高中集合的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的整理

　　導(dǎo)語：高中數(shù)學(xué)中集合是一個(gè)個(gè)�？嫉闹�識(shí)點(diǎn)嗎，也是我們高考中必得分的知識(shí)點(diǎn)，下面是小編為大家整理的高中數(shù)學(xué)集合的知識(shí)點(diǎn)整理。歡迎閱讀，僅供參考，更多相關(guān)的知識(shí)，請(qǐng)關(guān)注CNFLA學(xué)習(xí)網(wǎng)的

　　高中集合的知識(shí)點(diǎn)歸納：

　　一、集合與簡易邏輯

　　1.集合的元素具有確定性、無序性和互異性.

　　2.對(duì)集合 ， 時(shí)，必須注意到“極端”情況： 或 ;求集合的子集時(shí)是否注意到 是任何集合的子集、 是任何非空集合的真子集.

　　3.對(duì)于含有 個(gè)元素的有限集合 ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個(gè)數(shù)依次為

　　4.“交的補(bǔ)等于補(bǔ)的并，即 ”;“并的補(bǔ)等于補(bǔ)的交，即 ”.

　　5.判斷命題的真假 關(guān)鍵是“抓住關(guān)聯(lián)字詞”;注意：“不‘或’即‘且’，不‘且’即‘或’”.

　　6.“或命題”的真假特點(diǎn)是“一真即真，要假全假”;“且命題”的真假特點(diǎn)是“一假即假，要真全真”;“非命題”的真假特點(diǎn)是“一真一假”.

　　7.四種命題中“‘逆’者‘交換’也”、“‘否’者‘否定’也”.

　　原命題等價(jià)于逆否命題，但原命題與逆命題、否命題都不等價(jià).反證法分為三步：假設(shè)、推矛、得果.

　　注意：命題的否定是“命題的非命題，也就是‘條件不變，僅否定結(jié)論’所得命題”，但否命題是“既否定原命題的條件作為條件，又否定原命題的結(jié)論作為結(jié)論的所得命題” ?.

　　8.充要條件

　　二、函 數(shù)

　　1.指數(shù)式、對(duì)數(shù)式，

　　2.(1)映射是“‘全部射出’加‘一箭一雕’”;映射中第一個(gè)集合 中的元素必有像，但第二個(gè)集合 中的元素不一定有原像( 中元素的像有且僅有下一個(gè)，但 中元素的原像可能沒有，也可任意個(gè));函數(shù)是“非空數(shù)集上的映射”，其中“值域是映射中像集 的子集”.

　　(2)函數(shù)圖像與 軸垂線至多一個(gè)公共點(diǎn)，但與 軸垂線的公共點(diǎn)可能沒有，也可任意個(gè).

　　(3)函數(shù)圖像一定是坐標(biāo)系中的曲線，但坐標(biāo)系中的曲線不一定能成為函數(shù)圖像.

　　3.單調(diào)性和奇偶性

　　(1)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同.

　　偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反.

　　注意：(1)確定函數(shù)的奇偶性，務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.確定函數(shù)奇偶性的常用方法有：定義法、圖像法等等.對(duì)于偶函數(shù)而言有： .

　　(2)若奇函數(shù)定義域中有0，則必有 .即 的定義域時(shí)， 是 為奇函數(shù)的必要非充分條件.

　　(3)確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間，在解答題中常用：定義法(取值、作差、鑒定)、導(dǎo)數(shù)法;在選擇、填空題中還有：數(shù)形結(jié)合法(圖像法)、特殊值法等等.

　　(4)既奇又偶函數(shù)有無窮多個(gè)( ，定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的任意一個(gè)數(shù)集).

　　(7)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性特點(diǎn)是：“同性得增，增必同性;異性得減，減必異性”.

　　復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點(diǎn)是：“內(nèi)偶則偶

　　，內(nèi)奇同外”.復(fù)合函數(shù)要考慮定義域的變化。(即復(fù)合有意義)

　　4.對(duì)稱性與周期性(以下結(jié)論要消化吸收，不可強(qiáng)記)

　　(1)函數(shù) 與函數(shù) 的圖像關(guān)于直線 ( 軸)對(duì)稱.

　　推廣一：如果函數(shù) 對(duì)于一切 ，都有 成立，那么 的圖像關(guān)于直線 (由“ 和的一半 確定”)對(duì)稱.

