淺談物理和數(shù)學(xué)的關(guān)系

　　各門科學(xué)中，物理與數(shù)學(xué)關(guān)系最親，可以說(shuō)，數(shù)學(xué)是物理學(xué)最鐵的鐵哥們。其它科學(xué)，如：生物學(xué)、化學(xué)、醫(yī)學(xué)等等，如果沒(méi)有數(shù)學(xué)幫忙，還都能大差不差的過(guò)得去，唯獨(dú)物理學(xué)，如果沒(méi)有數(shù)學(xué)的話，那簡(jiǎn)直一天日子都過(guò)不下去。當(dāng)初，要不是牛頓發(fā)明了微積分，他的三大力學(xué)定律和萬(wàn)有引力定律，就很難唱得出精彩的戲來(lái)。

　　盡管，數(shù)學(xué)家不是一心想去物理學(xué)家去攀親戚，他們多半時(shí)間象是山里的隱士，讓自己的頭腦在邏輯天空中盡情翱翔，對(duì)凡塵的事置之度外。

　　然而，物理學(xué)家的日子可沒(méi)有那樣瀟灑，他們必須在第一線打拼。有時(shí)實(shí)在沒(méi)轍，就去求教數(shù)學(xué)家，猶如當(dāng)年三顧茅廬的劉玄德。你還別說(shuō)，數(shù)學(xué)家家手頭還往往有現(xiàn)成的錦囊妙計(jì)。

　　當(dāng)年，愛因斯坦一心想根據(jù)慣性質(zhì)量與引力質(zhì)量相等的原理，搞一個(gè)引力理論，然而，一連苦思冥想了好多年，都毫無(wú)進(jìn)展。讓他苦惱的是，在引力作用下，空間會(huì)發(fā)生扭曲，而歐幾里得幾何學(xué)卻對(duì)此毫無(wú)辦法。后來(lái)，幸好他的好友格羅斯曼告訴他，法國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼研究出的一套幾何學(xué)，應(yīng)該能幫他解決煩惱。果然，愛因斯坦有了黎曼幾何這一有力武器后，就順順當(dāng)當(dāng)?shù)慕�立了廣義相對(duì)論。

　　另一件有趣的事是發(fā)生在量子力學(xué)建立的初期。當(dāng)時(shí)，德國(guó)青年科學(xué)家海森堡為了解決微觀問(wèn)題，獨(dú)創(chuàng)了一種代數(shù)。在這門代數(shù)中，乘法交換律不再成立，也就是說(shuō)， A乘B不等于B乘A。初看起來(lái)似乎有點(diǎn)匪夷所思。然而，數(shù)學(xué)家一眼就看出，不過(guò)是早已有之的矩陣代數(shù)而已。于是，海森堡把自己的力學(xué)稱為矩陣力學(xué)，與此同時(shí)，奧地利科學(xué)家薛定諤開發(fā)了一套波動(dòng)力學(xué)。后來(lái)，薛定諤證明了，矩陣力學(xué)和波動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)上是同一回事。今天，就都被稱為量子力學(xué)了。

　　而今天，物理學(xué)家們高度重視對(duì)稱性問(wèn)題，而研究對(duì)稱性的群論，早就在數(shù)學(xué)家手中盤得滾瓜爛熟了。隨著物理學(xué)的進(jìn)展，概念越來(lái)越抽象，一天天向數(shù)學(xué)靠攏。當(dāng)年，拉格朗日出版了一本力學(xué)專著，從第一頁(yè)到最后一頁(yè)，沒(méi)有一張插圖，從頭到底都是數(shù)學(xué)公式。書中唱大戲的是一個(gè)被稱為“作用量”的量。任何第一次接觸到作用量的人都會(huì)滿臉疑惑，這作用量究竟是什么玩意兒：

