數(shù)學(xué)集合知識點總結(jié)
數(shù)學(xué)集合知識點總結(jié)
集合是高中數(shù)學(xué)中的一個重要考點,相關(guān)的知識掌握并不是十分的難,下面是小編想跟大家分享的數(shù)學(xué)集合知識點總結(jié),歡迎大家瀏覽。
數(shù)學(xué)知識點總結(jié)1
一、知識歸納:
1、集合的有關(guān)概念。
1)集合(集):某些指定的對象集在一起就成為一個集合(集)、其中每一個對象叫元素
注意:
、偌吓c集合的元素是兩個不同的概念,教科書中是通過描述給出的,這與平面幾何中的點與直線的概念類似。
、诩现械脑鼐哂写_定性(a?A和a?A,二者必居其一)、互異性(若a?A,b?A,則a≠b)和無序性({a,b}與{b,a}表示同一個集合)。
③集合具有兩方面的意義,即:凡是符合條件的對象都是它的元素;只要是它的元素就必須符號條件
2)集合的表示方法:常用的有列舉法、描述法和圖文法
3)集合的分類:有限集,無限集,空集。
4)常用數(shù)集:N,Z,Q,R,N*
2、子集、交集、并集、補集、空集、全集等概念。
1)子集:若對x∈A都有x∈B,則A B(或A B);
2)真子集:A B且存在x0∈B但x0 A;記為A B(或 ,且 )
3)交集:A∩B={x| x∈A且x∈B}
4)并集:A∪B={x| x∈A或x∈B}
5)補集:CUA={x| x A但x∈U}
注意:
①? A,若A≠?,則? A ;
、谌 , ,則 ;
、廴 且 ,則A=B(等集)
3、弄清集合與元素、集合與集合的關(guān)系,掌握有關(guān)的術(shù)語和符號,特別要注意以下的符號:
。1) 與 、?的區(qū)別;
。2) 與 的區(qū)別;
。3) 與 的區(qū)別。
4、有關(guān)子集的幾個等價關(guān)系
、貯∩B=A A B;②A∪B=B A B;③A B C uA C uB;
④A∩CuB = 空集 CuA B;⑤CuA∪B=I A B。
5、交、并集運算的性質(zhì)
①A∩A=A,A∩? = ?,A∩B=B∩A;②A∪A=A,A∪? =A,A∪B=B∪A;
、跜u (A∪B)= CuA∩CuB,Cu (A∩B)= CuA∪CuB;
6、有限子集的個數(shù):設(shè)集合A的元素個數(shù)是n,則A有2n個子集,2n—1個非空子集,2n—2個非空真子集。
二、例題講解:
已知集合M={x|x=m+ ,m∈Z},N={x|x= ,n∈Z},P={x|x= ,p∈Z},則M,N,P滿足關(guān)系
A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M
分析一:從判斷元素的共性與區(qū)別入手。
解答一:對于集合M:{x|x= ,m∈Z};對于集合N:{x|x= ,n∈Z}
對于集合P:{x|x= ,p∈Z},由于3(n—1)+1和3p+1都表示被3除余1的數(shù),而6m+1表示被6除余1的數(shù),所以M N=P,故選B。
分析二:簡單列舉集合中的元素。
解答二:M={…, ,…},N={…, , , ,…},P={…, , ,…},這時不要急于判斷三個集合間的關(guān)系,應(yīng)分析各集合中不同的元素。
= ∈N, ∈N,∴M N,又 = M,∴M N,
= P,∴N P 又 ∈N,∴P N,故P=N,所以選B。
點評:由于思路二只是停留在最初的歸納假設(shè),沒有從理論上解決問題,因此提倡思路一,但思路二易人手。
變式:設(shè)集合 , ,則( B )
A、M=N B、M N C、N M
解:
當(dāng) 時,2k+1是奇數(shù),k+2是整數(shù),選B
定義集合A*B={x|x∈A且x B},若A={1,3,5,7},B={2,3,5},則A*B的子集個數(shù)為
A)1 B)2 C)3 D)4
分析:確定集合A*B子集的個數(shù),首先要確定元素的個數(shù),然后再利用公式:集合A={a1,a2,…,an}有子集2n個來求解。
解答:∵A*B={x|x∈A且x B}, ∴A*B={1,7},有兩個元素,故A*B的子集共有22個。選D。
變式1:已知非空集合M {1,2,3,4,5},且若a∈M,則6?a∈M,那么集合M的個數(shù)為
A)5個 B)6個 C)7個 D)8個
變式2:已知{a,b} A {a,b,c,d,e},求集合A。
解:由已知,集合中必須含有元素a,b。