　　推廣二：函數(shù) ， 的圖像關(guān)于直線 (由 確定)對(duì)稱.

　　(2)函數(shù) 與函數(shù) 的圖像關(guān)于直線 ( 軸)對(duì)稱.

　　(3)函數(shù) 與函數(shù) 的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對(duì)稱.

　　推廣：曲線 關(guān)于直線 的對(duì)稱曲線是 ;

　　曲線 關(guān)于直線 的對(duì)稱曲線是 .

　　(5)類比“三角函數(shù)圖像”得：若 圖像有兩條對(duì)稱軸 ，則 必是周期函數(shù)，且一周期為 .

　　如果 是R上的周期函數(shù)，且一個(gè)周期為 ，那么 .

　　特別：若 恒成立，則 .若 恒成立，則 .若 恒成立，則 .

　　三、數(shù) 列

　　1.數(shù)列的通項(xiàng)、數(shù)列項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，遞推公式與遞推數(shù)列，數(shù)列的通項(xiàng)與數(shù)列的前 項(xiàng)和公式的關(guān)系： (必要時(shí)請(qǐng)分類討論).

　　注意： ; .

　　2.等差數(shù)列 中：

　　(1)等差數(shù)列公差的取值與等差數(shù)列的單調(diào)性.

　　(2) ; .

　　(3) 、 也成等差數(shù)列.

　　(4)兩等差數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)和(差)組成的新數(shù)列仍成等差數(shù)列.

　　(5) 仍成等差數(shù)列.

　　(8)“首正”的遞等差數(shù)列中，前 項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和;

　　“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前 項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和;

　　(9)有限等差數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的存在必然聯(lián)系，由數(shù)列的總項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)還是奇數(shù)決定.若總項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，則“偶數(shù)項(xiàng)和”-“奇數(shù)項(xiàng)和”=總項(xiàng)數(shù)的一半與其公差的積;若總項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，則“奇數(shù)項(xiàng)和”-“偶數(shù)項(xiàng)和”=此數(shù)列的中項(xiàng).

　　(10)兩數(shù)的等差中項(xiàng)惟一存在.在遇到三數(shù)或四數(shù)成等差數(shù)列時(shí)，常考慮選用“中項(xiàng)關(guān)系”轉(zhuǎn)化求解.

　　(11)判定數(shù)列是否是等差數(shù)列的主要方法有：定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)法、和式法、圖像法(也就是說數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件主要有這五種形式).

　　3.等比數(shù)列 中：

　　(1)等比數(shù)列的符號(hào)特征(全正或全負(fù)或一正一負(fù))，等比數(shù)列的首項(xiàng)、公比與等比數(shù)列的單調(diào)性.

　　(3) 、 、 成等比數(shù)列; 成等比數(shù)列 成等比數(shù)列.

　　(4)兩等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)積(商)組成的新數(shù)列仍成等比數(shù)列.

　　(8)“首大于1”的正值遞減等比數(shù)列中，前 項(xiàng)積的最大值是所有大于或等于1的項(xiàng)的積;“首小于1”的正值遞增等比數(shù)列中，前 項(xiàng)積的最小值是所有小于或等于1的項(xiàng)的積;

　　(9)有限等比數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的存在必然聯(lián)系，由數(shù)列的總項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)還是奇數(shù)決定.若總項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，則“偶數(shù)項(xiàng)和”=“奇數(shù)項(xiàng)和”與

　　“公比”的積;若總項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，則“奇數(shù)項(xiàng)和”=“首項(xiàng)”加上“公比”與“偶數(shù)項(xiàng)和”積的和.

　　(10)并非任何兩數(shù)總有等比中項(xiàng).僅當(dāng)實(shí)數(shù) 同號(hào)時(shí)，實(shí)數(shù) 存在等比中項(xiàng).對(duì)同號(hào)兩實(shí)數(shù) 的等比中項(xiàng)不僅存在，而且有一對(duì) .也就是說，兩實(shí)數(shù)要么沒有等比中項(xiàng)(非同號(hào)時(shí))，如果有，必有一對(duì)(同號(hào)時(shí)).在遇到三數(shù)或四數(shù)成等差數(shù)列時(shí)，常優(yōu)先考慮選用“中項(xiàng)關(guān)系”轉(zhuǎn)化求解.

