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學(xué)習(xí)不定積分的方法總結(jié)

學(xué)習(xí)不定積分的方法總結(jié)

  定積分是一個(gè)數(shù),而不定積分是一個(gè)表達(dá)式,它們僅僅是數(shù)學(xué)上有一個(gè)計(jì)算關(guān)系,其它一點(diǎn)關(guān)系都沒(méi)有!一個(gè)函數(shù),可以存在不定積分,而不存在定積分,也可以存在定積分,而沒(méi)有不定積分。下面是小編為您整理的關(guān)于學(xué)習(xí)不定積分的方法總結(jié)的相關(guān)資料,歡迎閱讀!

  一、不要過(guò)多關(guān)心為什么要學(xué)積分,尤其是手算求積分

  不定積分的繁瑣會(huì)令很多人望而生畏,累覺(jué)不愛(ài)后必然引出一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題——我干嘛要愛(ài)它啊!離了它我照樣活。

  其實(shí)很多專業(yè) 為什么要學(xué)高等數(shù)學(xué) 是一個(gè)足夠?qū)iT寫一本書(shū)的爭(zhēng)議話題,我個(gè)人認(rèn)為最需要想清楚的還是以下幾條:

 。1)可交換的概念,有些問(wèn)題的學(xué)習(xí)順序是不可交換的,比如一個(gè)人腦子里一旦有了錢,他就很難再靜下心來(lái)學(xué)數(shù)學(xué)了——最多對(duì)付著教教數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課,嗯。所以不要總想著為什么不能一邊學(xué)金融一邊用到什么數(shù)學(xué)補(bǔ)什么。

 。2)比起二十年前,眼下的社會(huì)并不妨礙偏才怪才的發(fā)展,如果你喜歡唱歌,大可以去參加各種選秀,其實(shí)大部分自以為唱歌很好的同學(xué)充其量也就是個(gè)企業(yè)年終晚會(huì)主唱的水平,不然這年代你可能早就脫穎而出了,參考tf boys。如果你只是個(gè)普通大學(xué)生,那么積分對(duì)你將來(lái)的發(fā)展大概率會(huì)有用的。

 。3)除去個(gè)別生在“教育世家”的同學(xué)之外,要明白你現(xiàn)在能密切接觸到的人里最懂教育學(xué)的是你的大學(xué)老師們,你不信我們?nèi)バ啪W(wǎng)上的所謂心靈雞湯,你自己說(shuō)你4842。

  (4)雖然時(shí)代發(fā)展了,計(jì)算機(jī)技術(shù)可以代替很多人類勞動(dòng),但是不定積分是個(gè)特例。你可以不去用手算十位數(shù)乘法,可以不去用手算求平方根,可以不去用手算sin 2是多少,因?yàn)檫@些你都大概知道可以怎么算,只是算起來(lái)麻煩所以交給了計(jì)算機(jī)(sin 2雖然上大學(xué)以前不會(huì)算,但是現(xiàn)在起碼有taylor公式)。

  但是不定積分不同,你問(wèn)一百個(gè)普通數(shù)學(xué)老師,會(huì)有九十九個(gè)不清楚計(jì)算機(jī)到底是怎么實(shí)現(xiàn)的不定積分,注意是不定積分,定積分怎么做還是會(huì)的。所以你連它大概怎么算出來(lái)的都不清楚,就敢用它的結(jié)果嗎?(我好像聽(tīng)見(jiàn)了學(xué)生說(shuō)“敢”的聲音……)

  所以說(shuō),還是不要討論為什么要學(xué)積分這個(gè)話題,為什么要學(xué)積分,因?yàn)榭荚嚳迹購(gòu)U話。少說(shuō)多干,行勝于言,“我不相信教育會(huì)是完全快樂(lè)的!

