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高中數(shù)學函數(shù)對稱性和周期性小結

高中數(shù)學函數(shù)對稱性和周期性小結

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  一、函數(shù)對稱性:

  1.2.3.4.5.6.7.8.

  f(a+x)=f(a-x)==>f(x)關于x=a對稱

  f(a+x)=f(b-x)==>f(x)關于x=(a+b)/2對稱f(a+x)=-f(a-x)==>f(x)關于點(a,0)對稱f(a+x)=-f(a-x)+2b==>f(x)關于點(a,b)對稱

  f(a+x)=-f(b-x)+c==>f(x)關于點[(a+b)/2,c/2]對稱y=f(x)與y=f(-x)關于x=0對稱y=f(x)與y=-f(x)關于y=0對稱y=f(x)與y=-f(-x)關于點(0,0)對稱

  例1:證明函數(shù)y=f(a+x)與y=f(b-x)關于x=(b-a)/2對稱。

  求兩個不同函數(shù)的對稱軸,用設點和對稱原理作解。

  證明:假設任意一點P(m,n)在函數(shù)y=f(a+x)上,令關于x=t的對稱點Q(2tm,n),那么n=f(a+m)=f[b(2tm)]

  ∴b2t=a,==>t=(b-a)/2,即證得對稱軸為x=(b-a)/2.

  例2:證明函數(shù)y=f(a-x)與y=f(xb)關于x=(a+b)/2對稱。

  證明:假設任意一點P(m,n)在函數(shù)y=f(a-x)上,令關于x=t的對稱點Q(2tm,n),那么n=f(a-m)=f[(2tm)b]

  ∴2t-b=a,==>t=(a+b)/2,即證得對稱軸為x=(a+b)/2.

  二、函數(shù)的周期性

  令a,b均不為零,若:

  1、函數(shù)y=f(x)存在f(x)=f(x+a)==>函數(shù)最小正周期T=|a|

  2、函數(shù)y=f(x)存在f(a+x)=f(b+x)==>函數(shù)最小正周期T=|b-a|

  3、函數(shù)y=f(x)存在f(x)=-f(x+a)==>函數(shù)最小正周期T=|2a|

  4、函數(shù)y=f(x)存在f(x+a)=1/f(x)==>函數(shù)最小正周期T=|2a|

  5、函數(shù)y=f(x)存在f(x+a)=[f(x)+1]/[1f(x)]==>函數(shù)最小正周期T=|4a|

  這里只對第2~5點進行解析。

  第2點解析:

  令X=x+a,f[a+(xa)]=f[b+(xa)]∴f(x)=f(x+ba)==>T=ba

  第3點解析:同理,f(x+a)=-f(x+2a)……

 、賔(x)=-f(x+a)……

 、凇嘤散俸廷诮獾胒(x)=f(x+2a)∴函數(shù)最小正周期T=|2a|

  第4點解析:

  f(x+2a)=1/f(x+a)==>f(x+a)=1/f(x+2a)

  又∵f(x+a)=1/f(x)∴f(x)=f(x+2a)

  ∴函數(shù)最小正周期T=|2a|

  第5點解析:

  ∵f(x+a)={2[1f(x)]}/[1f(x)]=2/[1f(x)]1

  ∴1f(x)=2/[f(x)+1]移項得f(x)=12/[f(x+a)+1]

  那么f(x-a)=12/[f(x)+1],等式右邊通分得f(x-a)=[f(x)1]/[1+f(x)]∴1/[f(x-a)=[1+f(x)]/[f(x)1],即-1/[f(x-a)=[1+f(x)]/[1-f(x)]∴-1/[f(x-a)=f(x+a),-1/[f(x2a)=f(x)==>-1/f(x)=f(x-2a)①,又∵-1/f(x)=f(x+2a)②,

  由①②得f(x+2a)=f(x-2a)==>f(x)=f(x+4a)

  ∴函數(shù)最小正周期T=|4a|

  擴展閱讀:函數(shù)對稱性、周期性和奇偶性的規(guī)律總結

  函數(shù)對稱性、周期性和奇偶性規(guī)律總結

 。ㄒ唬┩缓瘮(shù)的函數(shù)的奇偶性與對稱性:(奇偶性是一種特殊的對稱性)

  1、奇偶性:

  (1)奇函數(shù)關于(0,0)對稱,奇函數(shù)有關系式f(x)f(x)0

 。2)偶函數(shù)關于y(即x=0)軸對稱,偶函數(shù)有關系式f(x)f(x)

  2、奇偶性的拓展:同一函數(shù)的對稱性

 。1)函數(shù)的軸對稱:

  函數(shù)yf(x)關于xa對稱f(ax)f(ax)

  f(ax)f(ax)也可以寫成f(x)f(2ax)或f(x)f(2ax)

  若寫成:f(ax)f(bx),則函數(shù)yf(x)關于直線x稱

 。╝x)(bx)ab對22證明:設點(x1,y1)在yf(x)上,通過f(x)f(2ax)可知,y1f(x1)f(2ax1),

  即點(2ax1,y1)也在yf(x)上,而點(x1,y1)與點(2ax1,y1)關于x=a對稱。得證。

  說明:關于xa對稱要求橫坐標之和為2a,縱坐標相等。

  ∵(ax1,y1)與(ax1,y1)關于xa對稱,∴函數(shù)yf(x)關于xa對稱

  f(ax)f(ax)

