數(shù)學(xué)最常用的基本數(shù)學(xué)方法

　　什么是數(shù)學(xué)方法 ? 中學(xué)數(shù)學(xué)有哪些常用的基本數(shù)學(xué)方法 ?

　　答：所謂方法，是指人們?yōu)榱诉_(dá)到某種目的而采取的手段、途徑和行為方式中所包含的可操作的規(guī)則或模式．人們通過長期的實(shí)踐，發(fā)現(xiàn)了許多運(yùn)用數(shù)學(xué)思想的手段、門路或程序．同一手段、門路或程序被重復(fù)運(yùn)用了多次，并且都達(dá)到了預(yù)期的目的，就成為數(shù)學(xué)方法．?dāng)?shù)學(xué)方法是以數(shù)學(xué)的工具進(jìn)行科學(xué)研究的方法，即用數(shù)學(xué)語言表達(dá)事物的狀態(tài)、關(guān)系和過程，經(jīng)過推導(dǎo)、運(yùn)算與分析，以形成解釋、判斷和預(yù)言的方法。

　　數(shù)學(xué)方法具有以下三個(gè)基本特征：一是高度的抽象性和概括性，二是邏輯的嚴(yán)密性及結(jié)論的確定性，三是應(yīng)用的普遍性和可操作性． 數(shù)學(xué)方法在科學(xué)技術(shù)研究中具有舉足輕重的地位和作用：一是提供簡(jiǎn)潔確定的形式化語言，二是提供數(shù)量分析及計(jì)算的方法，三是提供邏輯推理的工具．現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)特別是電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展，與數(shù)學(xué)方法的地位和作用的強(qiáng)化正好是相輔相成．

　　在中學(xué)數(shù)學(xué)中經(jīng)常用到的基本數(shù)學(xué)方法，大致可以分為以下三類：

　　（ 1 ）邏輯學(xué)中的方法．例如分析法（包括逆證法）、綜合法、反證法、歸納法、窮舉法（要求分類討論）等．這些方法既要遵重邏輯學(xué)中的基本規(guī)律和法則，又因?yàn)檫\(yùn)用于數(shù)學(xué)之中而具有數(shù)學(xué)的特色．

　　高中英語 （ 2 ）數(shù)學(xué)中的一般方法．例如建模法、消元法、降次法、代入法、圖象法（也稱坐標(biāo)法，在代數(shù)中常稱圖象法，在學(xué)生今后要學(xué)習(xí)的解析幾何中常稱坐標(biāo)法）、比較法（數(shù)學(xué)中主要是指比較大小，這與邏輯學(xué)中的多方位比較不同）等．這些方法極為重要，應(yīng)用也很廣泛．

　�。� 3 ）數(shù)學(xué)中的特殊方法．例如配方法、待定系數(shù)法、加減法、公式法、換元法（也稱之為中間變量法）、拆項(xiàng)補(bǔ)項(xiàng)法（含有添加輔助元素實(shí)現(xiàn)化歸的數(shù)學(xué)思想）、因式分解諸方法，以及平行移動(dòng)法、翻折法等．這些方法在解決某些數(shù)學(xué)問題時(shí)也起著重要作用，對(duì)于某一類問題也都是一種通法。

　　高中數(shù)學(xué) 函數(shù)

　　函數(shù)簡(jiǎn)介：

　　在領(lǐng)域，函數(shù)是一種關(guān)系，這種關(guān)系使一個(gè)集合里的每一個(gè)元素對(duì)應(yīng)到另一個(gè)（可能相同的）集合里的唯一元素。

　　----A variable so related to another that for each value assumed by one there is a value determined for the other.

　　自變量，函數(shù)一個(gè)與他量有關(guān)聯(lián)的變量，這一量中的任何一值都能在他量中找到對(duì)應(yīng)的固定值。

　　----A rule of correspondence between two sets such that there is a unique element in the second set assigned to each element in the first set.

