高中數(shù)學教學中數(shù)學思想方法的滲透

　　摘要：　現(xiàn)階段很多高中學生學不明白高中數(shù)學, 大部分學生能看明白教材中的內(nèi)容, 對于教師講解的知識也基本都能聽明白, 但是一進入考場解題時就會出現(xiàn)很多問題, 其中最主要的原因就是缺乏必要的數(shù)學思想方法, 導致學生在考場沒有解題思路, 因此, 要求學生靈活掌握數(shù)學思想方法是必要的。高中數(shù)學思想方法是分析、處理和解決問題的策略, 是高中數(shù)學知識體系的精髓與靈魂, 同時也是對高中數(shù)學知識最高層次的概括與提煉。在高中數(shù)學教學中對思想方法的教學滲透意義重大。

　　關(guān)鍵詞：　高中數(shù)學; 思想方法; 教學; 滲透;

　　高中數(shù)學教學的重要任務是讓學生能夠準確理解數(shù)學知識, 并且能夠?qū)⑺鶎W的知識靈活應用, 這就需要高中數(shù)學教師在日常教學中要注重數(shù)學思想方法的滲透。

　　一、高中數(shù)學七大基本思想方法

　　1. 函數(shù)與方程思想

　　第一, 函數(shù)思想是用變化的觀點解決實際問題中的數(shù)量關(guān)系, 根據(jù)具體問題建立相應的函數(shù)關(guān)系式, 再結(jié)合相關(guān)的函數(shù)知識解決問題的思想。在研究方程、不等式、數(shù)列和解析幾何等內(nèi)容時, 把函數(shù)思想應用于其中。第二, 方程思想是分析高中數(shù)學問題中變量間的相等關(guān)系, 解決相關(guān)計算問題的基本思想, 高考將函數(shù)與方程思想作為重點來考查。

　　2. 數(shù)形結(jié)合思想

　　數(shù)學研究的對象就是數(shù)與形兩個方面, 數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法就是根據(jù)數(shù)與形之間的相互關(guān)系, 在處理數(shù)學問題時運用數(shù)與形之間的彼此互換來解決問題的思想方法。在初中學習的一維空間中, 將實數(shù)與數(shù)軸上的點建立了一一對應關(guān)系;而在學習二維空間中, 又將這種一一對應的關(guān)系創(chuàng)立在實數(shù)對 (x, y) 與坐標平面上的點;在高中階段學習了三維空間, 又將數(shù)對 (x, y, z) 與空間中的點建立了一一對應的關(guān)系。在高考數(shù)形結(jié)合思想方法應用中, 對數(shù)到形的轉(zhuǎn)化的考察主要體現(xiàn)在選擇、填空題上, 而對學生推理論證是否嚴密的考察則是在解答題中體現(xiàn)的, 并且突出形到數(shù)的轉(zhuǎn)化考察。

　　3. 分類與整合思想

　　分類與整合的思想方法是解決高中數(shù)學問題的基本邏輯方法, 對如何選擇適合的分類標準, 要根據(jù)題目而定。分類與整合思想的本質(zhì)屬性是先分再合, 當教師側(cè)重檢查學生數(shù)學思維是否嚴謹與周密時, 就可把分類與整合思想的研究運用在含字母參數(shù)的數(shù)學題目上。

　　4. 化歸與轉(zhuǎn)化思想

　　化歸與轉(zhuǎn)化思想要求學生在處理數(shù)學問題時要具備化繁為簡和化難為易的能力。一般與特殊的轉(zhuǎn)化、繁與簡的轉(zhuǎn)化、構(gòu)造轉(zhuǎn)化、命題的等價轉(zhuǎn)化等這些數(shù)學思想常用方法在高考中都是檢驗學生數(shù)學素養(yǎng)的重要內(nèi)容。

　　5. 特殊與一般思想

　　在處理數(shù)學問題時, 首先應著手特殊問題, 由表及里, 層層深入。從問題的表面現(xiàn)象揭示其本質(zhì)規(guī)律, 并以此由特殊推廣到一般, 在解決特殊問題的實踐中總結(jié)、形成解決一般問題的理論, 解決其他特殊問題時可以加以指導。在近幾年的高考中, 對學生特殊與一般思想加大了考查力度。

　　6. 有限與無限的思想

　　將對無限的研究轉(zhuǎn)化為對有限的研究, 是解決無限問題的必由之路。當積累了解決無限問題的經(jīng)驗后, 可以將有限的問題轉(zhuǎn)化成無限來解決。在高中階段立體幾何中, 對球的表面積公式和體積公式的推導過程正是運用了這一思想:先對球進行有限次分割, 然后再求和, 求極限。

　　7. 或然與必然的思想

　　隨機事件的產(chǎn)生是隨機的, 而事件產(chǎn)生的頻率是不變的, 這要求學生能夠在偶然事件中尋找到必然規(guī)律, 再用必然規(guī)律去解決出現(xiàn)的偶然事件。高中階段的等可能性事件的概率、互斥事件發(fā)生的概率、相互獨立事件同時發(fā)生的概率、對立重復試驗、隨機事件的分布列、數(shù)學期望等都是高考的重點考查內(nèi)容。