　　能量嗎？——否也；

　　質(zhì)量？——否也；

　　力量？——否也。

　　那究竟是什么？——?jiǎng)幽軠p勢(shì)能也。

　　依然疑問(wèn)重重，動(dòng)能減勢(shì)能又算是什么玩意兒？答曰，動(dòng)能減勢(shì)能即為作用量。

　　總之，你休想用任何具體生動(dòng)的概念去描畫它，作用量者，作用量也。盡管如此，它卻是一條再硬不過(guò)的死規(guī)定：任何物體在空間移動(dòng)時(shí)，必定循著作用量改變最小的路徑走。這又是為什么？沒(méi)有道理可講，理解得執(zhí)行，不理解也得執(zhí)行，在執(zhí)行中理解，在執(zhí)行中增加感情。捧起數(shù)學(xué)書去啃吧，到時(shí)候，理解和感情自然會(huì)產(chǎn)生。

　　熱力學(xué)同樣又是一門高度抽象的物理學(xué)分支。熱力學(xué)里的那些熵、焓、自由能等等玩意兒，要多抽象有多抽象。難怪一位熱力學(xué)的教授說(shuō)，“女孩子學(xué)這門課，常常會(huì)哭鼻子�！睙崃�學(xué)以三大定律為基礎(chǔ)，用狀態(tài)函數(shù)全微分、麥克斯韋爾偏微分關(guān)系，和可逆過(guò)程的路線積分等一連串?dāng)?shù)學(xué)，讓未來(lái)的工程師們頭暈?zāi)垦＃瑓s建立起一座宏偉的大廈，嚴(yán)謹(jǐn)程度不亞于歐幾里得幾何學(xué)。難怪，當(dāng)初波爾茲曼企圖把分子統(tǒng)計(jì)理論引進(jìn)熱力學(xué)時(shí)，遭到當(dāng)時(shí)熱力學(xué)權(quán)威的頑固抵制。在他們眼里，波爾茲曼是在往美麗宏偉的熱力學(xué)宮殿里亂撒灰塵，這還了得！

　　而電動(dòng)力學(xué)里的電磁波，電場(chǎng)和磁場(chǎng)縱橫交錯(cuò)波動(dòng)，而且，在沒(méi)有載體的真空里照樣能興風(fēng)作浪。王安石曾解釋漢字的“波”為“水之皮”。顯然，他眼里反過(guò)來(lái)的意思就是，水乃波之肉也。按此方式思考，電磁波成了不附肉之皮了。個(gè)中之玄機(jī)，除了用數(shù)學(xué)公式，很難把握得了。

　　量子力學(xué)里，粒子既有微粒性又有波動(dòng)性，更是日常生活難以想象的，也只有數(shù)學(xué)函數(shù)能說(shuō)得清楚。所以，今天的許多基礎(chǔ)物理概念，常必須依靠數(shù)學(xué)來(lái)加以詮釋。或許，世界正如畢達(dá)哥拉斯所想象的那樣，是由數(shù)構(gòu)成的。但是，也別以為，物理學(xué)家的一切苦惱，數(shù)學(xué)家都能幫忙解決，事實(shí)遠(yuǎn)非如此。與物理學(xué)關(guān)系最密切的數(shù)學(xué)分支是微分方程，幾乎所有的物理學(xué)分支都與微分方程結(jié)下不解之緣。

　　同一個(gè)微分方程可以解答許多物理問(wèn)題，也可以有無(wú)數(shù)多個(gè)解。有人會(huì)有疑問(wèn)了，那么多的解，該選哪個(gè)好？其實(shí)，這倒不用擔(dān)心的，一旦把這個(gè)方程的初始條件和邊界條件拿準(zhǔn)了，這個(gè)方程的解也就定了下來(lái)。然而，當(dāng)今的數(shù)學(xué)家們往往只有在在十分理想的條件下，才能提供微分方程的嚴(yán)格解。對(duì)于邊界簡(jiǎn)單的狀況，如：圓形、矩形等等，有時(shí)還能對(duì)付得過(guò)去。而實(shí)際情況往往要復(fù)雜得多，比如，建筑師會(huì)想出各種各樣的建筑外形來(lái)，越是怪異，他就越能出名。例如，澳大利亞的悉尼歌劇院的屋頂，真是要多就多美，可是，要想求得屋頂各處的受力情況，即使再等上一百年也未必能得到嚴(yán)格解。正如俗話說(shuō)的，“文官動(dòng)動(dòng)嘴，武官跑斷腿�！背雒�的是建筑師，累死的是結(jié)構(gòu)師。這種情況下，要是沒(méi)有大型計(jì)算機(jī)，結(jié)構(gòu)師即使活活累死還是沒(méi)轍。實(shí)際山，計(jì)算機(jī)用的是一種求近似解的方法：將無(wú)窮小的微分用有限小的的差分，如：0.1，0.001或0.0001等來(lái)替代，然后一步步算過(guò)去。至于有限小差分到底選多小，就看你的計(jì)算耐心和每次計(jì)算的誤差了。今天，有了大型計(jì)算機(jī)，雖然都是近似值，但對(duì)于許多實(shí)際問(wèn)題，精度完全是能做到的。建筑師盡管出難題，計(jì)算機(jī)和軟件都是現(xiàn)成的，方案一輸進(jìn)去，一會(huì)兒答案就會(huì)出來(lái)。許多其它科學(xué)和工程問(wèn)題也同樣依靠這樣的方法來(lái)解決。