　　(11)判定數(shù)列是否是等比數(shù)列的方法主要有：定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)法、和式法(也就是說數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件主要有這四種形式).

　　4.等差數(shù)列與等比數(shù)列的聯(lián)系

　　(1)如果數(shù)列 成等差數(shù)列，那么數(shù)列 ( 總有意義)必成等比數(shù)列.

　　(2)如果數(shù)列 成等比數(shù)列，那么數(shù)列 必成等差數(shù)列.

　　(3)如果數(shù)列 既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列 是非零常數(shù)數(shù)列;但數(shù)列 是常數(shù)數(shù)列僅是數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件.

　　(4)如果兩等差數(shù)列有公共項(xiàng)，那么由他們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù).

　　如果一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列有公共項(xiàng)順次組成新數(shù)列，那么常選用“由特殊到一般的方法”進(jìn)行研討，且以其等比數(shù)列的項(xiàng)為主，探求等比數(shù)列中那些項(xiàng)是他們的公共項(xiàng)，并構(gòu)成新的數(shù)列.

　　注意：(1)公共項(xiàng)僅是公共的項(xiàng)，其項(xiàng)數(shù)不一定相同，即研究 .但也有少數(shù)問題中研究 ，這時(shí)既要求項(xiàng)相同，也要求項(xiàng)數(shù)相同.(2)三(四)個(gè)數(shù)成等差(比)的中項(xiàng)轉(zhuǎn)化和通項(xiàng)轉(zhuǎn)化法.

　　5.數(shù)列求和的常用方法：

　　(1)公式法：①等差數(shù)列求和公式(三種形式)，

　�、诘缺葦�(shù)列求和公式(三種形式)，

　　(2)分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和.

　　(3)倒序相加法：在數(shù)列求和中，若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則�？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和(這也是等差數(shù)列前 和公式的推導(dǎo)方法).

　　(4)錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯(cuò)位相減法，將其和轉(zhuǎn)化為“一個(gè)新的的等比數(shù)列的和”求解(注意：一般錯(cuò)位相減后，其中“新等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是原數(shù)列的項(xiàng)數(shù)減一的差”!)(這也是等比數(shù)列前 和公式的推導(dǎo)方法之一).

　　(5)裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和.常用裂項(xiàng)形式有：

　　特別聲明：?運(yùn)用

　　等比數(shù)列求和公式，務(wù)必檢查其公比與1的關(guān)系，必要時(shí)分類討論.

　　(6)通項(xiàng)轉(zhuǎn)換法。

　　四、三角函數(shù)

　　1. 終邊與 終邊相同( 的終邊在 終邊所在射線上) .

　　終邊與 終邊共線( 的終邊在 終邊所在直線上) .

　　終邊與 終邊關(guān)于 軸對(duì)稱 .

　　終邊與 終邊關(guān)于 軸對(duì)稱 .

　　終邊與 終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 .

　　一般地： 終邊與 終邊關(guān)于角 的終邊對(duì)稱 .

　　與 的終邊關(guān)系由“兩等分各象限、一二三四”確定.

　　2.弧長公式： ，扇形面積公式： ，1弧度(1rad) .

　　3.三角函數(shù)符號(hào)特征是：一是全正、二正弦正、三是切正、四余弦正.

　　注意： ，

　　4.三角函數(shù)線的特征是：正弦線“站在 軸上(起點(diǎn)在 軸上)”、余弦線“躺在 軸上(起點(diǎn)是原點(diǎn))”、正切線“站在點(diǎn) 處(起點(diǎn)是 )”.務(wù)必重視“三角函數(shù)值的大小與單位圓上相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，‘正弦’ ‘縱坐標(biāo)’、‘余弦’ ‘橫坐標(biāo)’、‘正切’ ‘縱坐標(biāo)除以橫坐標(biāo)之商’”;務(wù)必記�。簡挝粓A中角終邊的變化與 值的大小變化的關(guān)系. 為銳角 .

　　5.三角函數(shù)同角關(guān)系中，平方關(guān)系的運(yùn)用中，務(wù)必重視“根據(jù)已知角的范圍和三角函數(shù)的取值，精確確定角的范圍，并進(jìn)行定號(hào)”;

　　6.三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的本質(zhì)是：奇變偶不變，符號(hào)看象限.

　　7.三角函數(shù)變換主要是：角、函數(shù)名、次數(shù)、系數(shù)(常值)的變換，其核心是“角的變換”!

