常用的三角函數(shù)值知識點

　　求三角函數(shù)值是三角函數(shù)一章中的重要內(nèi)容,也是歷年高考必考的重要知識點之一，本文是小編整理常用的三角函數(shù)值的資料，僅供參考。

　　常用的三角函數(shù)值

　　三角函數(shù)在復(fù)數(shù)中有較為重要的應(yīng)用。在物理學(xué)中，三角函數(shù)也是常用的工具。

　　它有六種基本函數(shù)：

　　函數(shù)名 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割

　　符號 sin cos tan cot sec csc

　　正弦函數(shù) sin(A)=a/c

　　余弦函數(shù) cos(A)=b/c

　　正切函數(shù) tan(A)=a/b

　　余切函數(shù) cot(A)=b/a

　　其中a為對邊，b為臨邊，c為斜邊

　　附：部分特殊三角函數(shù)值

　　sin0=0

　　cos0=1

　　tan0=0

　　sin15=(根號6-根號2)/4

　　cos15=(根號6+根號2)/4

　　tan15=sin15/cos15=2-根號3

　　sin30=1/2

　　cos30=根號3/2

　　tan30=根號3/3

　　sin45=根號2/2

　　cos45=sin45=根號2/2

　　tan45=1

　　sin60=根號3/2

　　cos60=1/2

　　tan60=根號3

　　sin75=cos15

　　cos75=sin15

　　tan75=sin75/cos75 =2+根號3

　　sin90=cos0

　　cos90=sin0

　　tan90無意義

　　sin105=cos15

　　cos105=-sin15

　　tan105=-cot15

　　sin120=cos30

　　cos120=-sin30

　　tan120=-tan60

　　sin135=sin45

　　cos135=-cos45

　　tan135=-tan45

　　sin150=sin30

　　cos150=-cos30

　　tan150=-tan30

　　sin165=sin15

　　cos165=-cos15

　　tan165=-tan15

　　sin180=sin0

　　cos180=-cos0

　　tan180=tan0

　　sin195=-sin15

　　cos195=-cos15

　　tan195=tan15

　　sin360=sin0

　　cos360=cos0

　　tan360=tan0

　　| 360°| 270°| 0° | 15° | 30° | 37° | 45°

　　sin | 0 | -1 | 0 |(√6-√2)/4 | 1/2 | 3/5 |√2/2

　　cos | 1 | 0 | 1 |(√6+√2)/4 |√3/2 | 4/5 |√2/2

　　tan | 0 | 無值 | 0 | 2-√3 |√3/3 | 3/4 | 1

　　| 53° | 60° | 75° | 90° | 120° | 135°| 180°

　　sin | 4/5 |√3/2 |(√6+√2)/4 | 1 | √3/2 | √2/2 | 0

　　cos | 3/5 | 1/2 | (√6-√2)/4| 0 | -1/2 |-√2/2 |-1

　　tan | 4/3 | √3 | 2+√3 | 無值 | -√3 | -1 |0

　　倒數(shù)關(guān)系

　　tanα ·cotα=1

　　sinα ·cscα=1

　　cosα ·secα=1

　　商數(shù)關(guān)系

　　tanα=sinα/cosα

　　cotα=cosα/sinα

　　平方關(guān)系

　　sinα+cosα=1

　　1+tanα=secα

　　1+cotα=cscα

　　以下關(guān)系，函數(shù)名不變，符號看象限

　　sin(2kπ+α)=sinα

　　cos(2kπ+α)=cosα

　　tan(2kπ+α)=tanα

　　cot(2kπ+α)=cotα

　　sin(π+α)=-sinα

　　cos(π+α)=-cosα

　　tan(π+α)=tanα

　　cot(π+α)=cotα

　　sin(π-α)=sinα

　　cos(π-α)=-cosα

　　tan(π-α)=-tanα

　　cot(π-α)=-cotα

　　sin(2π-α)=-sinα

　　cos(2π-α)=cosα

　　tan(2π-α)=-tanα

　　cot(2π-α)=-cotα

　　以下關(guān)系，奇變偶不變，符號看象限

　　sin(90°-α)=cosα

　　cos(90°-α)=sinα

　　tan(90°-α)=cotα

　　cot(90°-α)=tanα

　　sin(90°+α)=cosα

　　cos(90°+α)=sinα

　　tan(90°+α)=-cotα

　　cot(90°+α)=-tanα

　　sin(270°-α)=-cosα

　　cos(270°-α)=-sinα

　　tan(270°-α)=cotα

　　cot(270°-α)=tanα

　　sin(270°+α)=-cosα

　　cos(270°+α)=sinα

　　tan(270°+α)=-cotα

　　cot(270°+α)=-tanα

　　積化和差公式

　　sinα ·cosβ=(1/2)*[sin(α+β)+sin(α-β)]

　　cosα ·sinβ=(1/2)*[sin(α+β)-sin(α-β)]

　　cosα ·cosβ=(1/2)*[cos(α+β)+cos(α-β)]

　　sinα ·sinβ=(1/2)*[cos(α+β)-cos(α-β)]