　　但是，也別以為有了計(jì)算機(jī)就萬(wàn)事大吉了。有許多事，你即使把全世界巨型計(jì)算機(jī)都搬來(lái)都不頂用。比如，在研究高能物理的量子場(chǎng)論中，任何一個(gè)粒子都把自己的場(chǎng)一直延伸到無(wú)窮遠(yuǎn)處。計(jì)算機(jī)神通再大，也沒(méi)法從無(wú)窮遠(yuǎn)處一路算過(guò)來(lái)，再算過(guò)去。不過(guò)，數(shù)學(xué)家還有別的招術(shù)來(lái)求近似解，最常用的一種，是所謂的逐次迭代法。具體說(shuō)來(lái)是這樣的，對(duì)于如下形式的這個(gè)方程：

　　X=f(X)……………………..(1)

　　先假設(shè)一個(gè)X0放進(jìn)方程(1)右邊，頂替X，于是就有:

　　X1=f(X0)

　　如果，X1恰好等于X0，那就萬(wàn)事大吉，說(shuō)明我們已經(jīng)求得了方程的.解，那就是X=X0=X1，然而，天底下很少有這樣好的運(yùn)氣。那怎么辦？那就一步步如法炮制的替代下去：

　　X2=f(X1)

　　X3=f(X2)

　　……

　　Xn=f(Xn-1)

　　如果一次次計(jì)算的差距都在不斷縮小，當(dāng)Xn-Xn-1小到能夠滿足我們的精度要求時(shí)，我們就可以說(shuō)，X基本上等于Xn或Xn-1，任務(wù)算是功德圓滿了。

　　這一套手法是研究量子場(chǎng)論的科學(xué)家最稱手的殺手锏，時(shí)時(shí)刻刻都拿在手里使用的，他們對(duì)每次迭代都作了相應(yīng)的物理解釋（注1）。物理學(xué)家費(fèi)曼還畫出力的傳遞粒子的路線圖，來(lái)代表每次迭代過(guò)程，這些圖被稱為費(fèi)曼圖。

　　話說(shuō)到這里，一定有人來(lái)責(zé)問(wèn)了，“您怎么能保證一次次代下去，差距越來(lái)越小，而不會(huì)越來(lái)越大？ ”一點(diǎn)不假，差距變得越來(lái)越大的例子多得數(shù)不過(guò)來(lái)。這里，不妨舉一個(gè)最普通的代數(shù)問(wèn)題為例：

　　X2 -- 10X = 0

　　只要學(xué)過(guò)初中一年級(jí)代數(shù)，都知道這個(gè)代數(shù)式通過(guò)因式分解，就成為：

　　X（X--10）= 0

　　于是，一眼就可以看出，這個(gè)方程有兩個(gè)根，一個(gè)是X=0，另一個(gè)是X=10�，F(xiàn)在，我們把這個(gè)方程式轉(zhuǎn)換成（1）的形式：

　　X=X2/10 (2)

　　現(xiàn)在，來(lái)看看逐次迭代能得到什么結(jié)果。 我們隨便取一個(gè)數(shù)作為X0，例如，令X0=1，代入方程（2）的右邊，于是，可以一連串得到：

　　X1= 0.1

　　X2=0.001

　　X3=0.000001

　　顯然，以非�？斓乃俣龋�一路向根X=0 奔去，我們應(yīng)該對(duì)此感到非常滿意�？墒牵瑔�(wèn)題又來(lái)了，還有一個(gè)根X=10 呀，那又該咋辦？是不是我們一開頭取的X0=1離它太遠(yuǎn)了點(diǎn)？好，我們重新取X0=9，看看情況又會(huì)如何。迭代的幾次結(jié)果是：

　　X1= 8.1

　　X2=6.56

　　X3=4.3

　　…….

