第1篇：二次函數(shù)與一元二次方程教案設計

教學目標

（一）教學知識點

1、能夠利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似根。

2、進一步發(fā)展估算能力。

（二）能力訓練要求

1、經歷用圖象法求一元二次方程的近似根的過程，獲得用圖象法求方程近似根的體驗。

2、利用圖象法求一元二次方程的近似根，重要的是讓學生懂得這種求解方程的思路，體驗數(shù)形結合思想。

（三）情感與價值觀要求

通過利用二次函數(shù)的圖象估計一元二次方程的根，進一步掌握二次函數(shù)圖象與x軸的交點坐標和一元二次方程的根的關系，提高估算能力。

教學重點

1、經歷探索二次函數(shù)與一元二次方程的關系的過程，體會方程與函數(shù)之間的聯(lián)系。

2、能夠利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似根。

教學難點

利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似根。

教學方法

學生合作交流學習法。

教具準備

投影片三張

第一張：（記作2。8。2a）

第二張：（記作2。8。2b）

第三張：（記作2。8。2c）

教學過程

Ⅰ、創(chuàng)設問題情境，引入新課

[師]上節(jié)課我們學習了二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖象與x軸的交點坐標和一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的關系，懂得了二次函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標，就是y=0時的一元二次方程的根，于是，我們在不解方程的情況下，只要知道二次函數(shù)與x軸交點的橫坐標即可。但是在圖象上我們很難準確地求出方程的解，所以要進行估算。本節(jié)課我們將學習利用二次函數(shù)的圖象估計一元二次方程的根。

第2篇：《二次函數(shù)與一元二次方程》數(shù)學教案

教學目標

一、教學知識點

1、經歷探索二次函數(shù)與一元二次方程的關系的過程，體會方程與函數(shù)之間的聯(lián)系.

2、理解二次函數(shù)與x軸交點的個數(shù)與一元二次方程的根的關系，理解何時方程有兩個不等的實根、兩個相等的實根和沒有實根.

3、理解一元二次方程的根就是二次函數(shù)與y=h交點的橫坐標.

二、能力訓練要求

1、經歷探索二次函數(shù)與一元二次方程的關系的過程，培養(yǎng)學生的探索能力和創(chuàng)新精神

2、通過觀察二次函數(shù)與x軸交點的個數(shù)，討論一元二次方程的根的情況，進一步培養(yǎng)學生的數(shù)形結合思想.

3、通過學生共同觀察和討論，培養(yǎng)合作交流意識.

三、情感與價值觀要求

1、經歷探索二次函數(shù)與一元二次方程的關系的過程，體驗數(shù)學活動充滿著探索與創(chuàng)造，感受數(shù)學的嚴謹*以及數(shù)學結論的確定*.

2、具有初步的創(chuàng)新精神和實踐能力.

教學重點

1.體會方程與函數(shù)之間的聯(lián)系.

2.理解何時方程有兩個不等的實根、兩個相等的實根和沒有實根.

3.理解一元二次方程的根就是二次函數(shù)與y=h交點的橫坐標.

教學難點

1、探索方程與函數(shù)之間的聯(lián)系的過程.

2、理解二次函數(shù)與x軸交點的個數(shù)與一元二次方程的根的個數(shù)之間的關系.

教學方法

討論探索法

教學過程：

1、設問題情境，引入新課

我們已學過一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的關系，你還記得嗎？

它們之間的關系是：當一次函數(shù)中的函數(shù)值y=0時，一次函數(shù)y=kx+b就轉化成了一元一次方程kx+b=0，且一次函數(shù)的圖像與x軸交點的橫坐標即為一元一次方程kx+b=0的解.

現(xiàn)在我們學習了一元二次方程和二次函數(shù)，它們之間是否也存在一定的關系呢？本節(jié)課我們將探索有關問題.

2、新課講解

例題講解

我們已經知道，豎直上拋物體的高度h(m)與運動時間t(s)的關系可以用公式h=－5t2+v0t+h0表示，其中h0(m)是拋出時的高度，v0(m/s)是拋出時的速度.一個小球從地面被以40m/s速度豎直向上拋起，小球的高度h(m)與運動時間t(s)的關系如下圖所示，那么

（1）h與t的關系式是什么？

（2）小球經過多少秒后落地？你有幾種求解方法？

小組交流，然后發(fā)表自己的看法.