　　函數(shù)兩組元素一一對(duì)應(yīng)的規(guī)則，第一組中的每個(gè)元素在第二組中只有唯一的對(duì)應(yīng)量。

　　函數(shù)的概念對(duì)于數(shù)學(xué)和數(shù)量學(xué)的每一個(gè)分支來說都是最基礎(chǔ)的。

　　～‖函數(shù)的定義： 設(shè)x和y是兩個(gè)變量，D是實(shí)數(shù)集的某個(gè)子集，若對(duì)于D中的每個(gè)值x，變量y按照一定的法則有一個(gè)確定的值y與之對(duì)應(yīng)，稱變量y為變量x的函數(shù)，記作 y=f(x).

　　數(shù)集D稱為函數(shù)的定義域，由函數(shù)對(duì)應(yīng)法則或?qū)嶋H問題的要求來確定。相應(yīng)的函數(shù)值的全體稱為函數(shù)的值域，對(duì)應(yīng)法則和定義域是函數(shù)的兩個(gè)要素。

　　functions

　　數(shù)學(xué)中的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，是從非空集合A到實(shí)數(shù)集B的對(duì)應(yīng)。簡(jiǎn)單地說，甲隨著乙變，甲就是乙的函數(shù)。精確地說，設(shè)X是一個(gè)非空集合，Y是非空數(shù)集，f是個(gè)對(duì)應(yīng)法則 ， 若對(duì)X中的每個(gè)x，按對(duì)應(yīng)法則f，使Y中存在唯一的一個(gè)元素y與之對(duì)應(yīng)，就稱對(duì)應(yīng)法則f是X上的一個(gè)函數(shù)，記作y＝f（x），稱X為函數(shù)f（x）的定義域，集合{yy=f（x），x∈X}為其值域（值域是Y的子集），x叫做自變量，y叫做因變量，習(xí)慣上也說y是x的函數(shù)。

　　若先定義映射的概念，可以簡(jiǎn)單定義函數(shù)為：定義在非空數(shù)集之間的映射稱為函數(shù)。

　　例1：y＝sinx X＝［0，2π］，Y＝［－1，1］ ，它給出了一個(gè)函數(shù)關(guān)系。當(dāng)然 ，把Y改為Y1＝（a，b） ，a＜b為任意實(shí)數(shù)，仍然是一個(gè)函數(shù)關(guān)系。

　　其深度y與一岸邊點(diǎn) O到測(cè)量點(diǎn)的距離 x 之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系呈曲線，這代表一個(gè)函數(shù)，定義域?yàn)椋?，b］。以上3例展示了函數(shù)的三種表示法：公式法 ， 表格法和圖 像法。

　　一般地，在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量X與Y，并且對(duì)于X的每一個(gè)確定的值，Y都有為一得值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說X是自變量，Y是X的函數(shù)。如果當(dāng)X=A時(shí)Y=B，那么B叫做當(dāng)自變量的值為A時(shí)的函數(shù)值。

　　復(fù)合函數(shù) 有3個(gè)變量，y是u的函數(shù)，y＝ψ（u），u是x的函數(shù)，u＝f（x），往往能形成鏈：y通過中間變量u構(gòu)成了x的函數(shù)：

　　x→u→y，這要看定義域：設(shè)ψ的定義域?yàn)閁 。 f的值域?yàn)閁，當(dāng)U*U時(shí)，稱f與ψ 構(gòu)成一個(gè)復(fù)合函數(shù) ， 例如 y＝lgsinx，x∈（0，π）。此時(shí)sinx＞0 ，lgsinx有意義 。但如若規(guī)定x∈（－π，0），此時(shí)sinx＜0 ，lgsinx無意義，就成不了復(fù)合函數(shù)。

　　立體幾何學(xué)習(xí)中的圖形觀

　　立體幾何的離不開圖形，圖形是一種語言，圖形能幫我們直觀地感受空間線面的位置關(guān)系，培養(yǎng)空間．所以在立體幾何的中，我們要樹立圖形觀，通過作圖、讀圖、用圖、造圖、拼圖、變圖培養(yǎng)我們的．

　　一、作圖

　　作圖是立體幾何學(xué)習(xí)中的基本功，對(duì)培養(yǎng)空間概念也有積極的意義，而且在作圖時(shí)還要用到許多空間線面的關(guān)系．所以作圖是解決立體幾何問題的第一步，作好圖有利于問題的解決．

