平行線及平行公理

教學(xué)建議

　　1、教材分析

　　(1)知識結(jié)構(gòu)

　　本節(jié)從實(shí)例中概括出平行線的概念，給出了平行線的記法和它的畫法，并引出了平行公理及其推論．

　　(2)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

　　本節(jié)的重點(diǎn)是：平行公理及其推論．承認(rèn)“經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行”的幾何是歐氏幾何，否則是非歐幾何．由此可見，平行公理在幾何中的地位十分重要．在教學(xué)時(shí)，學(xué)生可以從用直尺和三角板畫平行線的畫圖過程中，理解平行公理．特別是真正地體會到公理中的“有且只有”的意義．

　　本節(jié)難點(diǎn)是：理解平行線的概念以及由平行公理導(dǎo)出其推論的過程定義中的“在同一平面內(nèi)”的這個(gè)前提，是為了區(qū)別立體幾何中異面直線的情況．教學(xué)時(shí)只要學(xué)生能意識到，空間的直線還存在另一種不相交的情形的，即異面直線．

　　另外，從平行公理推導(dǎo)出其推論的過程，滲透了反證法的思想．初中學(xué)生難于理解，教材對反證法既不作要求，也不必提出反證法這個(gè)詞，只要把道理說明白即可．

　　2、教法建議

　　（1）概念的引入：學(xué)生從教師創(chuàng)設(shè)的情景中，可以直觀地認(rèn)識平行線．從實(shí)例中，體會平行線在現(xiàn)實(shí)中是存在的，并且有它固有的屬性，因此很有必要認(rèn)真地研究它．當(dāng)然，我們首先要能深刻地理解它的定義．

　�。�2）分析概念：教師可以舉一組圖形，幫助學(xué)生理解定義中強(qiáng)調(diào)的“在同一平面內(nèi)”這個(gè)前提條件．初步形成

　�。�3）掌握平行線的畫法：學(xué)生剛開始接觸幾何，為降低難度，適應(yīng)學(xué)生的發(fā)展，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，作圖時(shí)不要求學(xué)生寫出已知，求做，證明等步驟，只要保留作圖痕跡．通過作圖的教學(xué)使學(xué)生能準(zhǔn)確而迅速地畫出幾何圖形，為今后的幾何學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)．

　�。�4）平行公理及其推論

　　在學(xué)生畫圖的過程中，教師可以提出問題，過直線外一點(diǎn)有幾條直線可以與已知直線平行呢？學(xué)生在動手操作后，可以體驗(yàn)到公理的`客觀存在性．并且可以讓有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的同學(xué)，嘗試說明平行公理推論的正確性，通過說理，體會數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性與邏輯性．

教學(xué)設(shè)計(jì)示例

　　一、教學(xué)目標(biāo)

　　1．了解平行線的概念，理解學(xué)過的描述圖形形狀和位置關(guān)系的語句．

　　2．掌握平行公理及推論，會用三角尺和直尺過已知直線外一點(diǎn)畫這條直線的平行線；會用學(xué)過的幾何語句描述簡單的圖形和根據(jù)語句畫圖．

　　3．通過畫平行線和按幾何語句畫圖的題目練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生畫圖能力．

　　4．通過平行公理推論的推理，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和進(jìn)行推理的能力．

　　二、學(xué)法引導(dǎo)

　　1．教師教法：嘗試法、引導(dǎo)法、發(fā)現(xiàn)法．

　　2．學(xué)生學(xué)法：在教師的引導(dǎo)下，嘗試發(fā)現(xiàn)新知，造就成就感．

　　三、重點(diǎn)、難點(diǎn)及解決辦法

　�。ǎ�）重點(diǎn)

　　平行公理及推論．

　�。ǘ�）難點(diǎn)

　　平行線概念的理解．

　　（三）解決辦法

　　通過引導(dǎo)學(xué)生嘗試發(fā)現(xiàn)新知、練習(xí)鞏固的方法來解決．

　　四、教具學(xué)具準(zhǔn)備

　　投影儀、三角板、自制膠片．

　　五、師生互動活動設(shè)計(jì)