學生交流：（1）h與t的關系式是h=－5t2+v0t+h0，其中的v0

為40m/s，小球從地面拋起，所以h0=0.把v0,h0帶入上式即可

求出h與t的關系式h=－5t2+40t

（2）小球落地時h為0，所以只要令h=－5t2+v0t+h0中的h=0求出t即可.也就是

－5t2+40t=0

t2－8t=0

∴t（t－8）=0

∴t=0或t=8

t=0時是小球沒拋時的時間，t=8是小球落地時的時間.

也可以觀察圖像，從圖像上可看到t=8時小球落地.

議一議

二次函數(shù)①y=x2+2x②y=x2－2x+1③y=x2－2x+2的圖像如下圖所示

（1）每個圖像與x軸有幾個交點？

（2）一元二次方程x2+2x=0,x2－2x+1=0有幾個根？解方程驗*一下,一元二次方程x2－2x+2=0有根嗎？

（3）二次函數(shù)的圖像y=ax2+bx+c與x軸交點的坐標與一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么關系？

學生討論后，解答如下：

（1）二次函數(shù)①y=x2+2x②y=x2－2x+1③y=x2－2x+2的圖像與x軸分別有兩個交點、一個交點，沒有交點.

（2）一元二次方程x2+2x=0有兩個根0，-2；x2－2x+1=0有兩個相等的實數(shù)根1或一個根1；方程x2－2x+2=0沒有實數(shù)根

（3）從圖像和討論知，二次函數(shù)y=x2+2x與x軸有兩個交點（0,0）,(-2,0)，方程x2+2x=0有兩個根0，-2;

二次函數(shù)y=x2－2x+1的圖像與x軸有一個交點(1,0),方程x2－2x+1=0有兩個相等的實數(shù)根1或一個根1

二次函數(shù)y=x2－2x+2的圖像與x軸沒有交點,方程x2－2x+2=0沒有實數(shù)根

由此可知，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸交點的橫坐標即為一元二次方程ax2+bx+c=0的根.

小結：

二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸交點有三種情況：有兩個交點、一個交點、沒有焦點.當二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸有交點時，交點的橫坐標就是當y=0時自變量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.

基礎練習

1、判斷下列各拋物線是否與x軸相交，如果相交，求出交點的坐標.

（1）y=6x2-2x+1（2）y=-15x2+14x+8（3）y=x2-4x+4

2、已知拋物線y=x2-6x+a的頂點在x軸上，則a=；若拋物線與x軸有兩個交點，則a的范圍是

3、已知拋物線y=x2-3x+a+1與x軸最多只有一個交點，則a的范圍是.

4、已知拋物線y=x2+px+q與x軸的兩個交點為（-2，0），（3，0），則p=，q=.

5.已知拋物線y=-2(x+1)2+8①求拋物線與y軸的交點坐標;②求拋物線與x軸的兩個交點間的距離.

6、拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象全部在軸下方的條件是（）

（a）a＜0b2-4ac≤0（b）a＜0b2-4ac＞0

（b）（c）a＞0b2-4ac＞0(d)a＜0b2-4ac＜0

想一想

在本節(jié)一開始的小球上拋問題中，何時小球離地面的高度是60m？你是怎樣知道的？

學生交流：在式子h=－5t2+v0t+h0中v0為40m/s，h0=0，h=60m，代入上式得

－5t2+40t=60

t2?8t+12=0

∴t=2或t=6

因此當小球離開地面2秒和6秒時，高度是60m.

小結：本節(jié)課學習了如下內容：

1、若一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根是x1、x2，則拋物線y=ax2+bx+c與x軸的兩個交點坐標分別是a（x1，0），b（x2，0）

2、一元二次方程ax2+bx+c=0與二次三項式ax2+bx+c及二次函數(shù)y=ax2+bx+c這三個“二次”之間互相轉化的關系.體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想3、二次函數(shù)y=ax2+bx+c何時為一元二次方程?