　　角的變換主要有：已知角與特殊角的變換、已知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換.

　　常值變換主要指“1”的變換：

　　等.

　　三角式變換主要有：三角函數(shù)名互化(切割化弦)、三角函數(shù)次數(shù)的降升(降次、升次)、運(yùn)算結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化(和式與積式的互化).解題時(shí)本著“三看”的基本原則來進(jìn)行:“看角、看函數(shù)、看特征”,基本的技巧有:巧變角,公式變形使用,化切割為弦,用倍角公式將高次降次.

　　注意：和(差)角的函數(shù)結(jié)構(gòu)與符號(hào)特征;余弦倍角公式的三種形式選用;降次(升次)公式中的符號(hào)特征.“正余弦‘三兄妹— ’的聯(lián)系”(常和三角換元法聯(lián)系在一起 ).

　　輔助角公式中輔助角的確定： (其中 角所在的象限由a, b的符號(hào)確定， 角的值由 確定)在求最值、化簡時(shí)起著重要作用.尤其是兩者系數(shù)絕對(duì)值之比為 的情形. 有實(shí)數(shù)解 .

　　8.三角函數(shù)性質(zhì)、圖像及其變換：

　　(1)三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性

　　注意：正切函數(shù)、余切函數(shù)的定義域;絕對(duì)值對(duì)三角函數(shù)周期性的影響：一般說來，某一周期函數(shù)解析式加絕對(duì)值或平方，其周期性是：弦減半、切不變.既為周期函數(shù)又是偶

　　函數(shù)的函數(shù)自變量加絕對(duì)值，其周期性不變;其他不定.如 的周期都是 , 但 的周期為 ， y=|tanx|的周期不變，問函數(shù)y=cos|x|, ，y=cos|x|是周期函數(shù)嗎?

　　(2)三角函數(shù)圖像及其幾何性質(zhì)：

　　(3)三角函數(shù)圖像的變換：兩軸方向的平移、伸縮及其向量的平移變換.

　　(4)三角函數(shù)圖像的作法：三角函數(shù)線法、五點(diǎn)法(五點(diǎn)橫坐標(biāo)成等差數(shù)列)和變換法.

　　9.三角形中的三角函數(shù)：

　　(1)內(nèi)角和定理：三角形三角和為 ，任意兩角和與第三個(gè)角總互補(bǔ)，任意兩半角和與第三個(gè)角的半角總互余.銳角三角形 三內(nèi)角都是銳角 三內(nèi)角的余弦值為正值 任兩角和都是鈍角 任意兩邊的平方和大于第三邊的平方.

　　(2)正弦定理： (R為三角形外接圓的半徑).

　　注意：已知三角形兩邊一對(duì)角，求解三角形時(shí)，若運(yùn)用正弦定理，則務(wù)必注意可能有兩解.

　　(3)余弦定理： 等，常選用余弦定理鑒定三角形的類型.

　　(4)面積公式： .

　　五、向 量

　　1.向量運(yùn)算的幾何形式和坐標(biāo)形式，請(qǐng)注意：向量運(yùn)算中向量起點(diǎn)、終點(diǎn)及其坐標(biāo)的特征.

　　2.幾個(gè)概念：零向量、單位向量(與 共線的單位向量是 ，特別： )、平行(共線)向量(無傳遞性，是因?yàn)橛?)、相等向量(有傳遞性)、相反向量、向量垂直、以及一個(gè)向量在另一向量方向上的投影( 在 上的投影是 ).

　　3.兩非零向量平行(共線)的充要條件

　　.

　　兩個(gè)非零向量垂直的充要條件

　　.

　　特別：零向量和任何向量共線. 是向量平行的充分不必要條件!

　　4.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) 、 ，使a= e1+ e2.

　　5.三點(diǎn) 共線 共線;

　　向量 中三終點(diǎn) 共線 存在實(shí)數(shù) 使得： 且 .

　　6.向量的數(shù)量積： ， ，

　　，

　　.

　　注意： 為銳角 且 不同向;

　　為直角 且 ;

　　為鈍角 且 不反向;

　　是 為鈍角的必要非充分條件.