　　同樣是一路向X=0那個(gè)根奔，卻對(duì)X=10毫不理會(huì)。 或許，我們把X0取小了，取大一點(diǎn)的，比如X0=11，又會(huì)怎么樣呢？

　　情況如下：

　　X1= 12.1

　　X2=14.6

　　X3=21.3

　　…….

　　好家伙，居然把根X=10拋在腦后，一路往無(wú)窮大狂飆了，X=10在這里似乎成了討厭鬼，大家都不愿跟它沾邊�？磥�(lái)，逐次迭代法并不是招招都靈。其實(shí)，什么時(shí)候逐次迭代法可以一展身手，什么時(shí)候行不通，數(shù)學(xué)家們是早就有了判斷的辦法了（注2）。

　　可是，高能物理學(xué)家們對(duì)這個(gè)問(wèn)題似乎不太放在心上，他們的場(chǎng)方程在第一次迭代后效果很好，可是，才進(jìn)行第二次迭代，就出現(xiàn)了無(wú)窮大，于是，他們想方設(shè)法搞了個(gè)無(wú)窮大減無(wú)窮大，居然也能得到令人滿意的結(jié)果。他們把這個(gè)過(guò)程稱為重整化。數(shù)學(xué)家們看了只能直搖頭�？墒�，既然效果那么好，還管那么多干嗎呢。 讓數(shù)學(xué)家最頭疼的是所謂的“非線性”問(wèn)題。何謂非線性呢？簡(jiǎn)而言之，如果變量X在方程里只以一次式出現(xiàn)，那就是線性的，反之，如出現(xiàn)X2或1/X等項(xiàng)目，那就是非線性的了。

　　一旦遇到非線性問(wèn)題，數(shù)學(xué)家在絕大多數(shù)情況下沒(méi)法可想，物理學(xué)家也只能絞盡腦汁提出一些簡(jiǎn)化模型來(lái)對(duì)付。 其實(shí)，量子場(chǎng)論力的方程還只能算是半線性的，廣義相對(duì)論的引力方程是百分百的非線性。當(dāng)初，愛因斯坦把它搞出來(lái)后，不由得愁上心頭，這樣一個(gè)非線性方程，何年哪月能找到它的一個(gè)嚴(yán)格解啊？可是，前蘇聯(lián)的數(shù)學(xué)家弗里德曼沒(méi)讓愛因斯坦愁太久，就找到了一個(gè)解，以后，宇宙大爆炸、黑洞…等等一系列熱鬧問(wèn)題登場(chǎng)了。

　　引力方程畢竟是研究宇宙的，與我們老百姓日常生活幾乎毫無(wú)關(guān)系。但是，有一個(gè)與我們天天密切相關(guān)的問(wèn)題，卻也是百分百的非線性，這就是被稱為，奈維—斯托克斯方程的流體力學(xué)方程。

　　非線性方程不僅難以求得嚴(yán)格解，另一個(gè)難纏的是，它往往有不止一個(gè)解，還會(huì)象泥鰍似的在不同解之間游來(lái)蕩去。我們?nèi)粘？吹降牟粩嘧兓�的流水波紋，或無(wú)風(fēng)時(shí)的裊裊青煙，都反映了這種情況。 絕大多數(shù)流體力學(xué)問(wèn)題，指望不上數(shù)學(xué)家，只能硬拼實(shí)驗(yàn)。于是，一座座大規(guī)模風(fēng)洞建立起來(lái)�？墒�，風(fēng)洞再大也沒(méi)法把整架空客或波音這樣巨型客機(jī)塞進(jìn)去。流體力學(xué)家們想到了一些經(jīng)驗(yàn)放大的辦法。他們引入了一些被稱為“無(wú)因次數(shù)”的量，這些量都沒(méi)有任何計(jì)量單位。第一個(gè)這樣的無(wú)因次量叫做雷諾數(shù)，計(jì)算式子很簡(jiǎn)單：