集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}。
評析 本題集合A的個數(shù)實為集合{c,d,e}的真子集的個數(shù),所以共有 個 。
已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2?4x+r=0},且A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求實數(shù)p,q,r的值。
解答:∵A∩B={1} ∴1∈B ∴12?4×1+r=0,r=3。
∴B={x|x2?4x+r=0}={1,3}, ∵A∪B={?2,1,3},?2 B, ∴?2∈A
∵A∩B={1} ∴1∈A ∴方程x2+px+q=0的兩根為—2和1,
∴ ∴
變式:已知集合A={x|x2+bx+c=0},B={x|x2+mx+6=0},且A∩B={2},A∪B=B,求實數(shù)b,c,m的值。
解:∵A∩B={2} ∴1∈B ∴22+m?2+6=0,m=—5
∴B={x|x2—5x+6=0}={2,3} ∵A∪B=B ∴
又 ∵A∩B={2} ∴A={2} ∴b=—(2+2)=4,c=2×2=4
∴b=—4,c=4,m=—5
已知集合A={x|(x—1)(x+1)(x+2)>0},集合B滿足:A∪B={x|x>—2},且A∩B={x|1
分析:先化簡集合A,然后由A∪B和A∩B分別確定數(shù)軸上哪些元素屬于B,哪些元素不屬于B。
解答:A={x|—21}。由A∩B={x|1—2}可知[—1,1] B,而(—∞,—2)∩B=ф。
綜合以上各式有B={x|—1≤x≤5}
變式1:若A={x|x3+2x2—8x>0},B={x|x2+ax+b≤0},已知A∪B={x|x>—4},A∩B=Φ,求a,b。(答案:a=—2,b=0)
點評:在解有關(guān)不等式解集一類集合問題,應(yīng)注意用數(shù)形結(jié)合的方法,作出數(shù)軸來解之。
變式2:設(shè)M={x|x2—2x—3=0},N={x|ax—1=0},若M∩N=N,求所有滿足條件的a的集合。
解答:M={—1,3} , ∵M∩N=N, ∴N M
①當(dāng) 時,ax—1=0無解,∴a=0 ②
綜①②得:所求集合為{—1,0, }
已知集合 ,函數(shù)y=log2(ax2—2x+2)的定義域為Q,若P∩Q≠Φ,求實數(shù)a的取值范圍。
分析:先將原問題轉(zhuǎn)化為不等式ax2—2x+2>0在 有解,再利用參數(shù)分離求解。
解答:(1)若 , 在 內(nèi)有有解
令 當(dāng) 時,
所以a>—4,所以a的取值范圍是
變式:若關(guān)于x的方程 有實根,求實數(shù)a的取值范圍。
解答:
點評:解決含參數(shù)問題的題目,一般要進行分類討論,但并不是所有的問題都要討論,怎樣可以避免討論是我們思考此類問題的關(guān)鍵。
數(shù)學(xué)知識點總結(jié)2
一、集合與函數(shù)概念
1、集合的含義:某些指定的對象集在一起就成為一個集合,其中每一個對象叫元素。
2、集合的中元素的三個特性:元素的確定性;元素的互異性;元素的無序性。
集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就說a屬于集合A記作a∈A,相反,a不屬于集合A
列舉法:把集合中的元素一一列舉出來,然后用一個大括號括上。
描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法。
①語言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
、跀(shù)學(xué)式子描述法
二、函數(shù)的有關(guān)概念
1、函數(shù)的概念:設(shè)A、B是非空的數(shù)集,如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng),那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)。記作:y=f(x),x∈A。其中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數(shù)的.值域。
一般地,設(shè)A、B是兩個非空的集合,如果按某一個確定的對應(yīng)法則f,使對于集合A中的任意一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng),那么就稱對應(yīng)f:A B為從集合A到集合B的一個映射。記作“f:A B”
