流體力學三大方程的推導

微分形式連續(xù)的性程方

續(xù)連程方是體流力學基的本程之方， 流體一動運的續(xù)連方，程反流體運動和映流體質(zhì) 量分的關(guān)系，它是在質(zhì)布守恒量律在定流 力體學的中應用

重。點討不論表同現(xiàn)式形流的體連續(xù)方程。

用一個微六

面體控制體建元微分形式立的續(xù)連性程。方 設(shè)在流場中一固取不動的微平定六行面體（制體控，在直）角標坐系o xzy中， 六面的邊體長取為x d，dy，dz。

看先x 軸方 向的流動流體，A從BC面 D入流面六，從E體FG面流出。H

在x 軸方向出流與入流質(zhì)之差量

?( ?x u )? (ux?) [ ?u x? xd]ydzdd ? t u? dyxddzt? dx yddzd ?xt?

x

用樣同的方法可得在，y方軸和向z方軸向流的出流入與質(zhì) 量之分別為差

(? u?y ?)y

dx

ydzdd

t?( ?u

z) ddydzdtx z

這?，在樣d t時間內(nèi)通過面六體全的六個面凈流出的部質(zhì)量為

：? ?(ux) ? (u y? )(?? zu )[ ? ? ]dxdydzd t ?x?x ?x

在d t的時內(nèi)間六面，內(nèi)體質(zhì)的量減了 ( 少?

?? xdddydt z ，) ?

t

根質(zhì)量據(jù)守恒定律，流出六面體的凈質(zhì)量等必于六體內(nèi)面減所的質(zhì)量

少

?( u? x) ?( u? y )? (?u z) ?? ? [ ?]dxdyzdt d ?? ddyxdzd tx?? y?z ?

這t就直角坐是系標中體運動的流微形分的式連性方續(xù)。

?程( ? ux ?)( ? u )y? ( ?u z )?? ? ?? 0??x ? y?z ?

代t單位表時間內(nèi)，單體位積內(nèi) 量質(zhì)凈的出 代表流單時位內(nèi)間單，體積位的 量變質(zhì)

化這

是就角直坐標中系流體運動微的形式分的連續(xù)方性程。

在連續(xù)方中程

?

( u?x ) ? ( u?y ) ? ? u z( ?)?? ? ? ?0 ?x ? y? ?z

? ?t? ? di(v? ) ?u( ?ux ) (?? yu ) (? u? z) x ?y??z

利用

散公度： 得到式

?? ? di?(v? u ? )0 t?

用矢量場基利本算公運和式體隨數(shù)公式導

：得到

? ??? d v iu u?? ? ? ?0 t

??D ? ?? div u ? 0 t

Ddiv(

u?) ? ? d vi u ? u???

? D? ? ? ?? ?u? ? t D?

討t論

?

? ，0連方續(xù)程可簡為化 ， ⑴對定常于流動 ，?t

??? d v i? ? v? ? ?t

0di

v ? ?v? 0?壓或不

壓可流體。

—微分—式

形

表明定常*動運時單位體，內(nèi)流進流出積質(zhì)的量等相適用�？�

于? ? D 0，連方續(xù)程可化為簡 ⑵， 對不于壓可縮體流，D t

idv ?v0

D?

?? div v? 0為因 tD

*表對明不壓可流，體體積在隨運動中體保不持。變用適定常于 不或定常流。體

微分式形的動運方

程

動運程方流是體動運最的本基運的動原學，即理找 流體出運動它受和到的作用之力間關(guān)系的數(shù)的學表 達式，依的理據(jù)原理是論頓牛運動定律或動量定理，的下面 用歐拉法利式形立建微形分的運式動程方

。

作用于體的力流

分析象：對 流體以界中面? 圍包的體為

積體的作流用力表 力

面

?