　　向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別：一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，這是題目中的天然條件，要注意運(yùn)用;對(duì)于一個(gè)向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊平方、兩邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù)，兩邊同時(shí)取模，兩邊同乘以一個(gè)向量，但不能兩邊同除以一個(gè)向量，即兩邊不能約去一個(gè)向量;向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即 ，切記兩向量不能相除(相約).

　　7.

　　注意： 同向或有 ;

　　反向或有 ;

　　不共線 .(這些和實(shí)數(shù)集中類似)

　　8.中點(diǎn)坐標(biāo)公式 ， 為 的中點(diǎn).

　　中， 過 邊中點(diǎn); ;

　　. 為 的重心;

　　特別 為 的重心.

　　為 的垂心;

　　所在直線過 的內(nèi)心(是 的角平分線所在直線);

　　的內(nèi)心.

　　.

　　六

　　、不等式

　　1.(1)解不等式是求不等式的解集，最后務(wù)必有集合的形式表示;不等式解集的端點(diǎn)值往往是不等式對(duì)應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點(diǎn)值.

　　(2)解分式不等式 的一般解題思路是什么?(移項(xiàng)通分，分子分母分解因式，x的系數(shù)變?yōu)檎�值，�?biāo)根及奇穿過偶彈回);

　　(3)含有兩個(gè)絕對(duì)值的不等式如何去絕對(duì)值?(一般是根據(jù)定義分類討論、平方轉(zhuǎn)化或換元轉(zhuǎn)化);

　　(4)解含參不等式常分類等價(jià)轉(zhuǎn)化，必要時(shí)需分類討論.注意：按參數(shù)討論，最后按參數(shù)取值分別說明其解集，但若按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集.

　　2.利用重要不等式 以及變式 等求函數(shù)的最值時(shí)，務(wù)必注意a，b (或a ，b非負(fù))，且“等號(hào)成立”時(shí)的條件是積ab或和a+b其中之一應(yīng)是定值(一正二定三等四同時(shí)).

　　3.常用不等式有： (根據(jù)目標(biāo)不等式左右的運(yùn)算結(jié)構(gòu)選用)

　　a、b、c R， (當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，取等號(hào))

　　4.比較大小的方法和證明不等式的方法主要有：差比較法、商比較法、函數(shù)性質(zhì)法、綜合法、分析法

　　5.含絕對(duì)值不等式的性質(zhì)：

　　同號(hào)或有 ;

　　異號(hào)或有 .

　　注意：不等式恒成立問題的常規(guī)處理方式?(常應(yīng)用方程函數(shù)思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題).

　　6.不等式的恒成立,能成立,恰成立等問題

　　(1).恒成立問題

　　若不等式 在區(qū)間 上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間 上

　　若不等式 在區(qū)間 上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間 上

　　(2).能成立問題

　　若在區(qū)間 上存在實(shí)數(shù) 使不等式 成立,即 在區(qū)間 上能成立, ,則等價(jià)于在區(qū)間 上

　　若在區(qū)間 上存在實(shí)數(shù) 使不等式 成立,即 在區(qū)間 上能成立, ,則等價(jià)于在區(qū)間 上的 .

　　(3).恰成立問題

　　若不等式 在區(qū)間 上恰成立, 則等價(jià)于不等式 的解集為 .

　　若不等式 在區(qū)間 上恰成立, 則等價(jià)于不等式 的解集為 ,

　　七、直線和圓

　　1.直線傾斜角與斜率的存在性及其取值范圍;直線方向向量的意義( 或 )及其直線方程的向量式( ( 為直線的方向向量)).應(yīng)用直線方程的點(diǎn)斜式、斜截式設(shè)直線方程時(shí)，一般可設(shè)直線的斜率為k，但你是否注意到直線垂直于x軸時(shí)，即斜率k不存在的情況?

　　2.知直線縱截距 ，常設(shè)其方程為 或 ;知直線橫截距 ，常設(shè)其方程為 (直線斜率k存在時(shí)， 為k的倒數(shù))或 .知直線過點(diǎn) ，常設(shè)其方程為 或 .

　　注意：(1)直線方程的幾種形式：點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截矩式、一般式、向量式.以及各種形式的局限性.(如點(diǎn)斜式不適用于斜率不存在的直線，還有截矩式呢?)

　　與直線 平行的直線可表示為 ;

　　與直線 垂直的直線可表示為 ;

　　過點(diǎn) 與直線 平行的直線可表示為：

　　;

　　過點(diǎn) 與直線

　　垂直的直線可表示為：

　　.

