函數(shù)的傅里葉展開

一、內(nèi)容精要（一）基本概念

1.函數(shù)的傅里葉展開

標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間[-l,l]上的三角函數(shù)系：

1,cos

πx

l

,sin

πx

l

,cos

2πx2πxnπxnπx

,sin,,cos,sin,具正交*。即成立：不同兩個(gè)函數(shù)乘積llll

在[-l,l]上的積分為零，而自身平方在[-l,l]上的積分不為零.（二）重要定理與公式定理7.12

（狄利克雷（dirichlet）定理）如果f(x)是以t=2l為周期的周期函數(shù)，而

且f(x)在[-l,l]上分段光滑，那么f(x)的fourier級(jí)數(shù)在任意點(diǎn)x處都收斂，并且收斂于f(x)在該點(diǎn)左、右極限的平均值，即

a0∞nπxnπxf(x-0)+f(x+0)

+∑(ancos+bnsin)=s(x)=,x∈(-∞,+∞),2n=1ll2

其中an=

1lnπx1lnπx

f(x)cosdx,n=0,1,2,;b=f(x)sin,n=1,2,3,.n??-l-lllll

1．將周期t=2l且知道一個(gè)周期區(qū)間[-l,l]上表達(dá)式f(x)展成傅氏級(jí)數(shù)的步驟：（1）確定f(x)的周期t=2l；

1l1lnπx

f(x)dx,a=f(x)cosdx,n=1,2,3,n??-l-llll1lnπx

dx,n=1,2,3,.稱為f(x)的傅里葉系數(shù)，bn=?f(x)sin

-lll

nπx

若f(x)為偶函數(shù)，由f(x)sin為奇函數(shù)，則bn=0,n=1,2,,若f(x)為奇函數(shù)，知

l

nπx

f(x)cos為奇函數(shù)，則a0=0,an=0,n=1,2,；

l

（2）計(jì)算a0=

a0∞nπxnπx

（3）寫出f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)，+∑(ancos+bnsin);

2n=1ll

（4）

x∈(-∞,+∞),f(x)在x處連續(xù)?f(x),

a0∞nπxnπx?+∑(ancos+bnsin)=s(x)=?f(x-0)+f(x+0)2n=1ll,x∈(-∞,+∞),f(x)在x處不連續(xù)?2?

·293·

特別在x=±l+2kl處(k∈z)，傅氏級(jí)數(shù)和為注：s(x)是周期函數(shù)，周期t=2l.

2．將定義[-l,l]上的函數(shù)f(x)展成傅里葉級(jí)數(shù)的步驟：

f(-l+0)+f(l-0)

.

2

1l1lnπx

dx,n=1,2,3,,（1）計(jì)算a0=?f(x)dx,an=?f(x)cos

l-ll-ll1lnπx

dx,n=1,2,3,.bn=?f(x)sin

-lll

同樣，若f(x)為奇函數(shù)知a0=0,an=0,n=1,2,3,若f(x)為偶函數(shù)，知bn=0,n=1,2,3,；

（2）傅氏級(jí)數(shù)

?f(x),x∈(-l,l),且f(x)連續(xù),

a0∞nπxnπx?

+∑(ancos+bnsin)=s(x)=?f(x-0)+f(x+0)

2n=1llx∈(-l,l)且f(x)不連續(xù)?2?

在x=±l處，傅氏級(jí)數(shù)的和為s(±l)=

f(-l+0)+f(l-0)

2

注：1.傅氏級(jí)數(shù)在某點(diǎn)收斂，與f(x)在該點(diǎn)是否有定義沒關(guān)系.2.s(x)是周期函數(shù)，周期t=2l.

當(dāng)x∈(2kl-l,2kl+l)時(shí)，x-2kl∈(-l,l)，則

s(x)=s(x-2kl)=

f(x-2kl-0)+f(x-2kl+0)f(-l+0)+f(l-0)

，s(2kl±l)=.