　　例1 已知正方體中，點(diǎn)P、E、F分別是棱AB、BC、的中點(diǎn)（如圖1)．作出過點(diǎn)P、E、F三點(diǎn)的正方體的截面．

　　分析：作圖是學(xué)習(xí)中的一個(gè)弱點(diǎn)，作多面體的截面又是作圖中的難點(diǎn)．看到這樣的題目不知所云．有的連結(jié)P、E、F得三角形以為就是所求的截面．其實(shí)，作截面就是找兩個(gè)平面的交線，找交線只要找到交線上的兩點(diǎn)即可．觀察所給的條件（如圖2)，發(fā)現(xiàn)PE就是一條交線．又因?yàn)槠矫鍭BCD／／平面，由面面平行的性質(zhì)可得，截面和面的交線一定和PE平行．而F是的中點(diǎn)，故取的中點(diǎn)Q，則FQ也是一條交線．再延長FQ和的延長線交于一點(diǎn)M，由公理3，點(diǎn)M在平面和平面的交線上，連PM交于點(diǎn)K 高中政治，則QK和KP又是兩條交線．同理可以找到FR和RE兩條交線（如圖2).因此，六邊形PERFQK就是所求的截面．

　　二、讀圖

　　圖形中往往包含著深刻的意義，對(duì)圖形理解的程度影響著我們的正確解題，所以讀懂圖形是解決問題的重要一環(huán)．

　　例2 如圖3，在棱長為a的正方體中，EF是棱AB上的一條線段，且EF＝b＜a，若Q是上的定點(diǎn)，P在上滑動(dòng)，則四面體PQEF的體積（ ）．

　　（A)是變量且有最大值（B）是變量且有最小值（C）是變量無最大最小值（D）是常量

　　分析：此題的解決需要我們仔細(xì)分析圖形的特點(diǎn)．這個(gè)圖形有很多不確定因素，線段EF的位置不定，點(diǎn)P在滑動(dòng)，但在這一系列的變化中是否可以發(fā)現(xiàn)其中的穩(wěn)定因素？求四面體的體積要具備哪些條件？

　　仔細(xì)觀察圖形，應(yīng)該以哪個(gè)面為底面？觀察，我們發(fā)現(xiàn)它的形狀位置是要變化的，但是底邊EF是定值，且P到EF的距離也是定值，故它的面積是定值．再發(fā)現(xiàn)點(diǎn)Q到面PEF的距離也是定值．因此，四面體PQEF的體積是定值．我們沒有一點(diǎn)計(jì)算，對(duì)圖形的分析幫助我們解決了問題．

　　三、用圖

　　在立體幾何的學(xué)習(xí)中，我們會(huì)遇到許多似是而非的結(jié)論．要證明它我們一時(shí)無法完成，這時(shí)我們可考慮通過構(gòu)造一個(gè)特殊的圖形來推翻結(jié)論，這樣的圖形就是反例圖形．若我們的心中有這樣的反例圖形，那就可以幫助我們迅速作出判斷．

　　例3判斷下面的命題是否正確：底面是正三角形且相鄰兩側(cè)面所成的二面角都相等的三棱椎是正三棱錐．

　　分析：這是一個(gè)學(xué)生很容易判斷錯(cuò)誤的問題．大家認(rèn)為該命題正確，其實(shí)是錯(cuò)誤的，但大家一時(shí)舉不出例子來加以說明．問題的關(guān)鍵是二面角相等很難處理．我們是否可以考慮用一個(gè)正三棱錐通過變形得到？

　　如圖4，設(shè)正三棱錐的側(cè)面等腰三角形PAB的頂角是，底角是，作的平分線，交PA于E，連接EC．可以證明是等腰三角形，所以AB＝BE．同理EC＝AB．那么，△EBC是正三角形，從而就是滿足題設(shè)的三棱錐，但不是正三棱錐．

　　四、造圖

　　在立體幾何的學(xué)習(xí)中，我們可以根據(jù)題目的特征，精心構(gòu)造一個(gè)相應(yīng)的特殊幾何模型，將陌生復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉簡(jiǎn)單的問題．

