該內(nèi)容在教材體系中的位置，理清知識(shí)發(fā)展的脈絡(luò)，確定課時(shí)教學(xué)應(yīng)達(dá)到的認(rèn)知高度，找到知識(shí)間的聯(lián)系點(diǎn)�！犊赡苄钥倧�(fù)習(xí)》一課，用游戲串起學(xué)生從三年級(jí)上冊(cè)到六年級(jí)接觸過的可能性知識(shí)，使靜態(tài)的教材變得生動(dòng)，學(xué)生的思維逐漸展開，形成了重體驗(yàn)和感悟的過程性結(jié)構(gòu)。課上借助紅球黃球數(shù)量的增減變化情況，推斷可能性的大小，直觀認(rèn)識(shí)不確定現(xiàn)象；借助可能性預(yù)測(cè)、摸球現(xiàn)象透視、游戲轉(zhuǎn)盤制定等，感受不確定現(xiàn)象的特點(diǎn)，學(xué)會(huì)用概率的眼光去觀察世界。帶領(lǐng)學(xué)生從零零散散的知識(shí)點(diǎn)――樹木，走向可能性這片大森林，促使他們用更高的視點(diǎn)來思考問題，為他們提供智慧的成長空間。

（二）以任務(wù)的驅(qū)動(dòng)整理知識(shí)，從回憶走向重構(gòu)

復(fù)習(xí)課中，知識(shí)整理是主要的教學(xué)環(huán)節(jié)，不梳理不明晰。但梳理的方法也有多種，有些通過師生之間的問答呈現(xiàn)所學(xué)的主要知識(shí)，教師通過畫圖或列表的方式形成知識(shí)結(jié)構(gòu)，基本上是手牽手幫扶式的復(fù)習(xí)。實(shí)際上我們要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生自主復(fù)習(xí)的能力，當(dāng)然，缺失了教師的介入和引領(lǐng)，學(xué)生容易眉毛胡子一把抓，費(fèi)時(shí)過多且不容易揭示知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系。如果給學(xué)生設(shè)計(jì)合理的學(xué)習(xí)任務(wù)，通過任務(wù)驅(qū)動(dòng)和任務(wù)解決把要整理的知識(shí)呈現(xiàn)和聯(lián)系起來，就能破除這種困局。

在《圓的總復(fù)習(xí)》中，先引領(lǐng)學(xué)生觀察圖例，想一想，本學(xué)期學(xué)過與圓有關(guān)的知識(shí)有哪些？學(xué)生在學(xué)習(xí)任務(wù)的驅(qū)動(dòng)下思考：“怎樣運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)介紹圓和其他知識(shí)的聯(lián)系”，并嘗試搭建知識(shí)的框架性結(jié)構(gòu)。學(xué)生通過仔細(xì)的觀察，發(fā)現(xiàn)圖中有位置與方向、扇形統(tǒng)計(jì)圖及圓的有關(guān)知識(shí)。

（三）借精巧的練習(xí)解決問題，從膚淺走向深刻

簡單的學(xué)習(xí)材料，不簡單的教學(xué)設(shè)計(jì)，讓一道題發(fā)揮最大的教學(xué)功能，也彰顯出濃濃的數(shù)學(xué)味。在解決問題的過程中，要重視引導(dǎo)學(xué)生思考交流解決問題的策略，并在不同的策略的比較中優(yōu)化。

總之，復(fù)習(xí)課需要點(diǎn)動(dòng)成線、線動(dòng)成面、面動(dòng)成體來組織教學(xué)。復(fù)習(xí)有法、但無定法、貴在得法，不同的教學(xué)內(nèi)容，預(yù)示著不同教法和學(xué)法，教師只有在吃透教材，充分了解學(xué)情的基礎(chǔ)上，注重知識(shí)的生長點(diǎn)和延伸點(diǎn)，才能引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)局部知識(shí)與整體知識(shí)的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)從顯性學(xué)力慢慢到隱性學(xué)力的轉(zhuǎn)變，實(shí)現(xiàn)學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展。

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