22

3．將定義在(0,l)上的函數(shù)展成正弦級(jí)數(shù)的步驟：（1）計(jì)算bn=

2ιnπx

f(x)sindx,n=1,2,3,,而an=0,n=0,1,2,3,；?0ll

∞

x∈(0,l)且f(x)連續(xù)，?f(x)，

nπx?

（2）正弦級(jí)數(shù)∑bnsin=?f(x-0)+f(x+0)

l,x∈(0,l),且f(x)不連續(xù)。n=1?2?

s(0)=s(l)=0.

注：s(x)是奇函數(shù)、周期函數(shù)，周期t=2l當(dāng)x∈(-l,0)時(shí)，有-x∈(0,l)，s(x)=-s(-x)=-當(dāng)x∈(2kl-l,2kl+l)時(shí)，x-2kl∈(-l,l)，則

f(-x+0)+f(x-0)

2

s(x)=s(x-2kl).

4．將定義在(0,l)上的函數(shù)展成余弦級(jí)數(shù)的步驟：

··294

2τ2τnπx

dx;n=1,2,3,，（1）計(jì)算a0=?f(x)dx，an=?f(x)cos

l0l0l

而bn=0,n=1,2,3,；

?f(x),x∈(0,l）且f(x)連續(xù)，a0∞nπx?

（2）余弦級(jí)數(shù)+∑ancos=s(x)=?f(x-0)+f(x+0)

2n=1l,x∈(0,l）且f(x)不連續(xù).?2?

s(0)=limf(x);s(l)=limx→ι'f(x).x→0+

注：s(x)是偶函數(shù)、周期函數(shù)，周期t=2l當(dāng)x∈(-l,0)時(shí)，有-x∈(0,l)，s(x)=s(-x)=當(dāng)x∈(2kl-l,2kl+l)時(shí)，x-2kl∈(-l,l)，則

f(-x+0)+f(x-0)

2s(x)=s(x-2kl).

二、考題類型、解題策略及典型例題

類型1.1函數(shù)展成傅里葉級(jí)數(shù)

解題策略函數(shù)展成傅里葉級(jí)數(shù)的方法比較規(guī)范，技巧不大。可按內(nèi)容提要中函數(shù)展成傅里

葉級(jí)數(shù)的步驟去做，關(guān)健在于計(jì)算a0,an,bn(n=1,2,3,)，要利用定積分，很多情況下要利用分部積分，需要仔細(xì)，在計(jì)算之前，考察f(x)是奇函數(shù)，則an=0(n=0,1,2,),f(x)是偶函數(shù)，則

bn=0(n=1,2,)，以簡化計(jì)算.

例11.1函數(shù)f(x)=x2,x∈[0,π]試求

（1）f(x)在[0,π]上的正弦級(jí)數(shù)；（2）f(x)在[0,π]上的余弦級(jí)數(shù)；（3）f(x)在[0,π]上以π為周期的傅里葉級(jí)數(shù).

解（1）由f(x)在[0,π]上展成正弦級(jí)數(shù)，有an=0,n=0,1,2,,bn=

2

π

?

π

2?-x2cosnx2xsinnx2cosnx?π

xsinnxdx=?++?023

π?nnn?

2

2π(-1)n4[1-(-1)n]

-,n=1,2,,=3

nπn

因此，f(x)=x在[0,π]上展開的正弦級(jí)數(shù)為

2

·295·

?x2,0≤x

∑?-?sinnx=?3

πn=1?nn??0,x=π.

2

∞

[]

（2）由f(x)在[0,π]上展成余弦級(jí)數(shù)，則bn=0,n=1,2,3,,a0=

2

π

?

π

2

x2dx=π2,

3

an=

2

π

?

π

2?x2sinnx2xcosnx2sinnx?π4(-1)n

xsinnxdx=?+-,n=1,2,,?0=

π?nn2n3?n2

2

(-1)n

因此，f(x)在[0,π]上的余弦展開式為+4∑2cosnx=x2,0≤x≤π.

3n=1n

∞

π2

π

（3）由2l=π,l==

π

2

,a0=

2

π

?