　　(2)直線在坐標(biāo)軸上的截距可正、可負(fù)、也可為0.直線兩截距相等 直線的斜率為-1或直線過原點(diǎn);直線兩截距互為相反數(shù) 直線的斜率為1或直線過原點(diǎn);直線兩截距絕對(duì)值相等 直線的.斜率為 或直線過原點(diǎn).

　　(3)在解析幾何中，研究兩條直線的位置關(guān)系時(shí)，有可能這兩條直線重合，而在立體幾何中一般提到的兩條直線可以理解為它們不重合.

　　3.相交兩直線的夾角和兩直線間的到角是兩個(gè)不同的概念：夾角特指相交兩直線所成的較小角，范圍是 ，而其到角是帶有方向的角，范圍是 .

　　注：點(diǎn)到直線的距離公式

　　.

　　特別： ;

　　;

　　.

　　4.線性規(guī)劃中幾個(gè)概念：約束條件、可行解、可行域、目標(biāo)函數(shù)、最優(yōu)解.

　　5.圓的方程：最簡方程 ;標(biāo)準(zhǔn)方程 ;

　　一般式方程 ;

　　參數(shù)方程 為參數(shù));

　　直徑式方程 .

　　注意：

　　(1)在圓的一般式方程中，圓心坐標(biāo)和半徑分別是 .

　　(2)圓的參數(shù)方程為“三角換元”提供了樣板，常用三角換元有：

　　， ，

　　，

　　.

　　6.解決直線與圓的關(guān)系問題有“函數(shù)方程思想”和“數(shù)形結(jié)合思想”兩種思路，等價(jià)轉(zhuǎn)化求解，重要的是發(fā)揮“圓的平面幾何性質(zhì)(如半徑、半弦長、弦心距構(gòu)成直角三角形，切線長定理、割線定理、弦切角定理等等)的作用!”

　　(1)過圓 上一點(diǎn) 圓的切線方程是： ，

　　過圓 上一點(diǎn) 圓的切線方程是： ，

　　過圓 上一點(diǎn) 圓的切線方程是： .

　　如果點(diǎn) 在圓外，那么上述直線方程表示過點(diǎn) 兩切線上兩切點(diǎn)的“切點(diǎn)弦”方程.

　　如果點(diǎn) 在圓內(nèi)，那么上述直線方程表示與圓相離且垂直于 ( 為圓心)的直線方程， ( 為圓心 到直線的距離).

　　7.曲線 與 的交點(diǎn)坐標(biāo) 方程組 的解;

　　過兩圓 、 交點(diǎn)的圓(公共弦)系為 ，當(dāng)且僅當(dāng)無平方項(xiàng)時(shí)， 為兩圓公共弦所在直線方程.

　　八、圓錐曲線

　　1.圓錐曲線的兩個(gè)定義，及其“括號(hào)”內(nèi)的限制條件，在圓錐曲線問題中，如果涉及到其兩焦點(diǎn)(兩相異定點(diǎn))，那么將優(yōu)先選用圓錐曲線第一定義;如果涉及到其焦點(diǎn)、準(zhǔn)線(一定點(diǎn)和不過該點(diǎn)的一定直線)或離心率，那么將優(yōu)先選用圓錐曲線第二定義;涉及到焦點(diǎn)三角形的問題，也要重視焦半徑和三角形中正余弦定理等幾何性質(zhì)的應(yīng)用.

　　(1)注意：①圓錐曲線第一定義與配方法的綜合運(yùn)用;

　�、趫A錐曲線第二定義是：“點(diǎn)點(diǎn)距為分子、點(diǎn)線距為分母”，橢圓 點(diǎn)點(diǎn)距除以點(diǎn)線距商是小于1的正數(shù)，雙曲線 點(diǎn)點(diǎn)距除以點(diǎn)線距商是大于1的正數(shù)，拋物線 點(diǎn)點(diǎn)距除以點(diǎn)線距商是等于1.③圓錐曲線的焦半徑公式如下圖：

　　2.圓錐曲線的幾何性質(zhì)：圓錐曲線的對(duì)稱性、圓

　　錐曲線的范圍、圓錐曲線的特殊點(diǎn)線、圓錐曲線的變化趨勢.其中 ，橢圓中 、雙曲線中 .