　　1．通過投影片和適當(dāng)問題創(chuàng)設(shè)情境，引入新課．

　　2．通過教師引導(dǎo)，學(xué)生積極思維，進(jìn)行反饋練習(xí)，完成新授．

　　3．學(xué)生自己完成本課小結(jié)．

　　六、教學(xué)步驟

　�。ǎ�）明確目標(biāo)

　　掌握平行公理及其推論的應(yīng)用，能畫出平行線，會用幾何語句描述圖形的畫法，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力．

　�。ǘ�）整體感知

　　以情境引出課題，以生活知識和已有的知識為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)平行公理及其推論，并以變式訓(xùn)練強(qiáng)化和鞏固新知．

　�。ㄈ�）教學(xué)過程

　　創(chuàng)設(shè)情境，引出課題

　　師：前面我們學(xué)習(xí)了兩條直線相交的情形，下面清同學(xué)們看投影片．觀察投影片中的鐵路橋梁以及立在路邊的三根電線桿，再請同學(xué)們觀察黑板相對的兩條邊和橫格本中兩條橫線，若把它們向兩方延長，看成直線，它們還是相交直線嗎？

　　學(xué)生齊聲答：不是．

　　師：因此，平面內(nèi)的兩條直線除了相交以外，還有不相交的情形，這就是我們本節(jié)所要研究的內(nèi)容．（板書課題）

　�。郯鍟�］24．平行線及平行公理

　　通過具體的實(shí)物和實(shí)物的圖形，使學(xué)生建立起不相交的感性認(rèn)識，同時(shí)在頭腦中初步形成平行線的圖形．

　　探究新知，講授新課

　　師：在我們生活的周圍，平面內(nèi)不相交的情形還有許多，你能舉例說明嗎？

　　學(xué)生：窗戶相對的棱，桌面的對邊，書的對邊……

　　師：我們把它們向兩方無限延伸，得到的直線總也不會相交．我們把這樣的直線叫做平行線．

　�。郯鍟�］在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線．

　　初中幾何必須重視幾何概念的直觀性，所以讓學(xué)生多觀察實(shí)物形狀，在形成了感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上，認(rèn)識數(shù)學(xué)名稱，讓學(xué)生從中感受到數(shù)學(xué)的實(shí)在性，減少抽象性．

　　教師出示投影片（課本第74頁圖2–17）．

　師：請同學(xué)們觀察，長方體的棱 與 無論怎樣延長，它們會不會相交？

　　學(xué)生：不會相交．

　　師：那么它們是平行線嗎？

　　學(xué)生：不是．

　　 師：也就是說平行線的定義必須有怎樣的前提條件？

　　學(xué)生：在同一平面內(nèi)．

　　師：誰能說為什么要有這個(gè)前提條件？

　　學(xué)生：因?yàn)榭臻g里，不相交的直線不一定平行．

　　通過教師的引導(dǎo)，學(xué)生觀察分析，自己得出結(jié)論，從而使學(xué)生切實(shí)體會到平行線的“在同一平面內(nèi)”這個(gè)前提條件的重要性．

