什么是無理數(shù)及其定義是什么

　　無理數(shù)最早是由畢達(dá)哥拉斯學(xué)派弟子希伯索斯發(fā)現(xiàn)，那么什么是無理數(shù)?下面小編就帶大家一起來詳細(xì)了解下吧。

　　無理數(shù)基本定義

　　無理數(shù)，即非有理數(shù)之實(shí)數(shù)，不能寫作兩整數(shù)之比。若將它寫成小數(shù)形式，小數(shù)點(diǎn)之后的數(shù)字有無限多個(gè)，并且不會(huì)循環(huán)。 常見的無理數(shù)有大部分的平方根、π和e(其中后兩者同時(shí)為超越數(shù))等。無理數(shù)的另一特征是無限的連分?jǐn)?shù)表達(dá)式。傳說中，無理數(shù)最早由畢達(dá)哥拉斯學(xué)派弟-子希伯斯發(fā)現(xiàn)。他以幾何方法證明無法用整數(shù)及分?jǐn)?shù)表示。而畢達(dá)哥拉斯深信任意數(shù)均可用整數(shù)及分?jǐn)?shù)表示，不相信無理數(shù)的存在。但是他始終無法證明不是無理數(shù)，后來希伯斯將無理數(shù)透露給外人——此知識(shí)外泄一事觸犯學(xué)派章程——因而被處死，其罪名等同于“瀆神”。

　　無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)和開方開不盡的數(shù). 如圓周率、√2(根號(hào)2)等。

　　有理數(shù)是所有的分?jǐn)?shù)，整數(shù)，它們都可以化成有限小數(shù)，或無限循環(huán)小數(shù)。如22/7等。

　　實(shí)數(shù)(real number)分為有理數(shù)和無理數(shù)(irrational number)。

　　有理數(shù)可分為整數(shù)(正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù))和分?jǐn)?shù)(正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù))

　　也可分為正有理數(shù)，0，負(fù)有理數(shù)。

　　除了無限不循環(huán)小數(shù)以外的數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)。

　　1、把有理數(shù)和無理數(shù)都寫成小數(shù)形式時(shí)，有理數(shù)能寫成整數(shù)、小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，比如4=4.0, 4/5=0.8, 1/3=0.33333……而無理數(shù)只能寫成無限不循環(huán)小數(shù)，

　　比如√2=1.414213562…………根據(jù)這一點(diǎn),人們把無理數(shù)定義為無限不循環(huán)小數(shù)。

　　2、無理數(shù)不能寫成兩整數(shù)之比。

　　利用有理數(shù)和無理數(shù)的主要區(qū)別，可以證明√2是無理數(shù)。

　　證明：假設(shè)√2不是無理數(shù)，而是有理數(shù)。

　　既然√2是有理數(shù)，它必然可以寫成兩個(gè)整數(shù)之比的形式：

　　√2=p/q

　　再假設(shè)p和q沒有公因數(shù)可以約，所以可以認(rèn)為p/q 為最簡分?jǐn)?shù),即最簡分?jǐn)?shù)形式。

　　把 √2=p/q 兩邊平方

　　得 2=(p^2)/(q^2)

　　即 2(q^2)=p^2

　　由于2q^2是偶數(shù)，p 必定為偶數(shù)，設(shè)p=2m

　　由 2(q^2)=4(m^2)

　　得 q^2=2m^2

　　同理q必然也為偶數(shù)，設(shè)q=2n

　　既然p和q都是偶數(shù)，他們必定有公因數(shù)2，這與前面假設(shè)p/q是最簡分?jǐn)?shù)矛盾。這個(gè)矛盾是由假設(shè)√2是有理數(shù)引起的。因此√2是無理數(shù)。

　　1.判斷a√b是否無理數(shù)(a，b是整數(shù))

　　若a√b是有理數(shù)，它必然可以寫成兩個(gè)整數(shù)之比的形式：

　　a√b=c/d(c/d是最簡分?jǐn)?shù))

　　兩邊a次方得b=c^a/d^a 即c^a=b*(d^a)c^a一定是b的整數(shù)倍，設(shè)c^a=b^n*p 同理b*(d^a) 必然也為b的整數(shù)倍，設(shè)b*(d^a)=b*(b^m*q). 其中p和q都不是b的整數(shù)倍

　　左邊b的因子數(shù)是a的倍數(shù)，要想等式成立，右邊b的因子數(shù)必是a的倍數(shù)，推出當(dāng)且僅當(dāng)b是完全a次方數(shù)，a√b才是有理數(shù)，否則為無理數(shù)。

　　無理數(shù)發(fā)現(xiàn)的故事

　　對畢達(dá)歌拉斯而言，當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)只能認(rèn)識(shí)到整數(shù)，雖然分?jǐn)?shù) 總可以用正數(shù)表達(dá)。數(shù)學(xué)之美在于有理數(shù)能解釋一切自然現(xiàn)象。這種起指導(dǎo)作用的哲學(xué)觀使畢氏對無理數(shù)的存在視而不見，甚至導(dǎo)致他一個(gè)學(xué)生被處死。

　　無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)

　　畢達(dá)哥拉斯的學(xué)生希伯斯，他試圖找出根號(hào)2的等價(jià)分?jǐn)?shù)，最終他認(rèn)識(shí)到根本不存在這個(gè)分?jǐn)?shù)，也就是說根號(hào)2是無理數(shù)，希帕索斯對這發(fā)現(xiàn)，喜出望外，但是他的老師畢氏卻不悅。