　　二、高中數(shù)學思想方法在教學中的滲透

　　教師想要提高學生的思維能力和解決問題的能力, 在數(shù)學教學中就要滲透數(shù)學思想方法。教師可以在課堂教學過程中滲透數(shù)學思想方法。在講解數(shù)學概念時, 可采用數(shù)形結(jié)合法, 讓學生借助圖形的形象直觀性來理解概念, 這樣做可加深學生對概念的理解。在數(shù)學公式的講解中, 也可以運用數(shù)學思想方法。在解題過程中滲透數(shù)學思想方法教學, 能提高學生的解題能力, 運用數(shù)學思想方法分析和解決問題可以優(yōu)化解題策略, 提高學生解題速度。

　　1. 函數(shù)與方程的思想方法

　　方程的思想是通過解析式將變量間的關(guān)系表示出來, 函數(shù)與方程之間有著必然的聯(lián)系, 如方程f (x) =0的解就是函數(shù)y=f (x) 的圖像與x軸的交點的橫坐標。高中數(shù)學知識系統(tǒng)繁雜, 而其中的一條主線就是函數(shù)與方程思想, 函數(shù)教學自始至終貫穿高中數(shù)學, 也是高考必考內(nèi)容, 分為高、中、低三個難度檔次。

　　例:當x∈[-2, 1]時, 不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立, 求實數(shù)a的取值范圍。

　　本例題在恒成立的條件下求參數(shù)a的取值范圍, 教學過程中要注意引導學生將參數(shù)a分離出來, 這樣此問題就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在給定區(qū)間的最值問題, 然后運用函數(shù)單調(diào)性及其相關(guān)性質(zhì)求出最值, 此問題也就得以解決。

　　函數(shù)與方程的數(shù)學思想是解決高中數(shù)學問題的一種很常用的方法, 它主要表現(xiàn)在兩個方面:第一, 建立函數(shù)關(guān)系或者構(gòu)造出新函數(shù), 將所要求的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)的問題解決;第二, 利用一些基本初等函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)解決有關(guān)解方程、不等式或求參數(shù)取值范圍等問題。

　　2. 數(shù)形結(jié)合的思想方法

　　數(shù)形結(jié)合的思想方法是把抽象的字母和符號與直觀的圖形結(jié)合, 實現(xiàn)數(shù)與形間的相互轉(zhuǎn)化。使用數(shù)形結(jié)合的思想方法既直觀又形象, 還可以使很多較難的問題簡單化。解決高中數(shù)學題目時, 常常會使用數(shù)形結(jié)合的思想方法。比如, 求函數(shù)的最值、解方程等問題。另一方面, 數(shù)形結(jié)合的思想方法也可以運用到高考中, 尤其是處理某些抽象的選擇題與填空題, 在速度與準確率方面比較有優(yōu)勢。

　　本例題常規(guī)的解法是去分母, 將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的形式, 然后利用三角函數(shù)的有界性求出y的范圍, 但是, 這種常規(guī)方法計算起來很復雜, 計算量很大。因此, 在教學過程中滲透數(shù)形結(jié)合思想, 將此問題與圖形結(jié)合起來, 轉(zhuǎn)化為求A (3, 2) 和點B (cos x, -sin x) 所確定的直線的斜率的最值問題來解決, 再結(jié)合圖形的直觀性來分析就更簡單了, 這樣就將問題簡單化了, 既容易理解, 又容易計算。

　　在運用數(shù)形結(jié)合的方法解題時, 圖形要準確, 這樣才能讓學生快速準確找到解決問題的方法。當然, 問題的最終解決離不開準確的運算。

　　3. 分類討論的思想方法

　　分類討論的數(shù)學思想方法是教師在教學過程中常常用到的一種重要的方法。教師在日常教學中經(jīng)常會遇到這樣的問題:這些問題并不能進行統(tǒng)一研究, 但是局部和整體之間又有著一定的關(guān)系。這樣的問題可通過分類討論的方法按照一定的標準進行分類, 再對每個局部進行研究, 最后綜合各類的結(jié)果得到整個問題的答案。分類討論是高中數(shù)學思想方法中相當重要的組成部分, 在高考中, 分類討論這方面的數(shù)學問題一直都占據(jù)著重要地位。

　　例:已知函數(shù)f (x) =In x+a (1-x) , 討論f (x) 的單調(diào)性。

　　本題是含有字母參數(shù)的函數(shù)確定其單調(diào)性, 一般要根據(jù)字母的取值范圍進行分類討論, 其方法是以函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點為分界點, 把定義域劃分為若干個區(qū)間, 在不同區(qū)間上確定導數(shù)的符號, 對極值的確定也要根據(jù)字母的取值進行討論。一般地, 如果遇到問題的條件就是分類給出的、問題中含有參數(shù)變量、幾何問題中位置變化的或以分段形式給出的數(shù)學公式等問題時, 要進行分類求解。分類討論的原則是分類對象確定, 分類標準一致, 做到不重不漏, 最后還要歸納總結(jié)出結(jié)論。

　　以上介紹的幾種數(shù)學思想方法是高中數(shù)學中常常用到的數(shù)學思想方法, 如果學生能熟練掌握這些數(shù)學思想方法, 并能夠靈活運用, 一定能提高自己的數(shù)學成績, 從而使高中數(shù)學學習變得更加容易。教師在高中數(shù)學教學的任何一個環(huán)節(jié)都應該注重數(shù)學思想方法的滲透, 學生掌握好了高中數(shù)學思想方法, 一定會受益終生。

　　參考文獻

　　[1] 高中數(shù)學課程標準研制組.普通高中數(shù)學課程標準[S].北京:北京師范大學出版社, 2003.

　　[2] 羅增儒, 李文銘.數(shù)學教學論[M].西安:陜西師范大學出版社, 2003.