  二、要清楚積分相關(guān)的教學(xué)和考試要求

 。1)一定要清楚,不可積(這里指不定積分)函數(shù)類是比可積的“多”很多的,可積的沒(méi)有初等函數(shù)表示的是比有初等函數(shù)表示的“多”很多的,有初等函數(shù)表示但是不容易算出來(lái)的是比容易算出來(lái)的多很多的,容易算出來(lái)的是比我們考試會(huì)考的多很多的。這里的多是個(gè)什么概念,近似的理解成就是無(wú)理數(shù)比有理數(shù)“多”的那種多。所以放心,把教材上所有題目都刷一遍也不存在“運(yùn)動(dòng)過(guò)量”的問(wèn)題。

 。2)充分重視因式分解在學(xué)習(xí)方法上的借鑒意義。因式分解和不定積分都是比較自然的思維方向的運(yùn)算的逆運(yùn)算,所以沒(méi)學(xué)之前應(yīng)該都覺(jué)得是很神奇的東西。想不明白怎么學(xué)積分,不妨回憶下初中是怎么學(xué)因式分解的;想不明白積分要學(xué)到什么程度,不妨去體會(huì)一下你現(xiàn)在因式分解會(huì)到了什么程度,離代數(shù)基本定理的格式還差多遠(yuǎn)。

 。3)個(gè)人覺(jué)得待定系數(shù)法做因式分解,跟有理分式積分法比較像。如果你說(shuō),積分太難了,有沒(méi)有什么流程化的辦法,哪怕做起來(lái)很累,但可以對(duì)相當(dāng)大的一類函數(shù)機(jī)械的做下去,那最常見(jiàn)的答案就是有理分式積分法。但是這東西大部分專業(yè)考試不考。

  (4)學(xué)積分離不開(kāi)刷題,但是由于不是什么樣的函數(shù)都能隨便積得出來(lái),所以最好別隨便拎出來(lái)一個(gè)函數(shù)就試著積分,如果不知道該試誰(shuí),一般教材課后都有一個(gè)大積分表,挨個(gè)算吧。

  (5)任何數(shù)學(xué)考試不會(huì)為了考積分而考積分,或者說(shuō),不會(huì)閑著沒(méi)事考你一個(gè)隱居在深山老林里的函數(shù)的積分。到底哪些是可以考的,哪些是不可以考的,沒(méi)有別的辦法,刷題吧,刷一刷你就知道哪些是常見(jiàn)好積的函數(shù)了。

  三、該刷題就刷題,注意是刷題而不是刷答案

  (1)很多大一學(xué)生覺(jué)得好像所有數(shù)學(xué)老師清一色的反對(duì)刷題,但是其實(shí)這個(gè)理解有誤。有誤的原因有兩條:第一,我們對(duì)刷題這個(gè)詞的定義不一樣,老師們反對(duì)的是刷題,同學(xué)理解的是不做題;第二,老師們反對(duì)的是靠刷題來(lái)學(xué)習(xí)新東西,除了刷題不知道該怎么學(xué)習(xí)了。比如看到一個(gè)新概念新定理,不做一百道同類型的題目完全記不住它,這個(gè)是大學(xué)堅(jiān)決反對(duì)的。如果你沒(méi)做題前就把新概念的內(nèi)涵體會(huì)得差不多了,該想到的問(wèn)題自己舉一反三的想到了,然后再做點(diǎn)題擴(kuò)展下思維,這個(gè)沒(méi)人反對(duì),而且是提倡的。

 。2)積分運(yùn)算是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)里的一個(gè)單獨(dú)方向。與前面的非初等函數(shù)毀三觀,中值定理考智商相比,積分真的很友好,因?yàn)樗椭袑W(xué)的學(xué)習(xí)思路是一致的。證明方面的要求基本沒(méi)有了,只剩下了計(jì)算(其實(shí)很多問(wèn)題還是存在的,只是再要求學(xué)生會(huì)把學(xué)生逼瘋的,而且對(duì)很多專業(yè)好像確實(shí)沒(méi)有啥用)……然后怎么辦,一句話,我不相信你當(dāng)年不做一千個(gè)題能學(xué)會(huì)因式分解。

 。3)既然是逆運(yùn)算,注意刷題的時(shí)候一定不要隨便看提示,看了就完全沒(méi)有意義了。每做一道題都抱著是在考試的自虐心態(tài),可能略有幫助。不要總是做到一半就瞅一眼答案,然后發(fā)現(xiàn),噢,原來(lái)這次少寫了個(gè)常數(shù),那次少把換元變量又換回去了,下次又沒(méi)把三角函數(shù)和反三角函數(shù)的復(fù)合化簡(jiǎn)什么的。做就做到底,然后看看答案,這樣如果做錯(cuò)了可能會(huì)印象深刻一點(diǎn),于是相當(dāng)于少刷了很多題。至于個(gè)別懶癌患者看到根式就想到三角換元,然后這道題就停留在“應(yīng)該三角換元”的水平不往后做了,恭喜你跟我上課講課一個(gè)風(fēng)格。但如果是考試,我能接著做出來(lái),你也能就行。

