幾何證明選講蘇教版
幾何證明選講蘇教版
新課標(biāo)高考試題應(yīng)對(duì)策略之一
———20xx年幾何證明選講題解體攻略
趙棟先
20xx年,河南省的新課標(biāo)卷給人以耳目一新的感覺,尤其是他的幾何證明選講問題,命題人確實(shí)下了很大功夫,該題分兩問,第一問考查四點(diǎn)共圓問題,難度不是很大,但是應(yīng)用了一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的知識(shí),應(yīng)用了相似三角形的證明,第二問是考察四邊形的外接圓半徑問題,難度還是有的,很多同學(xué)理解不透外接圓的本質(zhì),所以無從下手解決。
請(qǐng)先看題:
(22)(本小題滿分10分)選修4-1:幾何證明選講如圖, , 分別為 的邊 , 上的點(diǎn),且不與 的頂點(diǎn)重合。已知 的長為m,的長為n,AD, 的長是關(guān)于 的方程 的兩個(gè)根。
(Ⅰ)證明: , , , 四點(diǎn)共圓;
(Ⅱ)若 ,且 ,求 , , , 所在圓的半徑。
第一問解法:
證明策略一: 把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形,若能證明其對(duì)角互補(bǔ)或能證明其一個(gè)外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對(duì)角時(shí),即可肯定這四點(diǎn)共圓.
因?yàn)?, 的長是關(guān)于 的方程 的兩個(gè)根.
所以 ,
因?yàn)?的長為 , 的長為 ,所以 .
連接 ,根據(jù)題意,在 和 中,
因?yàn)椋?br /> 即 ,又 ,
從而 .
因此,
所以 , , , 四點(diǎn)共圓.
證明策略二:把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連成相交的兩條線段,若能證明它們各自被交點(diǎn)分成的兩線段之積相等,即可肯定這四點(diǎn)共圓;或把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連結(jié)并延長相交的兩線段,若能證明自交點(diǎn)至一線段兩個(gè)端點(diǎn)所成的兩線段之積等于自交點(diǎn)至另一線段兩端點(diǎn)所成的兩線段之積,即可肯定這四點(diǎn)也共圓.(根據(jù)托勒密定理的逆定理)
事實(shí)上,以上定理就是割線定理的逆定理,即托勒密定理的逆定理,先讓我們證明他的正確性。
E
D
B
C
A
已知:在四邊形BCDE中,延長BE邊和CD邊交于A點(diǎn),
若AExAB=ADxAC ,求證:B,C,D,E四點(diǎn)共圓。
證明:∵AD·AB=AE·AC,
∴ =
又∵∠A=∠A
∴△AED∽△ABC
∴∠AED=∠B
根據(jù)圓內(nèi)接四邊形判定定理知,B,C,D,E四點(diǎn)共圓。
這個(gè)結(jié)論,即為托勒密定理的逆定理,我們可以利用它證明第一問:
因?yàn)?, 的長是關(guān)于 的方程 的兩個(gè)根.
所以 ,
因?yàn)?的長為 , 的長為 ,所以
所以 =AE·AC
根據(jù)托勒密定理的逆定理,B,C,D,E四點(diǎn)共圓。
對(duì)于第一問來說,我們只要平時(shí)多積累方法,總是可以解決的,但是對(duì)于托勒密定理的逆定理,大綱中沒有要求掌握,我們可以根據(jù)自己的基礎(chǔ),有選擇的去掌握 。
下面我們來解決第二問:
第二問是在第一問四點(diǎn)共圓的基礎(chǔ)上,求這四個(gè)點(diǎn)所在圓的半徑。
解決策略一:我們可以根據(jù)圓內(nèi)接四邊形圓心的性質(zhì),把圓心做出來,圓心到任一頂點(diǎn)的連線長度即為半徑這個(gè)思路來解題。
知識(shí)聯(lián)系:那么,圓內(nèi)接四邊形的圓心究竟有什么性質(zhì)呢?讓我們先來考慮一下三角形的外接圓圓心的性質(zhì),我們知道,三角形外接圓圓心是各條邊垂直平分線的交點(diǎn),
那么圓內(nèi)接四邊形的圓心是否也有相同的性質(zhì)呢?答案是一定的。原因很簡單:圓內(nèi)接四邊形的圓心到四邊形各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等,則到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合是什么呢?很明顯,這樣的集合是線段的中垂線,那么到四邊形四條邊的定點(diǎn)相等的點(diǎn)的集合一定是四條邊中垂線的交點(diǎn)了,這個(gè)問題一旦解決,第一問的圓心問題就簡單了 。我們看半徑的求解方法 。
版權(quán)聲明:本文內(nèi)容由互聯(lián)網(wǎng)用戶自發(fā)貢獻(xiàn),該文觀點(diǎn)僅代表作者本人。本站僅提供信息存儲(chǔ)空間服務(wù),不擁有所有權(quán),不承擔(dān)相關(guān)法律責(zé)任。如發(fā)現(xiàn)本站有涉嫌抄襲侵權(quán)/違法違規(guī)的內(nèi)容, 請(qǐng)發(fā)送郵件至 yyfangchan@163.com (舉報(bào)時(shí)請(qǐng)帶上具體的網(wǎng)址) 舉報(bào),一經(jīng)查實(shí),本站將立刻刪除