　　和差化積公式

　　sinα+sinβ=2*[sin(α+β)/2]*[cos(α-β)/2]

　　sinα-sinβ=2*[cos(α+β)/2]*[sin(α-β)/2]

　　cosα+cosβ=2*[cos(α+β)/2]*[cos(α-β)/2]

　　cosα-cosβ=-22*[sin(α+β)/2]*[sin(α-β)/2]

　　三角函數(shù)的特殊值

　　sin0°=0 sin30°=1/2 sin45°=√2/2 sin60°=√3/2 sin90°=1

　　cos0°=1 cos30°=√3/2 cos45°=√2/2 cos60°=1/2 cos90°=0

　　tan0°=0 tan30°=√3/3 tan45°=1 tan60°=√3

　　cot30°=√3 cot45°=1 cot60°=√3/3 cot90°=0

　　三角函數(shù)公式大全

　　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

　　倒數(shù)關(guān)系: tanα ·cotα=1 sinα ·cscα=1 cosα ·secα=1 商的關(guān)系: sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方關(guān)系: sin^2(α)+cos^2(α)=1 1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α)

　　平常針對不同條件的常用的兩個公式

　　sin α+cos α=1 tan α *cot α=1

　　一個特殊公式

　　(sina+sinθ)*(sina+sinθ)=sin(a+θ)*sin(a-θ) 證明:(sina+sinθ)*(sina+sinθ)=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin(a+θ)*sin(a-θ)

　　銳角三角函數(shù)公式

　　正弦: sin α=∠α的對邊/∠α 的斜邊 余弦:cos α=∠α的鄰邊/∠α的斜邊 正切:tan α=∠α的對邊/∠α的鄰邊 余切:cot α=∠α的鄰邊/∠α的對邊

　　二倍角公式

　　正弦 sin2A=2sinA·cosA 余弦 1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a) =2Cos^2(a)-1 =1-2Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a) 3.Cos2a=2Cos^2(a)-1 正切 tan2A=(2tanA)/(1-tan^2(A))

　　三倍角公式

　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推導(dǎo) sin(3a) =sin(a+2a) =sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sina)+(1-2sina)sina =3sina-4sin^3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cosa-1)cosa-2(1-cos^a)cosa =4cos^3a-3cosa sin3a=3sina-4sin^3a =4sina(3/4-sina) =4sina[(√3/2)-sina] =4sina(sin60°-sina) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos^3a-3cosa =4cosa(cosa-3/4) =4cosa[cosa-(√3/2)^2] =4cosa(cosa-cos30°) =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 上述兩式相比可得 tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)

　　n倍角公式

　　sin(n a)=Rsina sin(a+π/n)……sin(a+(n-1)π/n)。 其中R=2^(n-1) 證明:當(dāng)sin(na)=0時，sina=sin(π/n)或=sin(2π/n)或=sin(3π/n)或=……或=sin 這說明sin(na)=0與{sina-sin(π/n)}*{sina-sin(2π/n)}*{sina-sin(3π/n)}*……*{sina- sin=0是同解方程。 所以sin(na)與{sina-sin(π/n)}*{sina-sin(2π/n)}*{sina-sin(3π/n)}*……*{sina- sin成正比。 而(sina+sinθ)*(sina+sinθ)=sin(a+θ)*sin(a-θ)，所以 {sina-sin(π/n)}*{sina-sin(2π/n)}*{sina-sin(3π/n)}*……*{sina- sin 與sina sin(a+π/n)……sin(a+(n-1)π/n)成正比(系數(shù)與n有關(guān) ，但與a無關(guān)，記為Rn)。 然后考慮sin(2n a)的系數(shù)為R2n=R2*(Rn)^2=Rn*(R2)^n.易證R2=2，所以Rn= 2^(n-1)

　　半角公式

　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2 cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2 tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))

　　和差化積

　　sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

　　sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)

　　兩角和公式

　　cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβ

　　積化和差

　　sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2 cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2 sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2

　　雙曲函數(shù)