流體的塊

質(zhì)

量

力

質(zhì)量

力量質(zhì)（力力體：是指）作用所有流體于質(zhì)點力。的

如

重、萬有引力等力

（ 。 ）質(zhì)1力量長是力：它隨相程作互用的素之元間距的離 的增而加減，對小一般于體的特流征動距離運言而均，能 示出顯。 來（2 ）它是一分布力，分布種于體流的塊個整積內(nèi)體流 ，塊所受的體質(zhì)力與其量圍周有其無流體他存在無關(guān)系并 通。常情下，作用況流于的質(zhì)量體通常力就指重力是

。

? 如果

F 示表單質(zhì)量位的體的質(zhì)量流，規(guī)定其力為 ：?F? ? Fli m?m ?0 ? ?m m?的 體塊流的質(zhì)上量力。 其 中? ?F 是作用質(zhì)在為 ?量 難看出，不 F以可看做的分布力密度。例

：如對于處力重用作的物體而言質(zhì)，量力的布密分度 或者說單?位質(zhì)的流體的質(zhì)量量就力是重加速力 g度 。

表面 表力力面是指流：體內(nèi)之間或者部流與其他體物體之 間的接面上所受到觸的相作互用力 。如流體部內(nèi)粘性應的和力力壓流、與固體體觸面接 上的摩擦力等 （。1 ）面力表一是種程力短源：分子于間的相作用互。面表力 隨互作用元相之間素的離距增而迅速加弱減，有在只 相作用互素元間距離的分子與離距量同時，級面力表顯才 現(xiàn)出來 （ 。2流體）塊各內(nèi)部之間的分面表力相是作用而相互抵消 的，互有只處界面于上的流體質(zhì)所受的點由，界面外流體側(cè)所 施加表的面存在力。 （ 3）面力表也一是分布力種，布分在相互觸的接面上。

界

義定位單積面的上面表力：為

?

其中 ?p? 是用作某于個體面流積?上 的?表力

面? p

?p ? li m? ?0??

?質(zhì)

力量表和面的比力

較數(shù)

因而，構(gòu)成一個矢量了場

。 矢量?F 是質(zhì)量力 分布的度密它，是間和空間時點的

函量質(zhì)力和面表有力著質(zhì)本差別。的

? 而

矢量p 為流體的力應，矢它不但時是和空間點間 函數(shù)，的并在且間每空一還點著隨受力面元取向不同而變的化 ? 。 所?要以定應力矢 p 確，須考慮必點的矢 徑 、r該受點力 n? 元面的方（向或說者元的面向單法位矢） 以時間及 。t ? ? 切確地應說力是兩矢個量（矢r n、） 一和標個量函數(shù) t。

在運

流動體選中取小一面六體體， 元 其z長邊別分為 ?：x ,?y ?z, 據(jù)牛頓第根定律二：

?

zd ?V? ?xy ?z =質(zhì)力量+面表 力d

x

?y

tx?

y

為

了出流導體的動方運，首程來分先析體小元受力的情況。

方x質(zhì)量向力析分x方向的

量力質(zhì)

? F? mx? F x ?? x ?y? z

x 向表方力分析面周

流體圍對體小元的個表六有面面表力的.作用，通而六個 側(cè)面過用作小于體沿元 x方

向的面表力別為：分

x?

?

xy??

p?zxx

? xp?xyz?

p

x

xp?x x? ? p ?? ??y?x zx 前后x側(cè)面： ?? ?x?

? xp ?x?y?z x小體所元的受方向的表x力面= 前側(cè)后面之和：? x

?

py x?? 左右側(cè)： ?面? p y x? ? y y?? ?? ?z ?x ?

p

?yx x??z

p?xz ?? z? ??x?y 下上面?zhèn)龋??p x ?z?z ? ?

p ?z?x?x

y

此因，圍流周體通六個側(cè)面過用作于小體沿元x向的 方表面力力合：為

? ?px x?p xy?p zx? ? ? ?x ?y?? ? z ??x???yz? ?

x

方 合向力析

分據(jù)牛運動定頓：小體律元力等受于其質(zhì)量加速與度的乘：

積?

?pxx p ?x y?zp x?d u ? ??xy?? ?z xF??x ??y ? z? ?? x???y ?z? d t ?y ?z ?? ?x方程可

簡以化為

：du1 ? ? px x p y? x?zxp ? ? F?x? ? ? ? ?td? ? ? ?xy?z ?

?單位質(zhì)量體流 在 x方的向動運程方

同理

可：得

vd1 ? p? yx? py y?p yz? ??F y?? ? ? ?dt? ? x? y ?? z??

位單量質(zhì)流體 y在 向的運動方程方d

1w? ?pxz ?p yz ? zzp? ?? Fz ? ? ?? ?d ?t? x? ? ?zy ??

單質(zhì)位量體流 z在方 向的動方程

運流

體運方程的動遍形式

普矢量

形式

??? ? ? ? ?p z pd 1 V?? p x ?F?y? ? ? ? dt ??? x? y z?