第3篇：《二元一次方程與一次函數(shù)》教學設計

教學目標

1．知識與能力目標

（1）二元一次方程和一次函數(shù)的關系。

（2）二元一次方程組的圖象解法。

（3）通過學生的思考和*作，力圖提示出方程與圖象之間的關系，引入二元一次方程組的圖象解法。同時培養(yǎng)學生初步的數(shù)形結合的意識和能力。

2．情感態(tài)度價值觀目標

通過學生的自主探索，提示出方程和圖象之間的對應關系，加強新舊知識的聯(lián)系，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識，激發(fā)了學生學習數(shù)學的興趣，使學生體驗數(shù)學活動充滿探索與創(chuàng)造。

教材分析

前面已經分別學習了一次函數(shù)和二元一次方程組，這節(jié)課研究二元一次方程組（數(shù)）和一次函數(shù)（形）的關系，是這兩章知識的綜合運用。強化了部分與整體的內在聯(lián)系，知識與知識的內在聯(lián)系，并為今后解析幾何的學習奠定基礎。

教學重點

1、二元一次方程和一次函數(shù)的關系。

2、能根據(jù)一次函數(shù)的圖象求二元一次方程組的近似解。

教學難點

方程和函數(shù)之間的對應關系即數(shù)形結合的意識和能力。

教學方法

學生*作------自主探索的方法

學生通過自己*作和思考，結合新舊知識的聯(lián)系，自主探索出方程與圖象之間的對應關系，以引入二元一次方程組的圖象解法，同時也建立了“數(shù)”----二元一次方程組和“形”----函數(shù)的圖象（直線）之間的對應關系，培養(yǎng)了學生數(shù)形結合的意識和能力。

教學過程

一．故事引入

迪卡兒的故事------蜘蛛給予的啟示

十七世紀法國數(shù)學家迪卡兒有一次生病臥床，他看見屋頂上的一只蜘蛛順著絲左右爬行。迪卡兒看到蜘蛛的“表演”猛的機靈一動。他想，可以把蜘蛛看成一個點，它可以上、下、左、右運動，能不能把蜘蛛的位置用一組數(shù)確定下來呢？

在蜘蛛爬行的啟示下，迪卡兒創(chuàng)建了直角坐標系，在坐標系下幾何圖形（形）和方程（數(shù)）建立聯(lián)系。迪卡兒坐標系起到了橋梁和紐帶的作用。從而我們可以把圖形化成方程來研究，也可以用圖象來研究方程。

這節(jié)課我們就來研究二元一次方程（數(shù)）與一次函數(shù)（形）的關系。

二．嘗試探疑

1、y=x+1

你們把我叫一次函數(shù)，我也是二元一次方程啊！這是怎么回事，你知道嗎？

學生先是疑惑：方程就是方程，函數(shù)就是函數(shù)，它們能有什么聯(lián)系呢？然后通過思考、交流，最后恍然大悟。初步感受一次函數(shù)與二元一次方程的內在聯(lián)系。

2、函數(shù)y=x+1上的任意一點的坐標是否滿足方程x-y=-1？

以方程x-y=-1的解為坐標的點在不在函數(shù)y=x+1的圖象上？方程x-y=-1與函數(shù)y=x+1有何關系？

學生會迫不及待地拿起筆來計算。從函數(shù)y=x+1圖象上找?guī)讉�點看它們的坐標是否滿足方程x-y=-1。結果都滿足。然后學生就會自主和同伴交流，問一問同伴函數(shù)y=x+1圖象上的點滿足不滿足方程x-y=-1。結果也都滿足。這樣他們就會搭成共識：函數(shù)y=x+1上的任意一點的坐標都滿足方程x-y=-1。

然后學生會用同樣的方法得出另一個結論：以方程x-y=-1的解為坐標的點一定在函數(shù)y=x+1的圖象上。然后開始思索函數(shù)y=x+1和方程x-y=-1到底有何關系呢？通過交流自動得出結論：以方程x-y=-1的解為坐標的點組成的圖象與一次函數(shù)y=x+1的圖象相同。

