今天小編就為大家分享一篇如何證明勾股定理，具有很好的參考價值，希望對大家有所幫助。
的正方形和1個邊長為的正方形以及4個直角邊分別為、，斜邊為的直角三角形拼成的。右邊的正方形是由1個邊長為的正方形和4個直角邊分別為、，斜邊為的直角三角形拼成的。因為這兩個正方形的面積相等(邊長都是 )，所以可以列出等式，化簡得。的正方形可以看作是由4個直角邊分別為、，斜邊為的直的正方形面積加上4個直角三角形的面積等于外圍正方形的面積，所以可以列出等式，化簡得

她的腳步在水中形成一個個大波紋，一步一個，一步一個。我嘴里吃著奶奶做的飯菜，眼眶里流著淚水，哭濕了雙眼。

。的正方形可以看作是由4個直角邊分別為、，斜邊為的的正方形“小洞”。的正方形面積等于4個直角三角形的面積加上正方形“小洞”的面積，所以可以列出等式，化簡得。、，斜邊為的直角三角形和1個直角邊為 ，化簡得。
這種證明方法由于用了梯形面積公式和三角形面積公式，從而使證明更加簡潔，它在數(shù)學(xué)史上被傳為佳話。
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最早對勾股定理進行證明的，是三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽。趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用形數(shù)結(jié)合得到方法，給出了勾股定理的詳細證明。在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長玫秸?叫蜛BDE是由4個相等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的。每個直角三角形的面積為ab/2;中間懂得小正方形邊長為b-a，則面積為(b-a)2

清香撲鼻；抿一口，澀澀的；咂一咂，有甜甜的味道。與仲夏的驕陽相比，初夏的陽光是溫馴的綿羊，

。于是便可得如下的式子：
4×(ab/2)+(b-a)2=c2
化簡后便可得：
a2+b2=c2
亦即：
c=(a2+b2)(1/2)
稍后一點的劉徽在證明勾股定理時也是用以形證數(shù)的方法，劉徽用了“出入相補法”即剪貼證明法，他把勾股為邊的正方形上的某些區(qū)域剪下來(出)，移到以弦為邊的正方形的空白區(qū)域內(nèi)(入)，結(jié)果剛好填滿，完全用圖解法就解決了問題。
再給出兩種
1。做直角三角形的高，然后用相似三角形比例做出。
2。把直角三角形內(nèi)接于圓。然后擴張做出一矩形。最后用一下托勒密定
3
勾股定理：在Rt△ABC中，AB⊥AC，則：AB^2+AC^2=BC^2。該定理有不同的證明方法，現(xiàn)用一種方法證明如下：如圖作4個與Rt△ABC全等的三角形

但是大家共同努力，完成工作，我覺得很充實。

。不失一般性地設(shè)AB>AC。很明顯，4個直角三角形的面積+小正方形的面積=大正方形的面積。 ∴4(AB×AC/2)+(AB-AC)^2=BC^2，∴2AB×AC+AB^2-2AB×AC+AC^2=BC^2， ∴AB^2+AC^2=BC^2。 特別地，當AB=AC時，看成小正方形的面積為0，得：2AB×AC=BC^2，改寫一下就有：AB×AC+AB×AC=BC^2，得：AB^2+AC^2=BC^2。 [說明：當Ac>AB時，將上述證明過程中的字母B、C調(diào)換一下就可以了。] 4
滿意答案
最初的證明是分割型的。設(shè)a、b為直角三角形的直角邊，c為斜邊�？紤]下圖兩個邊長都是a+b的正方形A、B。將A分成六部分，將B分成五部分。由于八個小直角三角形是全等的，故從等量中減去等量，便可推出：斜邊上的正方形等于兩個直角邊上的正方形之和。這里B中的四邊形是邊長為c的正方形是因為，直角三角形三個內(nèi)角和等于兩個直角。如上證明方法稱為相減全等證法。B圖就是我國《周髀算經(jīng)》中的“弦圖”。
下圖是H.珀里加爾(Perigal)在1873年給出的證明，它是一種相加全等證法