　　例4 設(shè)a、b、c是兩兩異面的三條直線，已知，且d是a、b的公垂線，如果，那么c與d的位置關(guān)系是（ ）．

　�。ˋ）相交 （B）平行（C）異面（D）異面或平行

　　分析：判斷空間直線的位置關(guān)系，最佳是構(gòu)造恰當(dāng)?shù)膸缀螆D形，它具有直觀和易于判斷的優(yōu)點(diǎn)．根據(jù)本題的特點(diǎn)，可以考慮構(gòu)造正方體，如圖5，在正方體 中，令A(yù)B＝a，BC＝d，．當(dāng)c為直線時(shí)，c與d平行；當(dāng)c為直線時(shí)，c與d異面，故選D．

　　五、拼圖

　　空間基本圖形由點(diǎn)、線、面構(gòu)成，而一些特殊的圖形也可以通過基本圖形拼接得到．在拼圖的過程中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一些變和不變的東西，從中感悟出這個(gè)圖形的特點(diǎn)，找出解決待求解問題的方法．

　　例5給出任意的一塊三角形紙片，要求剪拼成一個(gè)直三棱柱模型，使它的全面積與給出的三角形的面積相等，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種方案，并加以簡(jiǎn)要的說明．

　　分析：這是2002年立體幾何題中的一部分．這個(gè)設(shè)計(jì)新穎的題目，使許多平時(shí)做慣了證明、計(jì)算題的學(xué)生一籌莫展．這是一道動(dòng)作題，但它不僅是簡(jiǎn)單的剪剪拼拼的動(dòng)作，更重要的是一種心靈的“動(dòng)作”，思維的“動(dòng)作”．受題目敘述的影響，大家往往在想如何折起來？參考答案也是給了一種折的方法．那么這種方法究竟從何而來？其實(shí)逆向思維是這題的一個(gè)很好的切人點(diǎn)．我們思考：展開一個(gè)直三棱柱，如何還原成一個(gè)三角形？

　　把一個(gè)直三棱柱展開后可得到甲、乙兩部分，甲內(nèi)部的三角形和乙是全等的，甲的三角形外是寬相等的三個(gè)矩形．現(xiàn)在的問題是能否把乙分為三部分，補(bǔ)在甲的三個(gè)角上正好成為一個(gè)三角形（如圖丙）？因?yàn)榧字腥�角形外是寬相等的矩形，所以三角形的`頂點(diǎn)應(yīng)該在原三角形的三條角平分線上，又由于面積要相等，所以甲中的三角形的頂點(diǎn)應(yīng)該在原三角形的內(nèi)心和頂點(diǎn)的連線段的中點(diǎn)上（如圖丁）．按這樣的設(shè)計(jì)，剪開后可以折成一個(gè)直三棱柱．

　　六、變圖

　　幾何圖形千變?nèi)f化，在不斷的變化中展示幾何圖形的魅力，在不斷的變化中培養(yǎng)我們的能力，在有意無意的變化中開闊我們的思路．

　　例6 已知在三棱錐中，PA＝a，AB＝AC＝2a，，求三棱錐的體積．

　　分析：此題的解決方法很多，但切割是不錯(cuò)的選擇．

　　思路1 設(shè)D為AB的中點(diǎn)，依題意有：，，所以有：

　　此解法實(shí)際上是把三棱錐一分為二，三棱錐B-PAD的底面是直角三角形，高就是BD，從而大大簡(jiǎn)化了計(jì)算．這種分割的方法也是立體幾何解題中的一種重要策略．它化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，化未知為已知．

　　思路2 從點(diǎn)A出發(fā)的三條棱兩兩夾角為，故可補(bǔ)形為正四面體．

　　如圖，延長AP至S，使PA＝PS，連SB、SC，于是四面體S-ABC為邊長等于2a的正四面體，而且

　　從上述的六個(gè)方面，我們可以看到，在立體幾何的學(xué)習(xí)中如果我們能正確了解圖形,合理利用圖形，不斷變化圖形，一定可以使我們的學(xué)習(xí)更上一個(gè)臺(tái)階．