3。在同一坐標系下，化出y=x+1與y=4x-2的圖象，他們的交點坐標是什么？

方程組y=x+1的解是什么？二者有何關系？

y=4x-2

學生根據(jù)畫圖象的方法畫出兩函數(shù)圖象，畫出交點坐標。用消元法解出方程組的解。學生會大吃一驚：兩者出奇地相近或者干脆就相同。這是怎么回事呢？然后開始探究二者關系。通過交流、討論得出結論：函數(shù)y=x+1和y=4x-2的交點坐標就是由兩個函數(shù)表達式組成的方程組

y=x+1的解。

y=4x-2

教師作最后總結：因為函數(shù)和方程有以上關系，所以我們就可以用圖象法解決方程問題，也可以用方程的方法解決圖象問題。

三．方程與函數(shù)關系的應用

解方程組x-2y=-2

2x-y=2

學生會很快的用消元法解出來。

老師發(fā)問：誰還有其他的方法？如果有，鼓勵學生大膽提出。并給予口頭表揚。如果沒有人用其他的方法，老師提出問題：你能不能用圖象的方法求方程組的解呢？這時，學生就會去探索新的思路、方法。

一回憶方程與函數(shù)的關系，有了！方程組的解不就是兩個方程變形得到的兩個函數(shù)圖象的交點坐標嗎？學生就會迅速動筆用這種方法把方程解出來。作完之后，互相交流。學生總結一下做題步驟：

1。把兩個方程都化成函數(shù)表達式的形式。

2。畫出兩個函數(shù)的圖象。

3。畫出交點坐標，交點坐標即為方程組的解。

問題又出來了，有的同學的解是x=2有的同學的解是x=2。1y=2。1

y=1。9有的同學的解是……雖然都和消元法得到的結果相近，但各不相同。

老師提問：你能說一下用圖象法解方程組的不足嗎？

學生爭先恐后的回答：用這種方法求的解是近似值。不準確。學生提出疑問：既然不準確，那學習它有什么用呢？用消元法就足夠了！

教師解釋一下：在現(xiàn)實生活和生產中，我們會遇到特別復雜的方程，用消元法解不太容易，我們就可以用電腦繪制成函數(shù)圖象，很容易找出交點坐標。教師可以用z+z智能教育平臺演示一下。

[點評]用作圖象的方法解方程組，這體現(xiàn)了兩個知識點的內在聯(lián)系。學數(shù)學知識，探索知識點之間的聯(lián)系，可起到化新為舊的作用，達到事半功倍的效果。逐步讓學生學會這種學習新知識的技巧。

四．引申

方程組x+y=2

x+y=5解的情況如何？你能從函數(shù)的角度解釋一下嗎？

學生用消元法開始解方程組，結果無解，怎么回事呢？學生會嘗試運用方程組的圖象解法。畫出兩個函數(shù)圖象。*有了！圖象是平行的，沒有交點。所以方程組無解了。哇！太神奇了！方程的問題可以用圖象的方法解決了。

[點評]因為有了上面的用作圖象法解方程組，在這里，學生就會自覺地從函數(shù)的角度探究方程的問題，初步具有了數(shù)形結合的意識和能力。

五．課后小結

本節(jié)課我們通過*作和思考，揭示了二元一次方程和函數(shù)圖象之間的對應關系，從而引入二元一次方程組的圖象解法，同時也建立了“數(shù)”----二元一次方程與“形”------函數(shù)圖象之間的對應關系，培養(yǎng)了學生初步的數(shù)形結合的意識和能力。

六．作業(yè)

1。用作圖象法解方程組2x+y=4

2x-3y=12

2。如圖，直線l、l相交于點a，試求出a點坐標。

教學反思

這節(jié)課由故事引入，激發(fā)了學生極大的學習興趣。然后提出了三個尖銳的問題，讓學生嘗試探索，在探索中既體會到了探索的艱*，又體會到了成功的喜悅。在應用和引申過程當中，盡量讓學生自主的發(fā)現(xiàn)問題，自主的解決問題。學生在緊張、愉快中完成了這節(jié)課的學習。