　　雷諾數(shù)=特征長(zhǎng)度*流體速度*流體密度/黏度

　　（這里的特征長(zhǎng)度根據(jù)具體情況而定，可以是管子的直徑，也可以是機(jī)翼的寬度）。

　　參與雷諾數(shù)里各個(gè)量的單位會(huì)全部抵消，于是，雷諾數(shù)就沒(méi)了單位。不管你用什么單位制計(jì)算，得出數(shù)值都是一樣的，比如，你用國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)的厘米.克.秒制，算出的雷諾數(shù)是1000，你用英制的英尺.磅.秒來(lái)計(jì)算的話，得到的雷諾數(shù)同樣也是1000（注3）。同樣的雷諾數(shù)，即使其它狀況大不相同，往往會(huì)出現(xiàn)同樣的現(xiàn)象。例如，無(wú)論管子直徑多粗或多細(xì)，也不管是液體還是氣體，只要雷諾數(shù)于2300時(shí)，管子里的流體都會(huì)規(guī)規(guī)矩矩的作平行流動(dòng)，而當(dāng)雷諾數(shù)大于10000時(shí)，管子里的流體就呈紊亂流動(dòng)狀態(tài)，在2300至10000之間，則是過(guò)渡狀態(tài)。這樣一來(lái)，就可以作為依據(jù)，把實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行放大了。謝天謝地，否則，要建造大型水電站或巨型油輪時(shí)，我們需要做多大規(guī)模的實(shí)驗(yàn)?zāi)模?/p>

　　可是，如果你仔細(xì)注意一下雷諾數(shù)的公式的話，會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)很奇怪的現(xiàn)象，流體力學(xué)模型的實(shí)驗(yàn)不是按比例縮小的。譬如，為了研究一根直徑巨大管道里流體流動(dòng)的概況，建一個(gè)1/10大小的小管子模型，然而，實(shí)驗(yàn)時(shí)不是讓小管子里的流速等于大管子里流速的1/10，而是，必須等于大管子里流速的10倍！

　　很讓人奇怪吧？似乎一點(diǎn)道理都沒(méi)有�？墒�，雷諾數(shù)等無(wú)因次數(shù)適用范圍非常廣，不但包括各種各樣的液體，同樣還包括各種各樣的氣體。在航空、航海、水文、石油化工，熱工等各個(gè)領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。這些行業(yè)里的工程師們無(wú)不知道大名鼎鼎的雷諾數(shù)，而沒(méi)幾個(gè)人能回憶得起那個(gè)奈維—斯托克斯方程來(lái)，盡管，大學(xué)時(shí)代老師或許曾經(jīng)略略提起過(guò)。 莫斯科不相信眼淚，流體力學(xué)不需要數(shù)學(xué)。

　　注解： （注1） 量子場(chǎng)論方程左端常是些線性算子，而右端是一些非線性組合。進(jìn)行逐次迭代時(shí)，先找到與左端線性算子及其邊值條件相應(yīng)的格林函數(shù)，然后，將原來(lái)的微分方程轉(zhuǎn)換成等價(jià)的積分方程。這個(gè)積分方程具有方程（1）的形式，于是，就可以進(jìn)行逐次迭代了。

　�。ㄗ�2） 數(shù)學(xué)中有一個(gè)稱為列普希茲條件的判斷式。滿足了這個(gè)條件，方程就存在唯一的解，可以，用逐次迭代法不斷逼近。

　�。ㄗ�3） 黏度指不同流動(dòng)速度的流體之間的拖動(dòng)力量，其單位是克/（厘米*秒）。從平時(shí)生活中常遇到的一些現(xiàn)象，可以得到比較直觀的概念。例如，水的黏度比較小，而液體膠水的黏度就很大。

　　雷諾數(shù)=長(zhǎng)度*速度*密度/黏度，相應(yīng)的單位是：

　　(Cm * cm/sec * g/cm3)/(g/ cm*sec)

　　結(jié)果，單位全部抵銷。