? ? ? ?

? ?

1 dV 者：或 F?? ? ?P dt ?

??? ? ? ?P? ? ?? ?x? y ? z ??

?

xp pxy pxzx ? ?? ? px ypyy py ? ?z? ?pzx zy ppzz

?

微分形的能量方程式

能

量恒守定律自然界的普是規(guī)遍，流律體運在過動程 1動能、程方 也是遵循該定律。 中、2流量方熱 程立孤系（與統(tǒng)外沒有界質(zhì)量能量的交換）、流：體在運 動過可程以隨著各伴形式的種能量之的間相轉(zhuǎn)互換，但3、伯努 利方 總能量起不變的； 程是

孤非系立統(tǒng)：能量的變總化，于外等力包（質(zhì)量括 力和系外部的表面統(tǒng)）對系力所統(tǒng)的做和所吸功的收量。熱

統(tǒng)系能的量

對

于量，主能要指為種形式三內(nèi)能、：動能重力勢能。

單及質(zhì)位的量能-內(nèi)----e-：體流子分熱運動而具有能量； 的位質(zhì)單量動能-的-----v/2表示2單位 質(zhì)量重力的勢---能---gz-由：萬有力引起與，位的置高有差關(guān)

；單

位質(zhì)量的能量總（儲能）存------e-s： 則體為?的流體積系統(tǒng)的量能E:

1

2 s ?ee ?v ? g z2

1

2 E? ? ?e sd ?? ? ?(e? v ?gz )d?? ? 2

力熱第學定一

對理于一靜個止熱的力學系（統(tǒng)起始或和止狀態(tài)終處靜于的止系統(tǒng)：系 統(tǒng)）存能儲的增加等于力對外系所統(tǒng)作的功與界外遞傳給統(tǒng)系的量熱和之。

一個確

的流定體也可看作團一熱個力系統(tǒng)學流體，

質(zhì)點在總流中動設(shè)， 系該統(tǒng)偏離平態(tài)衡不遠系：總能量的變化統(tǒng)率包（括能和內(nèi)動）等于外力能系 對統(tǒng)的功作率功通與過熱向系導統(tǒng)傳的熱功之和率。

于某對系統(tǒng)，單一時位對間統(tǒng)所系的功（作際上實就 是功）率 d用

td

W

表

，單位時間示給系統(tǒng)的熱量加 Q用表，則示

系統(tǒng)

能 量E變的化率為 :

D E dW ?? Q t Dt

d系統(tǒng)的總在量能，中已考慮位單質(zhì)量重力的能，則質(zhì)勢 力量作功率中功不將包括重力作功功率 。將熱力第一定律應學于流體用運動把上式各項，用關(guān)的有流 物理體表示量出，即是來能量方程。

推導微分式形的量方程能的思路：根據(jù)熱學力第一律定系統(tǒng)能量 的，變率化等外力單于時位對系間所統(tǒng)的作功與通熱傳導向系過單位統(tǒng)時

間所的熱量傳之。和即 : 單位 間時系統(tǒng)量的能化變= 單位間時力對外統(tǒng)所系的作

+ 單功時間位界傳遞給系外統(tǒng)熱的量

外力

對統(tǒng)系作的功=所質(zhì) 力所量作的+表面力功所的功作外界

遞傳給系的統(tǒng)量熱= 導熱傳+射熱輻 下面有關(guān)用的流體物的量來表達上理各述項。

①

單時間系統(tǒng)位能的量化 方法 1

?變( ?u x ? ( ? ) yu ? ()? zu) ? ? ??? ?0 x ??y z ??

t微

元系統(tǒng)能量的時間變化也分為兩率部分，一部分是控體制內(nèi)儲存能 變的化，其單位時間變化的為率

?

(?e s ) d x d y dz ?t另一

分部為控制面遷移經(jīng)能量的引起，的位時間經(jīng)單全控制部面凈出流的儲存 能為

?

??? ?( ? e ) ?u ?(ve ) ? ( ?w e) s ss?d d yxd ? ?x zy ?z??

?