北師大版八年級上第七章二元一次方程組第六節(jié)202頁----204頁

《二元一次方程與一次函數(shù)》教學設計

鹿泉市上莊鎮(zhèn)中學張亞茹

教學目標

1．知識與能力目標

（1）二元一次方程和一次函數(shù)的關系。

（2）二元一次方程組的圖象解法。

（3）通過學生的思考和*作，力圖提示出方程與圖象之間的關系，引入二元一次方程組的圖象解法。同時培養(yǎng)學生初步的數(shù)形結合的意識和能力。

2．情感態(tài)度價值觀目標

通過學生的自主探索，提示出方程和圖象之間的對應關系，加強新舊知識的聯(lián)系，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識，激發(fā)了學生學習數(shù)學的興趣，使學生體驗數(shù)學活動充滿探索與創(chuàng)造。

教材分析

前面已經分別學習了一次函數(shù)和二元一次方程組，這節(jié)課研究二元一次方程組（數(shù)）和一次函數(shù)（形）的關系，是這兩章知識的綜合運用。強化了部分與整體的內在聯(lián)系，知識與知識的內在聯(lián)系，并為今后解析幾何的學習奠定基礎。

教學重點

1、二元一次方程和一次函數(shù)的關系。

2、能根據(jù)一次函數(shù)的圖象求二元一次方程組的近似解。

教學難點

方程和函數(shù)之間的對應關系即數(shù)形結合的意識和能力。

教學方法

學生*作------自主探索的方法

學生通過自己*作和思考，結合新舊知識的聯(lián)系，自主探索出方程與圖象之間的對應關系，以引入二元一次方程組的圖象解法，同時也建立了“數(shù)”----二元一次方程組和“形”----函數(shù)的圖象（直線）之間的對應關系，培養(yǎng)了學生數(shù)形結合的意識和能力。

教學過程

一．故事引入

迪卡兒的故事------蜘蛛給予的啟示

十七世紀法國數(shù)學家迪卡兒有一次生病臥床，他看見屋頂上的一只蜘蛛順著絲左右爬行。迪卡兒看到蜘蛛的“表演”猛的機靈一動。他想，可以把蜘蛛看成一個點，它可以上、下、左、右運動，能不能把蜘蛛的位置用一組數(shù)確定下來呢？

在蜘蛛爬行的啟示下，迪卡兒創(chuàng)建了直角坐標系，在坐標系下幾何圖形（形）和方程（數(shù)）建立聯(lián)系。迪卡兒坐標系起到了橋梁和紐帶的作用。從而我們可以把圖形化成方程來研究，也可以用圖象來研究方程。

這節(jié)課我們就來研究二元一次方程（數(shù)）與一次函數(shù)（形）的關系。

二．嘗試探疑

1、y=x+1

你們把我叫一次函數(shù)，我也是二元一次方程啊！這是怎么回事，你知道嗎？

學生先是疑惑：方程就是方程，函數(shù)就是函數(shù)，它們能有什么聯(lián)系呢？然后通過思考、交流，最后恍然大悟。初步感受一次函數(shù)與二元一次方程的內在聯(lián)系。

2、函數(shù)y=x+1上的任意一點的坐標是否滿足方程x-y=-1？

以方程x-y=-1的解為坐標的點在不在函數(shù)y=x+1的圖象上？方程x-y=-1與函數(shù)y=x+1有何關系？

學生會迫不及待地拿起筆來計算。從函數(shù)y=x+1圖象上找?guī)讉�點看它們的坐標是否滿足方程x-y=-1。結果都滿足。然后學生就會自主和同伴交流，問一問同伴函數(shù)y=x+1圖象上的點滿足不滿足方程x-y=-1。結果也都滿足。這樣他們就會搭成共識：函數(shù)y=x+1上的任意一點的坐標都滿足方程x-y=-1。

然后學生會用同樣的方法得出另一個結論：以方程x-y=-1的解為坐標的點一定在函數(shù)y=x+1的圖象上。然后開始思索函數(shù)y=x+1和方程x-y=-1到底有何關系呢？通過交流自動得出結論：以方程x-y=-1的解為坐標的點組成的圖象與一次函數(shù)y=x+1的圖象相同。