　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 tanh(a) = sin h(a)/cos h(a) 公式一: 設(shè)α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等: sin(2kπ+α)= sinα cos(2kπ+α)= cosα tan(2kπ+α)= tanα cot(2kπ+α)= cotα 公式二: 設(shè)α為任意角，π+α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系: sin(π+α)= -sinα cos(π+α)= -cosα tan(π+α)= tanα cot(π+α)= cotα 公式三: 任意角α與 -α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系: sin(-α)= -sinα cos(-α)= cosα tan(-α)= -tanα cot(-α)= -cotα 公式四: 利用公式二和公式三可以得到π-α與α的.三角函數(shù)值之間的關(guān)系: sin(π-α)= sinα cos(π-α)= -cosα tan(π-α)= -tanα cot(π-α)= -cotα 公式五: 利用公式-和公式三可以得到2π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系: sin(2π-α)= -sinα cos(2π-α)= cosα tan(2π-α)= -tanα cot(2π-α)= -cotα 公式六: π/2±α及3π/2±α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系: sin(π/2+α)= cosα cos(π/2+α)= -sinα tan(π/2+α)= -cotα cot(π/2+α)= -tanα sin(π/2-α)= cosα cos(π/2-α)= sinα tan(π/2-α)= cotα cot(π/2-α)= tanα sin(3π/2+α)= -cosα cos(3π/2+α)= sinα tan(3π/2+α)= -cotα cot(3π/2+α)= -tanα sin(3π/2-α)= -cosα cos(3π/2-α)= -sinα tan(3π/2-α)= cotα cot(3π/2-α)= tanα (以上k∈Z) A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = √{(A +B +2ABcos(θ-φ)} · sin{ ωt + arcsin[ (A·sinθ+B·sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } √表示根號,包括{……}中的內(nèi)容

　　誘導(dǎo)公式

　　sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα tan (-α)=-tanα sin(π/2-α) = cosα cos(π/2-α) = sinα sin(π/2+α) = cosα cos(π/2+α) = -sinα sin(π-α) = sinα cos(π-α) = -cosα sin(π+α) = -sinα cos(π+α) = -cosα tanA= sinA/cosA tan(π/2+α)=-cotα tan(π/2-α)=cotα tan(π-α)=-tanα tan(π+α)=tanα 誘導(dǎo)公式記背訣竅:奇變偶不變，符號看象限

　　萬能公式

　　sinα=2tan(α/2)/[1+(tan(α/2))] cosα=[1-(tan(α/2))]/[1+(tan(α/2))] tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))]

　　其它公式

　　(1) (sinα)+(cosα)=1 (2)1+(tanα)=(secα) (3)1+(cotα)=(cscα) 證明下面兩式,只需將一式,左右同除(sinα)，第二個除(cosα)即可 (4)對于任意非直角三角形,總有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 證: A+B=π-C tan(A+B)=tan(π-C) (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 整理可得 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 得證 同樣可以得證,當(dāng)x+y+z=nπ(n∈Z)時,該關(guān)系式也成立 由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下結(jié)論 (5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1 (6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2) (7)(cosA)+(cosB)+(cosC)=1-2cosAcosBcosC (8)(sinA)+(sinB)+(sinC)=2+2cosAcosBcosC 其他非重點三角函數(shù) csc(a) = 1/sin(a) sec(a) = 1/cos(a)

　　編輯本段內(nèi)容規(guī)律

　　三角函數(shù)看似很多，很復(fù)雜，但只要掌握了三角函數(shù)的本質(zhì)及內(nèi)部規(guī)律就會發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)各個公式之間有強大的聯(lián)系。而掌握三角函數(shù)的內(nèi)部規(guī)律及本質(zhì)也是學(xué)好三角函數(shù)的關(guān)鍵所在. 1、三角函數(shù)本質(zhì):

　　[1] 根據(jù)右圖，有 sinθ=y/ r; cosθ=x/r; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 深刻理解了這一點，下面所有的三角公式都可以從這里出發(fā)推導(dǎo)出來，比如以推導(dǎo) sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 為例: 推導(dǎo): 首先畫單位圓交X軸于C，D，在單位圓上有任意A，B點。角AOD為α，BOD為β，旋轉(zhuǎn)AOB使OB與OD重合，形成新A'OD。 A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 和差化積及積化和差用還原法結(jié)合上面公式可推出(換(a+b)/2與(a-b)/2) 單位圓定義 單位圓 六個三角函數(shù)也可以依據(jù)半徑為一中心為原點的單位圓來定義。單位圓定義在實際計算上沒有大的價值;實際上對多數(shù)角它都依賴于直角三角形。但是單位圓定義的確允許三角函數(shù)對所有正數(shù)和負(fù)數(shù)輻角都有定義，而不只是對于在 0 和 π/2 弧度之間的角。它也提供了一個圖象，把所有重要的三角函數(shù)都包含了。根據(jù)勾股定理，單位圓的等式是: 圖象中給出了用弧度度量的一些常見的角。逆時針方向的度量是正角，而順時針的度量是負(fù)角。設(shè)一個過原點的線，同 x 軸正半部分得到一個角 θ，并與單位圓相交。這個交點的 x 和 y 坐標(biāo)分別等于 cos θ 和 sin θ。圖象中的三角形確保了這個公式;半徑等于斜邊且長度為1，所以有 sin θ = y/1 和 cos θ = x/1。單位圓可以被視為是通過改變鄰邊和對邊的長度，但保持斜邊等于 1的一種查看無限個三角形的方式。 兩角和公式

　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)