這

微樣系統(tǒng)總元儲的能的存時變間率化這為部分兩和之

：

?D E ?? ? ? ?? (?? s e )? ?(us ) ? e( ?ves) ? ( ?w e s?)d x d y d zD t? ?t ?x? y? z ?? ??? ?? ( ?es ) ?iv( ?d es v)?d x d y z d ?t ??? ? ?? ?? ?( ?e s ) ?(v ?? ) ?e(s) ??sedivv ? d x d d zy? ?t ? ? ?D ?? ? (? s e ) ??sed iv ? d xv dy z d D? t? ? ??D ? Ds ? ?? ? es ? ?es eivdv ? d x d ydz D t ?t ?D ?? ? ?D esD? ?? ? es ? ?( dvi v )? dx y dd zDt ? D t ?De ?s d ?dxy z dDt

①單

位間系統(tǒng)能時量的化 方變 法 體2數(shù) 導 在:t 時 刻微六面元系體統(tǒng)的存能儲 ?e

sd

xd y z ，d系統(tǒng)能其量的

隨D

s De EDD ?( ?e sxdddzy ) ? ?ddyxzd? es ( d?dxdy )zDt D tDt D t Dse?? d xd dy z系統(tǒng)質(zhì)量的隨 體數(shù) D導

t于由統(tǒng)系量的隨體導數(shù)等質(zhì)于。零

0es

D

( ? xdydz ) ?d 0D

t計②算力外微對元所作的 功括質(zhì)量力包表與面力作所功的

單位時間。質(zhì)內(nèi)量所作的力為

功

??Fb1 ? dv x d y d

（z為么什是積點

）表力所作面功的將依各，應力分量分別計。算 x方

向的應單位時間力作所功

為

后面前壓的力單時位間所內(nèi)的作功

? ? ??p xx?u ? ? p? ?d x u d ? ? x p u??? x x d? dy ??z x x? x? ?x ?? ??

左右?面切的單力時位內(nèi)間作的所

功??

p yx? ? ?? ?? d uy ?? u ? d y ?? p yux? d z xd?? p y x ? ?y y ?? ??? ?? 上

面的下力切單位間內(nèi)時所作功的

??? ?px ?z ?u ? ?p d?zu dz? ? puzx d?dy x?? ??? x z?z ?z ?? ????

方向x的應單位力時間作所功為 后前壓力面

左面右力切

?? ? pyx? ? ?u ? ??? px?x ? ?? u?? ? ?pxx ?? xd x? ? u ? ?x x ? d? xpux ? dy d z ?? ?p y x? ?yd y? u ? ?y? d y ?? pyx u? d d z ?x ? ?? ? ? ????? ? ? ?p? ??? u ?? ??? zx ? zx dpz ??u ? d z ? ? p zux ?d xd y上下切力面 z? ?? ?z ? ? ?

??

?u ? px yp ?xy? u? ??u px? ?pxx ?xu ?? ?pxx ? u d ? ?x xd d yd z? p ?x y ?? udy ? xddy dz?x ? x? ?y y ?? ? ? xx ? ??y y? ?p u ? ? ?? ?p ? ?upz x ?zxu ?z xd z d ? dxy d ?z zz ??? z ??

z

? py x?u?? ? xp x?u p?x ?u z?? ?? (?px u x ?) (p xuy )? pzx( )u ?d ? dy?x zd?d d x d z y?y ? zx ?? xy ?y? ?z? z? ? x? ??? ? ??? (pxxu ) ? ( pyu x) ? (pzx u ) ? xdd d yz? y? ? z? x

?什么等于0為

同， y理 向應的力功作

為??

??? ? ? ( xpyxv ) ?y?( p y vy)? ?z (pyzv) ? d dx dy z?? 同理， z

向的 應作力功為

? ? ??? ? x ? (xzpw) ? ?y ( yz p)w? ? (z pzzw) ? d xd y dz ?

?

將

部全表力所面功作相可加寫為

??? ? ? ?? ? ?? ( p )u ?( p ) ?u p u( )dxdy z ?d( v p)? (pv ) (?p v d x) dydz ? y xz xx yy yyz ?x ?xx? ?? y ?z ?y? ?z ? ? ?? x ?? ? ?? ?( p w ) ( ?pw )? ( p w ) z yzz? ? x z ?xdxd yd z? ? zy ?