　　重視“特征直角三角形、焦半徑的最值、焦點(diǎn)弦的最值及其‘頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等相互之間與坐標(biāo)系無關(guān)的幾何性質(zhì)’”，尤其是雙曲線中焦半徑最值、焦點(diǎn)弦最值的特點(diǎn).

　　注意：等軸雙曲線的意義和性質(zhì).

　　3.在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題中，有“函數(shù)方程思想”和“數(shù)形結(jié)合思想”兩種思路，等價(jià)轉(zhuǎn)化求解.特別是：

　　①直線與圓錐曲線相交的必要條件是他們構(gòu)成的方程組有實(shí)數(shù)解，當(dāng)出現(xiàn)一元二次方程時(shí)，務(wù)必“判別式≥0”，尤其是在應(yīng)用韋達(dá)定理解決問題時(shí)，必須先有“判別式≥0”.

　�、谥本�與拋物線(相交不一定交于兩點(diǎn))、雙曲線位置關(guān)系(相交的四種情況)的特殊性，應(yīng)謹(jǐn)慎處理.

　　③在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題中，常與“弦”相關(guān)，“平行弦”問題的關(guān)鍵是“斜率”、“中點(diǎn)弦”問題關(guān)鍵是“韋達(dá)定理”或“小小直角三角形”或“點(diǎn)差法”、“長度(弦長)”問題關(guān)鍵是長度(弦長)公式

　　( ， , )或“小小直角三角形”.

　　④如果在一條直線上出現(xiàn)“三個(gè)或三個(gè)以上的點(diǎn)”，那么可選擇應(yīng)用“斜率”為橋梁轉(zhuǎn)化.

　　4.要重視常見的尋求曲線方程的方法(待定系數(shù)法、定義法、直譯法、代點(diǎn)法、參數(shù)法、交軌法、向量法等), 以及如何利用曲線的方程討論曲線的幾何性質(zhì)(定義法、幾何法、代數(shù)法、方程函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想等)，這是解析幾何的兩類基本問題，也是解析幾何的基本出發(fā)點(diǎn).

　　注意：①如果問題中涉及到平面向量知識(shí)，那么應(yīng)從已知向量的特點(diǎn)出發(fā)，考慮選擇向量的幾何形式進(jìn)行“摘帽子或脫靴子”轉(zhuǎn)化，還是選擇向量的代數(shù)形式進(jìn)行“摘帽子或脫靴子”轉(zhuǎn)化.

　�、谇�線與曲線方程、軌跡與軌跡方程是兩個(gè)不同的概念，尋求軌跡或軌跡方程時(shí)應(yīng)注意軌跡上特殊點(diǎn)對(duì)軌跡的“完備性與純粹性”的影響.

　　③在與圓錐曲線相關(guān)的綜合題中，常借助于“平面幾何性質(zhì)”數(shù)形結(jié)合(如角平分線的雙重身份)、“方程與函數(shù)性質(zhì)”化解析幾何問題為代數(shù)問題、“分類討論思想”化整為零分化處理、“求值構(gòu)造等式、求變量范圍構(gòu)造不等關(guān)系”等等.

　　九、直線、平面、簡單多面體

　　1.計(jì)算異面直線所成角的關(guān)鍵是平移(補(bǔ)形)轉(zhuǎn)化為兩直線的夾角計(jì)算

　　2.計(jì)算直線與平面所成的角關(guān)鍵是作面的垂線找射影，或向量法(直線上向量與平面法向量夾角的余角)，三余弦公式(最小角定理， )，或先運(yùn)用等積法求點(diǎn)到直線的距離，后虛擬直角三角形求解.注：一斜線與平面上以

　　斜足為頂點(diǎn)的角的兩邊所成角相等 斜線在平面上射影為角的平分線.

　　3.空間平行垂直關(guān)系的證明，主要依據(jù)相關(guān)定義、公理、定理和空間向量進(jìn)行，請(qǐng)重視線面平行關(guān)系、線面垂直關(guān)系(三垂線定理及其逆定理)的橋梁作用.注意：書寫證明過程需規(guī)范.

　　特別聲明：

　�、僮C明計(jì)算過程中，若有“中點(diǎn)”等特殊點(diǎn)線，則常借助于“中位線、重心”等知識(shí)轉(zhuǎn)化.