　　教師在黑板上給出課本第73頁圖2–16．

　　講解：平行用符號“ ”表示，如圖直線 與 是平行線記作“ ”（或 ）讀作“ 平行于 ”（或 平行于 ）也就是說平行是相互的．

　　這里教師不必贅述，讓學(xué)生清楚平行線符號表示、讀法和記法就可以了，對于平行線的圖形經(jīng)常會使用變式圖形，不要總是橫平豎直的，以防形成思維定式．

　　師：請同學(xué)們思考，在同一平面內(nèi)任意畫兩條不同的直線，它們的位置關(guān)系只能有幾種情況，試畫一畫，同桌的可以討論．

　　學(xué)生：兩種．相交和平行．

　　由此師生共同小結(jié)：在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有相交、平行兩種．

　　嘗試反饋，鞏固練習(xí)（出示投影）

　　1．判斷正誤

　�。�1）兩條不相交的直線叫做平行線．（　�。�

　　（2）有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的兩直線是相交直線．（　�。�

　　（3）在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線一定平行．（　　）

　�。�4）一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，必把這個(gè)平面分為四部分．（�。�

　　2．下列說法中正確的是（　�。�

　　A．在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有相交、垂直、平行三種．

　　B．在同一平面內(nèi)，不垂直的兩直線必平行．

　　C．在同一平面內(nèi)，不平行的兩直線必垂直．

　　D．在同一平面內(nèi)，不相交的兩直線一定不垂直．

　　學(xué)生活動：學(xué)生回答，并簡要說明理由．

　　這組練習(xí)旨在鞏固學(xué)生掌握平行線定義及平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系，通過判斷（1）、（3）題讓學(xué)生進(jìn)一步體會平行線的“在同一平面內(nèi)”的前提條件，通過判斷（2）、（4）題和選擇題使學(xué)生對兩直線位置關(guān)系，尤其是對垂直是相交的一種特殊情況有更深層的理解．

　　師：我們很容易畫出兩條相交直線，而對于平行線的畫法，我們在小學(xué)就學(xué)過用直尺和三角板畫，下面清同學(xué)在練習(xí)本上完成下面題目（投影顯示）．

　　已知直線 和 外一點(diǎn) ，過點(diǎn) 畫直線 ，使 ．

　　師：請根據(jù)語句，自己畫出已知圖形．

　　學(xué)生活動：學(xué)生在練習(xí)本上畫出圖形．

　　 師：下面請你們按要求畫出直線 ．

　　學(xué)生活動：學(xué)生能夠很快完成，然后請一個(gè)學(xué)生在黑板上板演，其他學(xué)生觀察他的畫圖過程是否正確，然后師生一起訂正．

　　注意：（1）在推動三角尺時(shí)，直尺不要?jiǎng)樱?/p>

　　　�。�2）畫平行線必須用直尺三角板，不能徒手畫．

　　畫平行線是幾何畫圖的基本技能之一，在以后的畫圖中常常會遇到，要求學(xué)生使用工具，不僅能養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，也能培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度．

　　嘗試反饋，鞏固練習(xí)（出示投影）．

　　1．畫線段 ，畫任意射線 ，在 上取 、 、 三點(diǎn)，使 ，連結(jié) ，用三角板畫 ， ，分別交 于 、 ，量出 、 、 的長（精確到 ）．

　　 2．讀下列語句，并畫圖形

　�。�1）點(diǎn) 是直線 外的一點(diǎn)，直線 經(jīng)過點(diǎn) ，且與直線 平行．

　�。�2）直線 、 是相交直線，點(diǎn) 是直線 、 外的一點(diǎn)，直線 經(jīng)過點(diǎn) 與直線 平行與直線 相交于 ．

　　（3）過點(diǎn) 畫 ，交 的延長線于 ．

　　學(xué)生活動：學(xué)生在練習(xí)本上按要求畫圖，并由兩個(gè)學(xué)生在黑板上畫第2題的（2）、（3）題，學(xué)生畫完后教師給出第1題的圖形（提前做好的投影片），請學(xué)生回答測量的結(jié)果，然后共同訂正第2題的（2）、（3）題．

　　這組練習(xí)重點(diǎn)鞏固平行線的畫法及理解描述圖形形狀和位置關(guān)系的語句，能夠根據(jù)語句畫出正確圖形，注意要求學(xué)生用準(zhǔn)確的幾何語言反映圖形，同時(shí)真正理解幾何語言才能畫好圖形．

　　師：我們練習(xí)了過直線外一點(diǎn)畫已知直線的平行線，請同學(xué)們回憶，過直線外一點(diǎn)能不能畫直線的垂線，能畫幾條？

　　學(xué)生活動：學(xué)生思考并回答，能畫，而且只能畫一條．

　　師：下面請你試一試，前面我們完成的過直線外一點(diǎn)與已知直線平行的直線可以畫幾條，想一想，你能得到什么結(jié)論？

　　學(xué)生活動：學(xué)生動手操作，思考后總結(jié)出結(jié)論：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行．

　　師：我們把這個(gè)結(jié)論叫平行公理，教師板書．

　　平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行．

　　學(xué)生對垂線的惟一性比較熟悉，通過對惟一性的回顧，學(xué)生能夠用類比的思想，把自己動手得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)論采用準(zhǔn)確的幾何語言描述出來，這樣不僅培養(yǎng)了學(xué)生善于類比的思想，同時(shí)也訓(xùn)練了學(xué)生語言的規(guī)范性．