　　趣談平分

　　把餅?zāi)菢拥奈矬w分成2等份，可以采用一個(gè)人切而讓另一個(gè)人挑的辦法，這樣分的優(yōu)點(diǎn)是很明顯的。在第一個(gè)人看來，他必須把餅分成他認(rèn)為價(jià)值相等的兩部分，才能保證得到他應(yīng)得的那一部分；而第二個(gè)人只要選取價(jià)值大的那一部分，或在兩部分價(jià)值相等的情況下任選其中一部分，就能保證他得到他至少應(yīng)得的那一部分。在這里，我們假定物體具有在分割時(shí)不會(huì)損失它的總價(jià)值。

　　若要把一個(gè)物體分成3或若干等份，我們可以采用這樣的方法：這里以5個(gè)人分配來說明，對(duì)于任意多個(gè)分配者，分法大致是相同的。我們把這5個(gè)人叫做甲、乙、丙、丁、戊。甲有權(quán)利從餅上割下任一部分；乙有把甲所割出的一塊減少的自由，但沒有人強(qiáng)迫他這樣做；然后丙又有減少這一塊的自由，這樣繼續(xù)下去。假定最后是戊接觸這塊餅，那么由戊拿走這塊餅，然后把剩余的餅在甲乙丙丁四人之間平分。第二輪可一用同樣的步驟把參加的人數(shù)減少到三，以此分配下去。現(xiàn)在我們來看，每一個(gè)參加分配的人應(yīng)如何做才能保證自己應(yīng)得的那一部分歸自己。在第一輪甲割下它認(rèn)為值1/5的一塊后，很可能沒有人再去碰它而甲就達(dá)到值1/5的那一部分；在這種情況下，他沒有做錯(cuò)。然而，如果有另一個(gè)或幾個(gè)人減少了這塊餅，那么最后接觸到他的人就要得到它，所以甲當(dāng)然認(rèn)為價(jià)值超過/5的餅被留下由4個(gè)人平分，而他是這4個(gè)人中的一個(gè)。在第二輪甲照前面的辦：如果他仍就是第一個(gè)，那么他割下認(rèn)為有余下部分1/4價(jià)值的那一塊。這個(gè)策略還不完全，我們還應(yīng)指出一個(gè)分配者在他不是第一時(shí)應(yīng)怎樣做。假定乙認(rèn)為甲所個(gè)下的部分太大，也就是比他估計(jì)的整個(gè)餅的1/5大了，那么他只要把它減少到他認(rèn)為適當(dāng)?shù)拇笮�；如果他成為最后一個(gè)減少這部分餅的人，他就得到了它，而且并沒有做錯(cuò)，如果他沒有得到它，那是因?yàn)樵谝乙院笥钟袆e的人接觸了它。因而在乙以后的減小者中有一人要得到被乙認(rèn)為是價(jià)值小于1/5的一塊餅，所以乙在下一輪將參加分配他認(rèn)為價(jià)值大于原來4/5的部分�，F(xiàn)在方法就清楚了：如果你在任一輪中是n個(gè)分配者的第一個(gè)，那么不論放在你面前的是整個(gè)餅還是余下的部分，你總應(yīng)該割下你認(rèn)為價(jià)值時(shí)這部分餅的1/n的一塊；如果你在這一輪中不是第一個(gè)，而且你看到由別人割下的一塊比你估計(jì)的那部分餅的1/n大，那你就把它減小到1/n；如果割下的你估計(jì)的那部分餅的1/n小，那你就不要?jiǎng)铀�。這個(gè)方法保證每一個(gè)人得到他認(rèn)為是應(yīng)得的部分。 高中地理

　　在經(jīng)濟(jì)生活中，存在著另一種分配問題：分配的是不能分割的物體，如房子、家畜、家具、汽車、藝術(shù)品等。例如一筆遺產(chǎn)，包括：一座房子、一座磨坊和一輛汽車，要在享有同等繼承權(quán)的四個(gè)繼承人甲乙丙丁之間分配，需要一個(gè)公正人，請(qǐng)讀者想一想，應(yīng)如何去做？