春風(fēng)送福，喜氣臨門

。其實這種證明是重新發(fā)現(xiàn)的，因為這種劃分方法，labitibn Qorra(826～901)已經(jīng)知道。(如：右圖)下面的一種證法，是H?E?杜登尼(Dudeney)在1917年給出的。用的也是一種相加全等的證法。
如右圖所示，邊長為b的正方形的面積加上邊長為a的正方形的面積，等于邊長為c的正方形面積

不客氣。是我有錯在先.。說完，他對我笑了笑。我也笑了笑，接著說道：“再見!后會有期！”說完，我跑走了，留下男孩一人站在那里。

。
下圖的證明方法，據(jù)說是L?達?芬奇(da Vinci, 1452～1519)設(shè)計的，用的是相減全等的證明法。
歐幾里得(Euclid)在他的《原本》第一卷的命題47中，給出了勾股定理的一個極其巧妙的證明，如次頁上圖。由于圖形很美，有人稱其為“修士的頭巾”，也有人稱其為“新娘的轎椅”，實在是有趣

愿你倆用愛去綰著對方，彼此互相體諒和關(guān)懷，共同分享今后的苦與樂。敬祝百年好合永結(jié)同心！

。華羅庚教授曾建議將此圖發(fā)往宇宙，和“外星人”去交流。其證明的梗概是：
(AC)2=2△JAB=2△CAD=ADKL。
同理，(BC)2=KEBL
所以
(AC)2+(BC)2=ADKL+KEBL=(BC)2
印度數(shù)學(xué)家兼天文學(xué)家婆什迦羅(Bhaskara，活躍于1150年前后)對勾股定理給出一種奇妙的證明，也是一種分割型的證明。如下圖所示，把斜邊上的正方形劃分為五部分。其中四部分都是與給定的直角三角形全等的三角形;一部分為兩直角邊之差為邊長的小正方形

吃粽子、賽龍舟，這兩樣傳統(tǒng)習(xí)俗，共同編織了一個熱熱鬧鬧的端午節(jié)。

。很容易把這五部分重新拼湊在一起，得到兩個直角邊上的正方形之和。事實上，
婆什迦羅還給出了下圖的一種證法。畫出直角三角形斜邊上的高，得兩對相似三角形，從而有
c/b=b/m，
c/a=a/n,
cm=b2
cn=a2
兩邊相加得
a2+b2=c(m+n)=c2
這個證明，在十七世紀又由英國數(shù)學(xué)家J.沃利斯(Wallis, 1616～1703)重新發(fā)現(xiàn)。
有幾位美國總統(tǒng)與數(shù)學(xué)有著微妙聯(lián)系。G?華盛頓曾經(jīng)是一個著名的測量員。T?杰弗遜曾大力促進美國高等數(shù)學(xué)教育。A.林肯是通過研究歐幾里得的《原本》來學(xué)習(xí)邏輯的。更有創(chuàng)造性的是第十七任總統(tǒng)J.A.加菲爾德(Garfield, 1831～1888)，他在學(xué)生時代對初等數(shù)學(xué)就具有強烈的興趣和高超的才能。在1876年，(當時他是眾議院議員，五年后當選為美國總統(tǒng))給出了勾股定理一個漂亮的證明，曾發(fā)表于《新英格蘭教育雜志》