給定一個集合A到B的映射,如果a∈A,b∈B。且元素a和元素b對應(yīng),那么,我們把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象
說明:函數(shù)是一種特殊的映射,映射是一種特殊的對應(yīng),
、偌螦、B及對應(yīng)法則f是確定的;
、趯(yīng)法則有“方向性”,即強調(diào)從集合A到集合B的對應(yīng),它與從B到A的對應(yīng)關(guān)系一般是不同的;
、蹖τ谟成鋐:A→B來說,則應(yīng)滿足:
。á瘢┘螦中的每一個元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;
。á颍┘螦中不同的元素,在集合B中對應(yīng)的象可以是同一個;
。á螅┎灰蠹螧中的每一個元素在集合A中都有原象。
拓展閱讀:學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法
第一、興趣。
如今的家庭和學(xué)校對孩子的期望很高,而且女生的性格普遍較為文靜,心理不夠強大,還有的就是數(shù)學(xué)這科目難度相對來說較高,很容易會導(dǎo)致女生對數(shù)學(xué)的興趣降低。
所以說,作為老師應(yīng)該多關(guān)心她們的學(xué)習(xí)情況,多與她們交流科目上的內(nèi)容,了解她們的想法,只有理解她們的想法才能有效的制定相應(yīng)的學(xué)習(xí)計劃,為她們驅(qū)除緊張的情緒,從而達到一個好的學(xué)習(xí)狀態(tài)。與此同時,作為家長的應(yīng)該多關(guān)心孩子的情況,不要一看到成績不好就開口訓(xùn)斥,這樣對孩子的心理會造成一定的影響,甚至可能削弱孩子對數(shù)學(xué)的興趣。我們應(yīng)該用積極的態(tài)度去對待孩子的學(xué)習(xí),女生的情感與男生不同,她們對于感興趣的,一般會更有耐心克服困難,達到自己的目標(biāo)。
第二、自信。
女生的形象思維能力一般比男生要差,邏輯思維能力也如此,所以容易造成沒有信心的現(xiàn)象。事實上,女生在運算準確率方面是很高的,也比較規(guī)范,所以我們看到女生的數(shù)學(xué)答題大都很工整,其實這是一個優(yōu)點。
所謂每個人都有優(yōu)缺點,我們不應(yīng)該因為自己的缺點而妄自菲薄,而是應(yīng)該努力克服缺點,增強自己的自信心,在學(xué)習(xí)上應(yīng)該多了解通解通法,還有一些常用的數(shù)學(xué)公式,解題技巧,還有解題速度。很多女生解數(shù)學(xué)題的速度都不快,甚至有些女生到時間了還有幾道大題沒做,這樣丟分是讓人很遺憾的。
第三、學(xué)習(xí)方法。
很多女生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時候喜歡按部就班,注重基礎(chǔ),但是卻很少做難題,所以便導(dǎo)致了解題能力薄弱。女生上課的時候很認真,復(fù)習(xí)的時候喜歡看筆記和書本,但是卻忽視了對自己能力的訓(xùn)練,所以導(dǎo)致了自己適應(yīng)性比較差。
所以,女生應(yīng)該從這幾點下手,多下功夫,對于難題我們不要害怕,但是也不能一味地做難題,適當(dāng)?shù)挠?xùn)練,對于自己的數(shù)學(xué)能力是有很大提升的。還有,女生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時候應(yīng)該多向男生學(xué)習(xí),學(xué)習(xí)他們的一些優(yōu)秀技巧,進而轉(zhuǎn)化為自己的學(xué)習(xí)技巧,結(jié)合在做題上,多訓(xùn)練,相信對自己的數(shù)學(xué)水平是有很大幫助的。
第四、課前預(yù)習(xí)。
正所謂“笨鳥先飛”,我們經(jīng)過預(yù)習(xí)可以提前對新內(nèi)容有一個大概的了解,從而在聽課的時候能夠有的放矢,對自己不了解的知識點著重注意,很可能會有奇效。而提前預(yù)習(xí),還能對女生的心理有一個暗示,對女生的信心提高也是有極大的好處。
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