實(shí)數(shù)與實(shí)數(shù)的定義
實(shí)數(shù)與實(shí)數(shù)的定義
實(shí)數(shù),是有理數(shù)和無理數(shù)的總稱。數(shù)學(xué)上,實(shí)數(shù)定義為與數(shù)軸上的點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的數(shù)。下面是小編為您收集整理的有關(guān)實(shí)數(shù)與實(shí)數(shù)的定義相關(guān)資料,希望對(duì)您有所幫助。
實(shí)數(shù)的定義
實(shí)數(shù)可以直觀地看作有限小數(shù)與無限小數(shù),實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。但僅僅以列舉的方式不能描述實(shí)數(shù)的整體。實(shí)數(shù)和虛數(shù)共同構(gòu)成復(fù)數(shù)。
實(shí)數(shù)可以分為有理數(shù)和無理數(shù)兩類,或代數(shù)數(shù)和超越數(shù)兩類。實(shí)數(shù)集通常用黑正體字母 R 表示。R表示n 維實(shí)數(shù)空間。實(shí)數(shù)是不可數(shù)的。實(shí)數(shù)是實(shí)數(shù)理論的核心研究對(duì)象。
所有實(shí)數(shù)的集合則可稱為實(shí)數(shù)系(real number system)或?qū)崝?shù)連續(xù)統(tǒng)。任何一個(gè)完備的阿基米德有序域均可稱為實(shí)數(shù)系。在保序同構(gòu)意義下它是惟一的,常用R表示。由于R是定義了算數(shù)運(yùn)算的運(yùn)算系統(tǒng),故有實(shí)數(shù)系這個(gè)名稱。
實(shí)數(shù)可以用來測(cè)量連續(xù)的'量。理論上,任何實(shí)數(shù)都可以用無限小數(shù)的方式表示,小數(shù)點(diǎn)的右邊是一個(gè)無窮的數(shù)列(可以是循環(huán)的,也可以是非循環(huán)的)。在實(shí)際運(yùn)用中,實(shí)數(shù)經(jīng)常被近似成一個(gè)有限小數(shù)(保留小數(shù)點(diǎn)后 n 位,n為正整數(shù))。在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域,由于計(jì)算機(jī)只能存儲(chǔ)有限的小數(shù)位數(shù),實(shí)數(shù)經(jīng)常用浮點(diǎn)數(shù)來表示。
歷史
在公元前500年左右,以畢達(dá)哥拉斯為首的希臘數(shù)學(xué)家們認(rèn)識(shí)到有理數(shù)在幾何上不能滿足需要,但畢達(dá)哥拉斯本身并不承認(rèn)無理數(shù)的存在。 直到17世紀(jì),實(shí)數(shù)才在歐洲被廣泛接受。18世紀(jì),微積分學(xué)在實(shí)數(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來。1871年,德國數(shù)學(xué)家康托爾第一次提出了實(shí)數(shù)的嚴(yán)格定義。
根據(jù)日常經(jīng)驗(yàn),有理數(shù)集在數(shù)軸上似乎是“稠密”的,于是古人一直認(rèn)為用有理數(shù)即能滿足測(cè)量上的實(shí)際需要。以邊長為1厘米的正方形為例,其對(duì)角線有多長?在規(guī)定的精度下(比如誤差小于0.001厘米),總可以用有理數(shù)來表示足夠精確的測(cè)量結(jié)果(比如1.414厘米)。但是,古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn),只使用有理數(shù)無法完全精確地表示這條對(duì)角線的長度,這徹底地打擊了他們的數(shù)學(xué)理念;他們?cè)詾椋?/p>
任何兩條線段(的長度)的比,可以用自然數(shù)的比來表示。
正因如此,畢達(dá)哥拉斯本人甚至有“萬物皆數(shù)”的信念,這里的數(shù)是指自然數(shù)(1 , 2 , 3 ,...),而由自然數(shù)的比就得到所有正有理數(shù),而有理數(shù)集存在“縫隙”這一事實(shí),對(duì)當(dāng)時(shí)很多數(shù)學(xué)家來說可謂極大的打擊;見第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。
從古希臘一直到17世紀(jì),數(shù)學(xué)家們才慢慢接受無理數(shù)的存在,并把它和有理數(shù)平等地看作數(shù);后來有虛數(shù)概念的引入,為加以區(qū)別而稱作“實(shí)數(shù)”,意即“實(shí)在的數(shù)”。在當(dāng)時(shí),盡管虛數(shù)已經(jīng)出現(xiàn)并廣為使用,實(shí)數(shù)的嚴(yán)格定義卻仍然是個(gè)難題,以至函數(shù)、極限和收斂性的概念都被定義清楚之后,才由十九世紀(jì)末的戴德金、康托等人對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行了嚴(yán)格處理。
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