遠遠地就看到了白茫茫的一片，哇，好白好美啊。待車一停，我和伙伴們就慌忙下了車，像火箭一般直竄到買票口。

。證明的思路是，利用梯形和直角三角形面積公式。如次頁圖所示，是由三個直角三角形拼成的直角梯形。用不同公式，求相同的面積得
即
a2+2ab+b2=2ab+c2
a2+b2=c2
這種證法，在中學(xué)生學(xué)習(xí)幾何時往往感興趣。
關(guān)于這個定理，有許多巧妙的證法(據(jù)說有近400種)，下面向同學(xué)們介紹幾種，它們都是用拼圖的方法來證明的。
證法1 如圖26-2，在直角三角形ABC的外側(cè)作正方形ABDE，ACFG，BCHK，它們的面積分別為c2，b2和a2。我們只要證明大正方形面積等于兩個小正方形面積之和即可。
過C引CM‖BD，交AB于L，連接BC，CE。因為
AB=AE，AC=AG ∠CAE=∠BAG，
所以 △ACE≌△AGB
而
所以
SAEML=SACFG (1)
同法可證
SBLMD=SBKHC (2)
(1)+(2)得
SABDE=SACFG+SBKHC，
即 c2=a2+b2
證法2 如圖26-3(趙君卿圖)，用八個直角三角形ABC拼成一個大的正方形CFGH，它的邊長是a+b，在它的內(nèi)部有一個內(nèi)接正方形ABED，它的邊長為c，由圖可知。
SCFGH=SABED+4×SABC，
所以 a2+b2=c2
證法3 如圖26-4(梅文鼎圖)。
在直角△ABC的斜邊AB上向外作正方形ABDE，在直角邊AC上又作正方形ACGF

清香撲鼻；抿一口，澀澀的；咂一咂，有甜甜的味道。與仲夏的驕陽相比，初夏的陽光是溫馴的綿羊，

�？梢宰C明(從略)，延長GF必過E;延長CG到K，使GK=BC=a，連結(jié)KD，作DH⊥CF于H，則DHCK是邊長為a的正方形。設(shè)
五邊形ACKDE的面積=S
一方面，
S=正方形ABDE面積+2倍△ABC面積
=c2+ab (1)
另一方面，
S=正方形ACGF面積+正方形DHGK面積
+2倍△ABC面積
=b2+a2+ab. (2)
由(1)，(2)得
c2=a2+b2
證法4 如圖26-5(項名達圖)，在直角三角形ABC的斜邊上作正方形ABDE，又以直角三角形ABC的兩個直角邊CA，CB為基礎(chǔ)完成一個邊長為b的正方形BFGJ(圖26-5)�？梢宰C明(從略)，GF的延長線必過D。延長AG到K，使GK=a，又作EH⊥GF于H，則EKGH必為邊長等于a的正方形。
設(shè)五邊形EKJBD的面積為S。一方面
S=SABDE+2SABC=c2+ab (1)
另一方面，
S=SBEFG+2?S△ABC+SGHFK
=b2+ab+a2
由(1)，(2)得
c2=a2+b2
楊作枚圖;
何夢瑤圖;
陳杰圖;
華蘅芳圖
都是用面積來進行驗證：一個大的面積等于幾個小面積的和。利用同一個面積的不同表示法來得到等式，從而化簡得到勾股定理)圖見
各具特色的證明方法
勾股定理是數(shù)學(xué)上證明方法最多的定理之一——有四百多種證法!但有記載的第一個證明——畢達哥拉斯的證明方法已經(jīng)失傳。目前所能見到的最早的一種證法，屬于古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得。他的證法采用演繹推理的形式，記載在數(shù)學(xué)巨著《幾何原本》里。
在中國古代的數(shù)學(xué)家中，最早對勾股定理進行證明的是三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽。趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用數(shù)形結(jié)合的方法，給出了勾股定理的詳細證明。在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長得到正方形ABDE是由4個相等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的。每個直角三角形的面積為ab/2;中間的小正方形邊長為b-a，則面積為(b-a) 2 。于是便可得如下的式子：
4×(ab/2)+(b-a) 2 =c 2
化簡后便可得： a 2 +b 2 =c 2
亦即：c=(a 2 +b 2 ) (1/2)
趙爽的這個證明可謂別具匠心，極富創(chuàng)新意識。他用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系，既具嚴密性，又具直觀性，為中國古代以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何緊密結(jié)合、互不可分的獨特風(fēng)格樹立了一個典范。
以下網(wǎng)址為趙爽的“勾股圓方圖”：以后的數(shù)學(xué)家大多繼承了這一風(fēng)格并且有發(fā)展， 只是具體圖形的分合移補略有不同而已。 例如稍后一點的劉徽在證明勾股定理時也是用以形證數(shù)的方法，劉徽用了“出入相補法”即剪貼證明法，他把勾股為邊的正方形上的某些區(qū)域剪下來(出)，移到以弦為邊的正方形的空白區(qū)域內(nèi)(入)，結(jié)果剛好填滿，完全用圖解法就解決了問題。