?? ? ? ? ? ??( p xx ?u xp v y?pxz w )?( p xuy p yy?v ?p y zw ) ? pz(u ? xp zy v p?zz w )? dxddyz y?? z ??x? ?? ? ? ?? (p x ??v ) ? p (y? v) ? ( z p? )v d?x d yd ?zy ? ?z ?x ?這樣

對微元，六面，質(zhì)體力量除（重去）和表力力面單在位時間共的功作

為

W d? ?? ? ??? ?? ?? ? ?? ? ?F ?bv ? (p x v?) ?p(y ? v ) (p ?z? v ?)d x y d zdd tx? ?y ?z? ?

③后最計算加給微元六面體再熱量 的里計這的只是算射輻及熱傳導兩種熱 。輻熱射通是電過磁波對體產(chǎn)流熱量，設(shè)單生時 位

間內(nèi)由輻傳入單射位量質(zhì) 體的熱流量q，為單位則時間在內(nèi)微元產(chǎn)內(nèi)輻射生為

熱?

d qx dy d

z導傳熱通過體表流面入傳體流。ABD面元C傳微元入熱量的

為?k

?T dyd z?x

單時間內(nèi)通位A過?B? ?C?面元D傳微入元的量熱

?為 T ?? ? T? k dy d ?z?k y d dz d? x?x ? x ?? x?

于

單位是間經(jīng)時BCA、 AD? B?C D?兩面共?傳熱量入

為? ?T?? kdy d z ?d ?x ?x? ? x

?AA ?D? 、 DB ? C?C 兩相B對元面位單間傳入時熱量

? 為? ?? T? ? k zd d dyx ? ??y? ? y?

?AA BB ?D、?DC?兩相對面元C位單時間傳熱入量

為

? ??T ? d dx yd z ?k ?? z? z?

?

因而

微元體經(jīng)全部表，單面時間傳入位微元的量為

熱 ?? ??T ? ? ? T?? ? ? ? ??T? k? ?k ? ? ??? xdd d z ? yk? ? ?? ?x ?? ?x y ? ?? ? yz?? ?z ? ??? ? (k?T) d x dy d

zQ

? [? q ??? (k ?T ) ]dx d yd z 依熱力學第一

律定

?D ? ? ? ??? es xdd y d z ? ? F? b1? v? ( px ? v ) t Dx?? ? ? ? ??? ? (p? y ? v)? (pz ? v) ? ?q ? ?? k(T )?? d x d dy z y ?z? ?

D ? ? ? ? e

s? Fb?1?V ? p x (?V ) ? p( ? y )V? (p z ? V )? ? q ? ? (k?? T ) t ?xD y? ?

z?

p x? V ?pxx u ? pxyv ?p xzw ?? p? y V ? ?p xy u? p yy v?p y zw ? ?p? ?z V pz?x u?pzy v ?p z wz上式

右三個量組成端一個了量矢以表并示

?

xp ?xp ? V ? ? p x ?y pz x?

pyxp y ypzy

p

x z? u ?? ?pxxu ? pyxv ? pz x w ? ?? ? ?? zyp ? v? ?? ? p xuy? p yyv ? py wz ? p? ?up v?p w?? ? p z ?zw ? ?? ? x zz yzz?

三個量 和之

? ? ? ??? ? ? (p x? ? )v ?p y( ?v ?) p (z? v )構(gòu) 成散了度：? x?y ?

?z ? ? ??? ?? ? ? p( x? v) ? ( yp ? v ) (p?z ? ) v div?P( ? )v?x ? y z

?D

?D1 2 ?? s ? e ?e? v ? g z ?? Dt t ?D 2 ?? ?? ?F?b1 ? ? vid(v P v? )? d v(i kgrad T ? ?)

這就是q微分式的形能方量。

將程上式以除?，有

?

1 ?1 D s ? Fbe 1 ? v? di vP( ? v ) ? dv(i krgd aT ? q Dt)? ?

?1 ? 1 D es ?F b 1 v ? div(? ? v P )? dvik( gar T ) ?d qDt ??

式中各的項理物意：義 端左單位為質(zhì)量體流存儲（能包括能、內(nèi)動量勢及）能的化變；率

右端一項第為單位間內(nèi)質(zhì)時量（力除重去力）單位質(zhì)對流體量作所 ；功 二項為單位時第內(nèi)表面力間單位對質(zhì)量流所作體功； 的第項三為單時間內(nèi)位界通外過單質(zhì)量位流體表面?zhèn)魅氲膫鳠幔瑢?/p>

四項第為位單間內(nèi)時加

給單位質(zhì)流體量的射輻。熱