因式分解的幾種方法

　　導(dǎo)語(yǔ)：因式分解是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的恒等變形之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，在數(shù)學(xué)求根作圖、解一元二次方程方面也有很廣泛的應(yīng)用。是解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具。把一個(gè)多項(xiàng)式在一個(gè)范圍(如有理數(shù)范圍內(nèi)分解，即所有項(xiàng)均為有理數(shù))化為幾個(gè)整式的積的形式，這種式子變形叫做這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解，也叫作把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。

　　因式分解的幾種方法

　　1、提公因法

　　如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有公因式，那么就可以把這個(gè)公因式提出來(lái)，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式。

　　例1、分解因式x3-2x2-x

　　x3-2x2-x=x(x2-2x-1)

　　2、應(yīng)用公式法

　　由于分解因式與整式乘法有著互逆的關(guān)系，如果把乘法公式反過(guò)來(lái)，那么就可以用來(lái)把某些多項(xiàng)式分解因式。

　　例2、分解因式a2+4ab+4b2

　　解：a2+4ab+4b2=(a+2b)2

　　3、分組分解法

　　要把多項(xiàng)式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前兩項(xiàng)分成一組，并提出公因式a，把它后兩項(xiàng)分成一組，并提出公因式b，從而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，從而得到(a+b)(m+n)

　　例3、分解因式m2+5n-mn-5m

　　解：m2+5n-mn-5m=m2-5m-mn+5n

　　= (m2-5m)+(-mn+5n)

　　=m(m-5)-n(m-5)

　　=(m-5)(m-n)

　　4、十字相乘法

　　對(duì)于mx2+px+q形式的多項(xiàng)式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，則多項(xiàng)式可因式分解為(ax+d)(bx+c)

　　例4、分解因式7x2-19x-6

　　分析：1×7=7,2×(-3)=-6

　　1×2+7×(-3)=-19

　　解：7x2-19x-6=(7x+2)(x-3)

　　5、配方法

　　對(duì)于那些不能利用公式法的多項(xiàng)式，有的.可以利用將其配成一個(gè)完全平方式，然后再利用平方差公式，就能將其因式分解。

　　例5、分解因式x2+6x-40

　　解x2+6x-40=x2+6x+(9) -(9 ) -40

　　=(x+ 3)2-(7 )2

　　=[(x+3)+7]*[(x+3) – 7]

　　=(x+10)(x-4)

　　6、拆、添項(xiàng)法

　　可以把多項(xiàng)式拆成若干部分，再用進(jìn)行因式分解。

　　例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

　　解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

　　=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

　　=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)

　　=(c+b)(c-a)(a+b)

　　7、換元法

　　有時(shí)在分解因式時(shí)，可以選擇多項(xiàng)式中的相同的部分換成另一個(gè)未知數(shù)，然后進(jìn)行因式分解，最后再轉(zhuǎn)換回來(lái)。

　　例7、分解因式2x4–x3-6x2-x+2(也叫相反式，在這里以二次項(xiàng)系數(shù)為中心對(duì)稱項(xiàng)的系數(shù)是相等的，如四次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)對(duì)稱，系數(shù)相等，解法也是把對(duì)稱項(xiàng)結(jié)合在一起)

　　解：2x4–x3-6x2-x+2=2(x4+1)-x(x2+1)-6x2

　　=x2{2[x2+()2]-(x+)-6}

　　令y=x+,

　　x2{2[x2+()2]-(x+)-6}

　　= x2[2(y2-2)-y-6]

　　= x2(2y2-y-10)

　　=x2(y+2)(2y-5)

　　=x2(x++2)(2x+-5)

　　=(x2+2x+1)(2x2-5x+2)

　　=(x+1)2(2x-1)(x-2)

　　8、求根法

　　令多項(xiàng)式f(x)=0,求出其根為x1,x2,x3,……xn,則多項(xiàng)式可因式分解為f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)(一般情況下是試根法，并且一般試-3,-2,-1,0,1,2,3這些數(shù)是不是方程的根)

　　例8、分解因式2x4+7x3-2x2-13x+6

　　解：令f(x)=2x4+7x3-2x2-13x+6=0

　　通過(guò)綜合除法可知，f(x)=0根為，-3，-2，1 ,

　　則2x +7x -2x-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)