3。在同一坐標系下，化出y=x+1與y=4x-2的圖象，他們的交點坐標是什么？

方程組y=x+1的解是什么？二者有何關系？

y=4x-2

學生根據(jù)畫圖象的方法畫出兩函數(shù)圖象，畫出交點坐標。用消元法解出方程組的解。學生會大吃一驚：兩者出奇地相近或者干脆就相同。這是怎么回事呢？然后開始探究二者關系。通過交流、討論得出結論：函數(shù)y=x+1和y=4x-2的交點坐標就是由兩個函數(shù)表達式組成的方程組

y=x+1的解。

y=4x-2

教師作最后總結：因為函數(shù)和方程有以上關系，所以我們就可以用圖象法解決方程問題，也可以用方程的方法解決圖象問題。

三．方程與函數(shù)關系的應用

解方程組x-2y=-2

2x-y=2

學生會很快的用消元法解出來。

老師發(fā)問：誰還有其他的方法？如果有，鼓勵學生大膽提出。并給予口頭表揚。如果沒有人用其他的方法，老師提出問題：你能不能用圖象的方法求方程組的解呢？這時，學生就會去探索新的思路、方法。

一回憶方程與函數(shù)的關系，有了！方程組的解不就是兩個方程變形得到的兩個函數(shù)圖象的交點坐標嗎？學生就會迅速動筆用這種方法把方程解出來。作完之后，互相交流。學生總結一下做題步驟：

1。把兩個方程都化成函數(shù)表達式的形式。

2。畫出兩個函數(shù)的圖象。

3。畫出交點坐標，交點坐標即為方程組的解。

問題又出來了，有的同學的解是x=2有的同學的解是x=2。1y=2。1

y=1。9有的同學的解是……雖然都和消元法得到的結果相近，但各不相同。

老師提問：你能說一下用圖象法解方程組的不足嗎？

學生爭先恐后的回答：用這種方法求的解是近似值。不準確。學生提出疑問：既然不準確，那學習它有什么用呢？用消元法就足夠了！

教師解釋一下：在現(xiàn)實生活和生產中，我們會遇到特別復雜的方程，用消元法解不太容易，我們就可以用電腦繪制成函數(shù)圖象，很容易找出交點坐標。教師可以用z+z智能教育平臺演示一下。

[點評]用作圖象的方法解方程組，這體現(xiàn)了兩個知識點的內在聯(lián)系。學數(shù)學知識，探索知識點之間的聯(lián)系，可起到化新為舊的作用，達到事半功倍的效果。逐步讓學生學會這種學習新知識的技巧。

四．引申

方程組x+y=2

x+y=5解的情況如何？你能從函數(shù)的角度解釋一下嗎？

學生用消元法開始解方程組，結果無解，怎么回事呢？學生會嘗試運用方程組的圖象解法。畫出兩個函數(shù)圖象。*有了！圖象是平行的，沒有交點。所以方程組無解了。哇！太神奇了！方程的問題可以用圖象的方法解決了。

[點評]因為有了上面的用作圖象法解方程組，在這里，學生就會自覺地從函數(shù)的角度探究方程的問題，初步具有了數(shù)形結合的意識和能力。

五．課后小結

本節(jié)課我們通過*作和思考，揭示了二元一次方程和函數(shù)圖象之間的對應關系，從而引入二元一次方程組的圖象解法，同時也建立了“數(shù)”----二元一次方程與“形”------函數(shù)圖象之間的對應關系，培養(yǎng)了學生初步的數(shù)形結合的意識和能力。

六．作業(yè)

1。用作圖象法解方程組2x+y=4

2x-3y=12

2。如圖，直線l、l相交于點a，試求出a點坐標。

教學反思

這節(jié)課由故事引入，激發(fā)了學生極大的學習興趣。然后提出了三個尖銳的問題，讓學生嘗試探索，在探索中既體會到了探索的艱*，又體會到了成功的喜悅。在應用和引申過程當中，盡量讓學生自主的發(fā)現(xiàn)問題，自主的解決問題。學生在緊張、愉快中完成了這節(jié)課的學習。