222π2

xdx=π,an=?xcos2nxdx

3π0

2

2?12111?π

xsin2nx+xcos2nx-sin2nx=,n=1,2,,0232??π?2n2函數(shù)的傅里葉展開n4nn?

bn=

2

π

?

π

2?-x2cos2nxxsin2nxcos2nx?ππxsin2nxdx=?++=-,n=1,2,.?023

π?2nn2n4n?

2

因此f(x)在[0,π]上的傅葉里級(jí)數(shù)是

π3

π?1?

+∑2cos2nx-sin2nx?=x2,0

∞

這個(gè)例子告訴我，可以根據(jù)不同的需要，把一函數(shù)采用不同的方式展開為相應(yīng)形式的傅里葉級(jí)

數(shù)形式，以便有利于解決問題。

cos(2n+1)nxπ2π2

例11.2*等式∑=-x,-1≤x≤1，并由此求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)2

84(2n+1)n=0

∞

∞

11

的和�！啤�22

n=0(2n+1)n=1n

∞

*只要把f(x)=x在[-1,1]上展成余弦級(jí)數(shù)，由f(x)是偶函數(shù)，則bn=0,n=1,2,3,

121212[(-1)n-1]

,n=1,2,3,,a0=?xdx=1,an=?xcosnπxdx=2?xcosnπdx=2200101πn

由f(x)在-1≤x≤1上連續(xù)，且f(-1)=f(1)，得

1∞2(-1)n-11∞-4

+∑cosnπx=+cos(2m+1)πx=x,-1≤x≤1,∑2n=1π2n22m=0π2(2m+1)2

∞

cos(2n+1)πxπ2π21π2

所以∑=-|x|,-1≤x≤1.在上述等式中令x=0得∑=,22

848(2n+1)n=0n=0(2n+1)

∞

[]

··296

∞∞∞

1111

由∑2是正項(xiàng)收斂級(jí)數(shù)，∑2=∑+,∑22

n=1nn=1nn=0(2n+1)n=1(2n)∞

∞∞3∞11π21π2

=,從而∑2=.∑=∑4n=1n2n=0(2n+1)286n=1n

1?x,0≤x≤?a0∞?2

s(x)=+∑ancosnπx，-∞

2n=1

?2-2x,1

an=2?f(x)cosnπxdx(n=0,1,2,),求s(-).

02

1

分析由余弦級(jí)數(shù)s(x)為偶函數(shù)，為周期函數(shù)，周期t=2，利用這些*質(zhì)把s(-)轉(zhuǎn)化到（0，1）上的函數(shù)值，從而與f(x)聯(lián)系上。

5

2

1111f(-0)+f(+0)+(2-2?)

51111=3.解s(-)=s(-2-)=s(-)=s()=f()==22222224

·297·

第2篇：書畫展開幕式邀請(qǐng)函

書畫展開幕式邀請(qǐng)函一

尊敬的(先生女士)

您好!

在元旦新年佳節(jié)來臨之際，由廈門市美術(shù)家協(xié)會(huì)、廈門市書法家協(xié)會(huì)、湖里區(qū)教育局聯(lián)合主辦書畫家進(jìn)校園謝水墨書畫展，誠邀您于2023年12月31日上午10:00前往湖里實(shí)驗(yàn)小學(xué)參加開幕式!

書畫展開幕式邀請(qǐng)函二

尊敬的家長及可愛的孩子們:

你們好!*書畫博大精深，是我們?nèi)≈�不盡的藝術(shù)源泉，國子監(jiān)教育為了進(jìn)一步做好藝術(shù)文化教學(xué)的探討和交流，更好的學(xué)習(xí)和弘揚(yáng)中華傳統(tǒng)文化，讓學(xué)員及愛好書畫的朋友們?cè)诳鞓分畜w會(huì)藝術(shù)無限的魅力，我們誠摯的邀請(qǐng)你們參加國子監(jiān)教育舉辦的第一屆墨韻書畫展的開幕式!