　　9、圖象法

　　(這種方法在以后學(xué)函數(shù)的時(shí)候會(huì)用到�，F(xiàn)在只是作為了解內(nèi)容，它和第八種方法是類似的)

　　令y=f(x)，做出函數(shù)y=f(x)的圖象，找到函數(shù)圖象與X軸的交點(diǎn)x1,x2,x3,……xn，則多項(xiàng)式可因式分解為

　　f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)

　　例9、因式分解x3+2x2-5x-6

　　解：令y=x3+2x2-5x-6

　　作出其圖象，可知與x軸交點(diǎn)為-3，-1，2

　　則x3+2x2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)

　　10、主元法

　　先選定一個(gè)字母為主元，然后把各項(xiàng)按這個(gè)字母次數(shù)從高到低排列，再進(jìn)行因式分解。

　　例10、分解因式a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)

　　分析：此題可選定a為主元，將其按次數(shù)從高到低排列

　　解：a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=a2(b-c)-a(b2-c2)+bc(b-c)

　　=(b-c) [a2-a(b+c)+bc]

　　=(b-c)(a-b)(a-c)

　　11、利用特殊值法

　　將2或10(或其它數(shù))代入x，求出數(shù)P，將數(shù)P分解質(zhì)因數(shù)，將質(zhì)因數(shù)適當(dāng)?shù)慕M合，并將組合后的每一個(gè)因數(shù)寫成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式。例11、分解因式x3+9x2+23x+15

　　解：令x=2，則x3+9x2+23x+15=8+36+46+15=105

　　將105分解成3個(gè)質(zhì)因數(shù)的積，即105=3×5×7

　　注意到多項(xiàng)式中最高項(xiàng)的系數(shù)為1，而3、5、7分別為x+1，x+3，x+5，在x=2時(shí)的值

　　則x3+9x2+23x+15=(x+1)(x+3)(x+5)

　　12、待定系數(shù)法

　　首先判斷出分解因式的形式，然后設(shè)出相應(yīng)整式的字母系數(shù)，求出字母系數(shù)，從而把多項(xiàng)式因式分解。

　　例12、分解因式x4–x3-5x2-6x-4

　　如果已知道這個(gè)多項(xiàng)式?jīng)]有一次因式，因而只能分解為兩個(gè)二次因式。

　　解：設(shè)x4–x3-5x2-6x-4=(x2+ax+b)(x2+cx+d)

　　= x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd

　　從而a+c=-1,ac+b+d=-5,ad+bc=-6,bd=-4

　　所以解得

　　則x4–x3-5x2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4)

　　因式分解的幾種方法

　　1】提取公因式

　　這種方法比較常規(guī)、簡(jiǎn)單，必須掌握。

　　常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等

　　例一：2x-3x=0

　　解：x(2x-3)=0

　　x1=0,x2=3/2

　　這是一類利用因式分解的方程。

　　總結(jié)：要發(fā)現(xiàn)一個(gè)規(guī)律就是：當(dāng)一個(gè)方程有一個(gè)解x=a時(shí)，該式分解后必有一個(gè)(x-a)因式 這對(duì)我們后面的學(xué)習(xí)有幫助。

　　2】公式法

　　將式子利用公式來(lái)分解，也是比較簡(jiǎn)單的方法。

　　常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等

　　注意：使用公式法前，建議先提取公因式。

　　例二：x-4分解因式

　　分析：此題較為簡(jiǎn)單，可以看出4=2 2，適用平方差公式a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 2 解：原式=(x+2)(x-2)

　　3】十字相乘法

　　是做競(jìng)賽題的基本方法，做平時(shí)的題目掌握了這個(gè)也會(huì)很輕松。注意：它不難。

　　這種方法的關(guān)鍵是把二次項(xiàng)系數(shù)a分解成兩個(gè)因數(shù)a1.a2的積a1.a2，把常數(shù)項(xiàng)c分解成兩個(gè)因數(shù)c1.c2的積c1.c2，并使a1c2?a2c1正好是一次項(xiàng)b，那么可以直接寫成結(jié)果

　　例三： 把2x-7x+3分解因式.

　　分析：先分解二次項(xiàng)系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角，再分解常數(shù)項(xiàng)，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項(xiàng)系數(shù).

　　分解二次項(xiàng)系數(shù)(只取正因數(shù))：

　　2=1×2=2×1;

　　分解常數(shù)項(xiàng)： 222