  四、不要總想著捷徑,也不要無(wú)視規(guī)律的存在

  積分學(xué)習(xí)也不是完全無(wú)章可循,硬說(shuō)捷徑也不是一點(diǎn)都沒(méi)有,比如以下幾條可以一試,但是到底算不算捷徑就不清楚了。

  (1)非數(shù)學(xué)專業(yè)的`學(xué)生,可以嚴(yán)重注意一下形式運(yùn)算這個(gè)東西。非常好用。你會(huì)發(fā)現(xiàn)原來(lái)微積分這種非初等運(yùn)算還保留了一點(diǎn)點(diǎn)可以偷懶的看成初等運(yùn)算的余地,不禁感激上天有好生之德!绻阏嬗X(jué)得感動(dòng)了,恭喜你,順便明白了什么叫斯德哥爾摩綜合癥。

 。2)可以嘗試用找茬的心態(tài)來(lái)閱讀教材和做練習(xí)。舉個(gè)不太友好的例子,比如你看到某教材上先用倍角公式求出來(lái)csc x的積分,又用余角公式去求了sec x的積分,應(yīng)該立刻抗議才對(duì),因?yàn)楹苊黠@這不符合一般的數(shù)學(xué)“直覺(jué)”,csc x和sec x八成會(huì)有某種“對(duì)稱性”,一個(gè)靠另一個(gè)用余角公式求出來(lái)是很別扭的。然后自己試著看看有沒(méi)有更一般的求法,應(yīng)該很快可以發(fā)現(xiàn)能讓它們地位相近的更通用的積分方法。

 。3)很多函數(shù)有很多不同的積分方法,初學(xué)最好都試試,然后再評(píng)析一下優(yōu)先級(jí)順序,這兩步都很重要。就像a^6-b^6的因式分解,先看成平方差公式和先看成立方差公式,因式分解難度就是不同的。

 。4)適當(dāng)?shù)陌严嘟暮瘮?shù)匯總在一起總結(jié)一下。積分運(yùn)算很麻煩的一個(gè)重要原因是,被積函數(shù)形式稍微變一點(diǎn),結(jié)論可能大不一樣,通往結(jié)論的做法也可能大不一樣。所以看到了xe^(x^2)的積分,沒(méi)等看下一個(gè)例題,就去想想如果是x^2e^(x^2)會(huì)怎么樣,如果是x^2e^x又會(huì)怎么樣,然后再試著想想為什么它們的做法大不一樣。雖然估計(jì)想了也并沒(méi)有用,但是想想還是好的。特別提醒那幾個(gè)根式相關(guān)的東西,sqrt(x^2+a^2),sqrt(x^2-a^2),sqrt(a^2-x^2)以及它們的倒數(shù)。

  (5)在做了一定量的習(xí)題之后,注意必須是在這之后,可以考慮自己獨(dú)立“構(gòu)造”一次積分表。把你腦子里的所有函數(shù)按其重要程度排個(gè)序,然后依次研究下它們的積分,比如最開(kāi)始是常函數(shù),然后是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式,冪函數(shù),指對(duì)數(shù),三角……然后它們的復(fù)合……可能對(duì)整理思路略有幫助。這個(gè)練習(xí)與之前提到的“不要隨便對(duì)一個(gè)函數(shù)就試著積分”應(yīng)該并不矛盾,因?yàn)榇蟛糠滞瑢W(xué)腦子里也沒(méi)有多少函數(shù),不怕積不出來(lái)……

 。6)充分重視一下那幾個(gè)原函數(shù)沒(méi)有初等表示的例子,雖然眼下根本證明不了它為什么沒(méi)有初等表示,也不知道到底啥樣的才沒(méi)有初等表示,但記下來(lái)這些對(duì)于微積分的學(xué)習(xí),尤其是多元積分,具有重要意義。

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