主題:情當(dāng)濃如墨，韻當(dāng)?shù)�如�?/p>

時(shí)間:12月24日上午9:00

內(nèi)容:1、參加書畫展開幕式。

2、本校區(qū)家長及學(xué)員們請(qǐng)移步到各科教室與老師溝通交流學(xué)員年度交流學(xué)員年度學(xué)習(xí)匯報(bào)。

3、非本校區(qū)的家長參觀校區(qū)及了解更多寒假優(yōu)惠活動(dòng)(轉(zhuǎn)發(fā)公眾號(hào)內(nèi)容到朋友圈集贊截圖反饋可獲得相應(yīng)優(yōu)惠)

地點(diǎn):國子監(jiān)教育前門

特此邀請(qǐng)!歡迎您的光臨!!!

參加此次畫展的家長都可以參與以下兩種活動(dòng):

1、100元代金券:國子監(jiān)教育為回饋新老客戶特推出集贊抵現(xiàn)金活動(dòng)!轉(zhuǎn)發(fā)朋友圈集贊滿5個(gè)贊可領(lǐng)取代金券100元，該代金券適用于新生老生報(bào)讀寒假班學(xué)費(fèi)及常規(guī)班(雙科或多科)半年至一年課程，截止時(shí)間至2023年1月10日。

一個(gè)微信號(hào)限領(lǐng)一次(需添加此微信號(hào)發(fā)送截圖方可領(lǐng)取)每天限量30個(gè)名額!先到先得!還在等什么?動(dòng)動(dòng)您的手指趕快去集贊吧!

2、拼團(tuán)巨惠:可參與2-4人拼班團(tuán)報(bào)，折后價(jià)立減300元!。。

可參與5-7人拼班團(tuán)報(bào)，折后價(jià)立減500元!

老生續(xù)報(bào)半年至一年課程，參團(tuán)成功后再減300元!

支付100元定金參加拼團(tuán)，拼團(tuán)成功需立即報(bào)名。

地址:寶安西鄉(xiāng)街道碧海富通城三期(農(nóng)行旁)國子監(jiān)

電話:xxxxxxxxxxxxxxxxxx李老師

本次活動(dòng)最終解釋權(quán)歸xxxxxx有限公司

第3篇：參展的邀請(qǐng)函

參展邀請(qǐng)函篇一：

dearsirs/madam:

weherebysincerelyinviteyouandyourpanyrepresentativestovisitourboothatthecontinentalexhibitioncenterfromapril15thto20th20xx.

we’reoneofthemanufacturersspecializedinsanitaryware,concludingone&twopiecetoilet,washbasin,cabibasin,pedestalbasin,bidet,urinal,counterbasin,decoratedceramicsandsoon.ournewmodelsoffersuperbdesignandtheirnewfeaturesgivethemdistinctadvantagesoversimilarproductsfromothermanufacturers.

itwouldbeagreatpleasuretomeetyouattheexhibition.weexpecttoestablishlong-termbusinessrelationswithyourpanyinfuture.

exhibitioncenter:thecontinentalexhibitioncenter

boothnumber:g-k105g-k-106

date:apr15thto20th20xx

bestregards

參展邀請(qǐng)函篇二：

dearxxx,

wetreasureeveryopportunitytomeetwithyou,ourvaluedcustomer.

from28april-1may20xx,wewillbeexhibitingatthe“hongkonggifts&premiumfair20xx″.

wecordiallyinviteyoutovisitourbooth.

ourboothnumberis3d11inhall3.

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withpliments

xxxx(panyname)

參展邀請(qǐng)函篇三：

thecontinentalcentreisamagnificenttradefairvenueinpazhou.youcanreachuseasilybyanyofthefollowing4ways:

bymetro(subway)—takemetroline2towardpazhouandgetoffatpazhoustation(nexttoxingangdong),exitd.(thefastestwaywheningfromliuhuaarea)

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bycacfairshuttlebus—takecacfairfreeshuttlebuswheningfromcantonfairpazhouplexoreasternrailwaystation.

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cacfairaddressinch

inese:<p