　　師：過直線外一點(diǎn)，能畫這條直線的惟一平行線，若沒有條件“過直線外一點(diǎn)”，問你能畫已知直線的平行線嗎？能畫多少條？

　　學(xué)生：思考后，立即回答，能畫無數(shù)條．

　　師：請同學(xué)們在練習(xí)本上完成．

　　（出示投影）

　　已知直線 ，分別畫直線 、 ，使 ， ．

　　學(xué)生活動：學(xué)生在練習(xí)本上完成．

　　師：請同學(xué)們觀察，直線 、 能不能相交？

　　學(xué)生活動：觀察，回答：不相交，也就是說 ．

　　師：為什么呢？同桌可以討論．

　　學(xué)生活動：學(xué)生積極討論，各抒己見．

　　幾何的學(xué)習(xí)不僅要求學(xué)生有較強(qiáng)的識圖能力，而且要求學(xué)生有過硬的分析能力，也就是說理能力．初一幾何課是幾何課的起始課，從開始就讓學(xué)生養(yǎng)成自己動手、動腦、思考、分析問題的習(xí)慣，即加強(qiáng)幾何思維不慣的培養(yǎng)，這是個(gè)很重要的內(nèi)容．

　　學(xué)生活動：教師讓學(xué)生積極發(fā)表意見，然后給出正確的引導(dǎo)．

　　師：我們觀察圖形，如果直線 與 相交，設(shè)交點(diǎn)為 ，那么會產(chǎn)生什么問題呢？請同學(xué)們討論．

　　學(xué)生活動：學(xué)生在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下思考、討論，得出結(jié)論．

　　師：同學(xué)們想得很好，因?yàn)?， ，于是過點(diǎn) 就有兩條直線 、 都與 平行，根據(jù)平行公理，這是不可能的，這就是說， 與 不能相交，只能平行，由此我們得到平行公理的推論．

　　 ［板書］如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．

　　師：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線是平行的，那么不相交的兩條射線（或線段）也是平行的，對嗎？為什么？

　　學(xué)生活動：學(xué)生思考，回答：不對，給出反例圖形，

　　例如：如圖1所示，射線 與 就不相交，也不平行．

　　師：同學(xué)們想一想，當(dāng)我們說兩條射線或線段平行時(shí)，實(shí)際上是什么平行才可以呢？

　　生：它們所在的直線平行．

　　嘗試反饋，鞏固練習(xí)（投影）

　　填空：∵ ， （已知），

　　　　∴________ _______（　　�。�．

　　學(xué)生活動：口答．

　　鞏固平行公理推論的掌握，同時(shí)讓學(xué)生清楚平行公理推論的符號語言，為今后進(jìn)行推理論證打好基礎(chǔ)．

　　變式訓(xùn)練，培養(yǎng)能力（出示投影）

　　選擇題

　　下列圖形都不相交，哪一個(gè)平行（　�。�

　　進(jìn)一步加深學(xué)生對平行線的理解，尤其是平行的變式圖形．

　�。ㄋ模┛偨Y(jié)、擴(kuò)展

　　師：今天我們學(xué)習(xí)了平行線，知道了同一平面內(nèi)兩條直線位置關(guān)系只有相交、平行兩種，完成下表：（出示投影）

　　學(xué)生活動：表格中的內(nèi)容均由學(xué)生口答出來．

　　通過學(xué)生完成表格，不僅回顧本節(jié)所學(xué)知識，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)能力，使學(xué)生所學(xué)知識形成體系，從而更好地掌握知識．

　　八、布置作業(yè)

　　（一）必做題

　　課本第96頁習(xí)題2.2Ａ組第3題（1）、（2）題．

　�。ǘ�）思考題

　　1．能直接利用定義判斷兩條直線是否平行嗎？

　　2．怎樣才能判斷兩條直線是否平行呢？

　　3．閱讀課本第76頁，“讀一讀”的觀察與實(shí)驗(yàn)，課下同學(xué)之間相互演示．

　　作業(yè)答案

　　3.
　　　　　　　　　　　(1)　　　　　　　　　　　　　　　(2)

　　九、板書設(shè)計(jì)