　　希帕索斯在研究勾股定理時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一種新的數(shù)，而這種數(shù)是不符合他老師的宇宙理論的。希伯斯發(fā)現(xiàn)，如果直角三角形兩條直角邊都為1，那么，它的斜邊的長度就不能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比(應(yīng)該等于，是一個(gè)無理數(shù))。更令畢達(dá)哥拉斯啼笑皆非的，是希伯斯居然用數(shù)學(xué)方法證實(shí)了這種新數(shù)存在的合理性，而證明的方法─歸謬法，又是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派常用的。

　　因?yàn)楫吺弦呀?jīng)用有理數(shù)解釋了天地萬物，無理數(shù)的存在會(huì)引起對他信念的懷疑。希帕索斯經(jīng)洞察力獲致的成果一定經(jīng)過了一段時(shí)間的論和深思熟慮，畢氏本應(yīng)接受這新數(shù)源。然而，畢氏始終不愿承認(rèn)自己的錯(cuò)誤，卻又無法經(jīng)由邏輯推理推翻希帕索斯的論證。使他終身蒙羞的是，他竟然判決將希帕索斯淹死。這是希臘數(shù)學(xué)的最大悲劇，只有在他死后無理數(shù)才得以安全的被討論著。后來，歐幾里德以反證法證明根號(hào)2是無理數(shù)。

　　沉重的打擊

　　可以想象，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派受到了多么沉重的打擊。小小的竟然動(dòng)搖了他們慘淡經(jīng)營的宇宙理論。怎么辦?畢達(dá)哥拉斯的可悲，在于他不敢視這個(gè)新的數(shù)學(xué)問題，而是企圖借助宗教信條來維護(hù)他的權(quán)威。他搬出學(xué)派的誓言，揚(yáng)言要嚴(yán)懲敢于“泄密”的人。然而，真理從來就不是權(quán)劫的奴仆，真理的聲音是誰也封鎖不了的。漸漸地，有一種新的數(shù)存在的消息傳揚(yáng)了開去。

　　這一發(fā)現(xiàn)實(shí)際上是推翻了教派原來的論斷，觸犯了這個(gè)學(xué)派的信條。他們不許希帕索斯泄露存在根2(即無理數(shù))的秘密，但是天真的希帕索斯在無意中向別人談到了他的發(fā)現(xiàn)。后來畢達(dá)哥拉斯教派為了維護(hù)教派的信條，以破壞教規(guī)為理由將希帕索斯裝進(jìn)大口袋扔進(jìn)了大海。希帕索斯因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)了根號(hào)2“無理數(shù)”的存在，為揭示了一個(gè)科學(xué)的真理而付出了生命的代價(jià)。

　　同時(shí)該教派犯下了將發(fā)現(xiàn)無理數(shù)存在的教派成員、畢達(dá)哥拉斯的學(xué)生希帕索斯迫害致死的罪行。這是數(shù)學(xué)史上一個(gè)最著名的悲劇。他那傳奇般的一生給后代留下了許多的故事與傳說。

　　然而像根號(hào)2這樣的“無理數(shù)”存在的.事實(shí)，卻不可能一扔了之，由此引發(fā)了數(shù)學(xué)史上第一次危機(jī)，也帶來了數(shù)學(xué)思想一次大的飛躍。認(rèn)識(shí)無理數(shù)的存在告訴我們，矛盾的存在說明人的認(rèn)識(shí)還具有某種局限性，需要有新的思想和理論來解釋。我們只有突破固有思維模式的束縛，才能開辟新的領(lǐng)域和方向，科學(xué)才能夠繼續(xù)發(fā)展。

　　科學(xué)無止境，認(rèn)識(shí)無禁區(qū)，那些事先為科學(xué)設(shè)定條條框框的，最后將變成阻礙科學(xué)進(jìn)步的阻力，必然被時(shí)代的所拋棄。

　　進(jìn)步的代價(jià)

　　希伯斯由于違背了學(xué)派的誓言，遭受到殘酷的迫害。不久，他就失蹤了。畢達(dá)哥拉斯派的人說，那是海神普賽登懲罰了“叛逆”的希伯斯，海神刮起大風(fēng)暴沖散了希伯斯的船隊(duì)，然后就卷起海浪吞沒了他........但是，誰會(huì)相信這些騙人的鬼話呢?

　　這類無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，是數(shù)學(xué)史上一個(gè)重要的發(fā)現(xiàn)。希伯斯為此獻(xiàn)出了生命，但我們欣忍地看到，數(shù)學(xué)卻因此又前進(jìn)了一步。

　　有理數(shù)和無理數(shù)的區(qū)別

　　實(shí)數(shù)分為有理數(shù)和無理數(shù)。有理數(shù)和無理數(shù)主要區(qū)別有兩點(diǎn)：

　�。�1）有理數(shù)可分為整數(shù)(正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù))和分?jǐn)?shù)(正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù))。把有理數(shù)和無理數(shù)都寫成小數(shù)形式時(shí)，有理數(shù)能寫成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，比如4=4.0；4/5=0.8等等；也可分為正有理數(shù)(正整數(shù)、正分?jǐn)?shù))，0，負(fù)有理數(shù)(負(fù)整數(shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)),而無理數(shù)只能寫成無限不循環(huán)小數(shù).

　�。�2）所有的有理數(shù)都可以寫成兩個(gè)整數(shù)之比，而無理數(shù)卻不能寫成兩個(gè)整數(shù)之比．因此，無理數(shù)也叫做非比數(shù)。

　　無理數(shù)的性質(zhì)

　　1.無理數(shù)加（減）無理數(shù)既可以是無理數(shù)又可以是有理數(shù)。

　　2.無理數(shù)乘（除）無理數(shù)既可以是無理數(shù)又可以是有理數(shù)。

　　3.無理數(shù)加（減）有理數(shù)一定是無理數(shù)。

　　4.無理數(shù)乘（除）一個(gè)非0有理數(shù)一定是無理數(shù)。