　�、谠谧C明計(jì)算過程中常將運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將具體問題轉(zhuǎn)化 (構(gòu)造) 為特殊幾何體(如三棱錐、正方體、長方體、三棱柱、四棱柱等)中問題，并獲得去解決.

　　③如果根據(jù)已知條件，在幾何體中有“三條直線兩兩垂直”，那么往往以此為基礎(chǔ)，建立空間直角坐標(biāo)系，并運(yùn)用空間向量解決問題.

　　4.直棱柱、正棱柱、平行六面體、長方體、正方體、正四面體、棱錐、正棱錐關(guān)于側(cè)棱、側(cè)面、對(duì)角面、平行于底的截面的幾何體性質(zhì).

　　如長方體中：對(duì)角線長 ，棱長總和為 ，全(表)面積為 ，(結(jié)合 可得關(guān)于他們的等量關(guān)系，結(jié)合基本不等式還可建立關(guān)于他們的不等關(guān)系式)， ;

　　如三棱錐中：側(cè)棱長相等(側(cè)棱與底面所成角相等) 頂點(diǎn)在底上射影為底面外心，側(cè)棱兩兩垂直(兩對(duì)對(duì)棱垂直) 頂點(diǎn)在底上射影為底面垂心，斜高長相等(側(cè)面與底面所成相等)且頂點(diǎn)在底上在底面內(nèi) 頂點(diǎn)在底上射影為底面內(nèi)心.

　　如正四面體和正方體中：

　　5.求幾何體體積的常規(guī)方法是：公式法、割補(bǔ)法、等積(轉(zhuǎn)換)法、比例(性質(zhì)轉(zhuǎn)換)法等.注意：補(bǔ)形：三棱錐 三棱柱 平行六面體 分割：三棱柱中三棱錐、四三棱錐、三棱柱的體積關(guān)系是 .

　　6.多面體是由若干個(gè)多邊形圍成的幾何體.棱柱和棱錐是特殊的多面體.

　　正多面體的每個(gè)面都是相同邊數(shù)的正多邊形，以每個(gè)頂點(diǎn)為其一端都有相同數(shù)目的棱，這樣的多面體只有五種， 即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體.

　　9.球體積公式 ，球表面積公式 ，是兩個(gè)關(guān)于球的幾何度量公式.它們都是球半徑及的函數(shù).

　　十、導(dǎo) 數(shù)

　　1.導(dǎo)數(shù)的意義：曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率(幾何意義)、瞬時(shí)速度、邊際成本(成本為因變量、產(chǎn)量為自變量的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)). ， (C為常數(shù))， ， .

　　2.多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性：

　　在一個(gè)區(qū)間上 (個(gè)別點(diǎn)取等號(hào)) 在此區(qū)間上為增函數(shù).

　　在一個(gè)區(qū)間上 (個(gè)別點(diǎn)取等號(hào)) 在此區(qū)間上為減函數(shù).

　　3.導(dǎo)數(shù)與極值、導(dǎo)數(shù)與最值：

　　(1)函數(shù) 在 處有 且“左正右負(fù)” 在 處取極大值;

　　函數(shù) 在 處有 且“左負(fù)右正” 在 處取極小值.

　　注意：①在 處有 是函數(shù) 在 處

　　取極值的必要非充分條件.

　�、谇蠛瘮�(shù)極值的方法：先找定義域，再求導(dǎo)，找出定義域的分界點(diǎn)，列表求出極值.特別是給出函數(shù)極大(小)值的條件，一定要既考慮 ，又要考慮驗(yàn)“左正右負(fù)”(“左負(fù)右正”)的轉(zhuǎn)化，否則條件沒有用完，這一點(diǎn)一定要切記.

　�、蹎握{(diào)性與最值(極值)的研究要注意列表!

　　(2)函數(shù) 在一閉區(qū)間上的最大值是此函數(shù)在此區(qū)間上的極大值與其端點(diǎn)值中的“最大值”;

　　函數(shù) 在一閉區(qū)間上的最小值是此函數(shù)在此區(qū)間上的極小值與其端點(diǎn)值中的“最小值”;

　　注意：利用導(dǎo)數(shù)求最值的步驟：先找定義域 再求出導(dǎo)數(shù)為0及導(dǎo)數(shù)不存在的的點(diǎn)，然后比較定義域的端點(diǎn)值和導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)對(duì)應(yīng)函數(shù)值的大小，其中最大的就是最大值，最小就為最小