  ∵(x1,y1)與(2ax1,y1)關于xa對稱,∴函數(shù)yf(x)關于xa對稱

  f(x)f(2ax)

  ∵(x1,y1)與(2ax1,y1)關于xa對稱,∴函數(shù)yf(x)關于xa對稱

  f(x)f(2ax)

 。2)函數(shù)的點對稱:

  函數(shù)yf(x)關于點(a,b)對稱f(ax)f(ax)2b

  上述關系也可以寫成f(2ax)f(x)2b或f(2ax)f(x)2b

  若寫成:f(ax)f(bx)c,函數(shù)yf(x)關于點(abc,)對稱2證明:設點(x1,y1)在yf(x)上,即y1f(x1),通過f(2ax)f(x)2b可知,f(2ax1)f(x1)2b,所以f(2ax1)2bf(x1)2by1,所以點(2ax1,2by1)也在yf(x)上,而點(2ax1,2by1)與(x1,y1)關于(a,b)對稱。得證。

  說明:關于點(a,b)對稱要求橫坐標之和為2a,縱坐標之和為2b,如(ax)與(ax)之和為2a。

 。3)函數(shù)yf(x)關于點yb對稱:假設函數(shù)關于yb對稱,即關于任一個x值,都有兩個y值與其對應,顯然這不符合函數(shù)的定義,故函數(shù)自身不可能關于yb對稱。但在曲線c(x,y)=0,則有可能會出現(xiàn)關于yb對稱,比如圓c(x,y)x2y240它會關于y=0對稱。

 。4)復合函數(shù)的奇偶性的性質定理:

  性質1、復數(shù)函數(shù)y=f[g(x)]為偶函數(shù),則f[g(-x)]=f[g(x)]。復合函數(shù)y=f[g(x)]為奇函數(shù),則f[g(-x)]=-f[g(x)]。

  性質2、復合函數(shù)y=f(x+a)為偶函數(shù),則f(x+a)=f(-x+a);復合函數(shù)y=f(x+a)為奇函數(shù),則f(-x+a)=-f(a+x)。

  性質3、復合函數(shù)y=f(x+a)為偶函數(shù),則y=f(x)關于直線x=a軸對稱。復合函數(shù)y=f(x+a)為奇函數(shù),則y=f(x)關于點(a,0)中心對稱。

  總結:x的系數(shù)一個為1,一個為-1,相加除以2,可得對稱軸方程

  總結:x的系數(shù)一個為1,一個為-1,f(x)整理成兩邊,其中一個的系數(shù)是為1,另一個為-1,存在對稱中心。

  總結:x的系數(shù)同為為1,具有周期性。

  (二)兩個函數(shù)的圖象對稱性

  1、yf(x)與yf(x)關于X軸對稱。

  證明:設yf(x)上任一點為(x1,y1)則y1f(x1),所以yf(x)經(jīng)過點(x1,y1)

  ∵(x1,y1)與(x1,y1)關于X軸對稱,∴y1f(x1)與yf(x)關于X軸對稱.注:換種說法:yf(x)與yg(x)f(x)若滿足f(x)g(x),即它們關于y0對稱。

  拓展:高中數(shù)學函數(shù)知識點

  高一數(shù)學上學期知識點:冪函數(shù)

  定義:

  形如y=x^a(a為常數(shù))的函數(shù),即以底數(shù)為自變量冪為因變量,指數(shù)為常量的函數(shù)稱為冪函數(shù)。

  定義域和值域:

  當a為不同的數(shù)值時,冪函數(shù)的定義域的不同情況如下:如果a為任意實數(shù),則函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù);如果a為負數(shù),則x肯定不能為0,不過這時函數(shù)的定義域還必須根[據(jù)q的奇偶性來確定,即如果同時q為偶數(shù),則x不能小于0,這時函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù);如果同時q為奇數(shù),則函數(shù)的定義域為不等于0的所有實數(shù)。當x為不同的數(shù)值時,冪函數(shù)的值域的不同情況如下:在x大于0時,函數(shù)的值域總是大于0的實數(shù)。在x小于0時,則只有同時q為奇數(shù),函數(shù)的值域為非零的實數(shù)。而只有a為正數(shù),0才進入函數(shù)的值域

  性質:

  對于a的取值為非零有理數(shù),有必要分成幾種情況來討論各自的特性:

  首先我們知道如果a=p/q,q和p都是整數(shù),則x^(p/q)=q次根號(x的p次方),如果q是奇數(shù),函數(shù)的定義域是R,如果q是偶數(shù),函數(shù)的定義域是[0,+∞)。當指數(shù)n是負整數(shù)時,設a=-k,則x=1/(x^k),顯然x≠0,函數(shù)的定義域是(-∞,0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制來源于兩點,一是有可能作為分母而不能是0,一是有可能在偶數(shù)次的根號下而不能為負數(shù),那么我們就可以知道:

  排除了為0與負數(shù)兩種可能,即對于x>0,則a可以是任意實數(shù);

  排除了為0這種可能,即對于x<0 x="">0的所有實數(shù),q不能是偶數(shù);