淺談數(shù)學(xué)分支之模糊數(shù)學(xué)

　　二十世紀(jì)六十年代，產(chǎn)生了模糊數(shù)學(xué)這門新興學(xué)科。

　　模糊數(shù)學(xué)的產(chǎn)生

　　現(xiàn)代數(shù)學(xué)是建立在集合論的基礎(chǔ)上。集合論的重要意義就一個側(cè)面看，在與它把數(shù)學(xué)的抽象能力延伸到人類認(rèn)識過程的深處。一組對象確定一組屬性，人們可以通過說明屬性來說明概念（內(nèi)涵），也可以通過指明對象來說明它。符合概念的那些對象的全體叫做這個概念的外延，外延其實就是集合。從這個意義上講，集合可以表現(xiàn)概念，而集合論中的關(guān)系和運(yùn)算又可以表現(xiàn)判斷和推理，一切現(xiàn)實的理論系統(tǒng)都一可能納入集合描述的數(shù)學(xué)框架。

　　但是，數(shù)學(xué)的發(fā)展也是階段性的。經(jīng)典集合論只能把自己的表現(xiàn)力限制在那些有明確外延的概念和事物上，它明確地限定：每個集合都必須由明確的元素構(gòu)成，元素對集合的隸屬關(guān)系必須是明確的，決不能模棱兩可。對于那些外延不分明的概念和事物，經(jīng)典集合論是暫時不去反映的，屬于待發(fā)展的范疇。

　　在較長時間里，精確數(shù)學(xué)及隨機(jī)數(shù)學(xué)在描述自然界多種事物的運(yùn)動規(guī)律中，獲得顯著效果。但是，在客觀世界中還普遍存在著大量的模糊現(xiàn)象。以前人們回避它，但是，由于現(xiàn)代科技所面對的系統(tǒng)日益復(fù)雜，模糊性總是伴隨著復(fù)雜性出現(xiàn)。

　　各門學(xué)科，尤其是人文、社會學(xué)科及其它“軟科學(xué)”的數(shù)學(xué)化、定量化趨向把模糊性的數(shù)學(xué)處理問題推向中心地位。更重要的是，隨著電子計算機(jī)、控制論、系統(tǒng)科學(xué)的迅速發(fā)展，要使計算機(jī)能像人腦那樣對復(fù)雜事物具有識別能力，就必須研究和處理模糊性。

　　我們研究人類系統(tǒng)的行為，或者處理可與人類系統(tǒng)行為相比擬的復(fù)雜系統(tǒng)，如航天系統(tǒng)、人腦系統(tǒng)、社會系統(tǒng)等，參數(shù)和變量甚多，各種因素相互交錯，系統(tǒng)很復(fù)雜，它的模糊性也很明顯。從認(rèn)識方面說，模糊性是指概念外延的不確定性，從而造成判斷的不確定性。

　　在日常生活中，經(jīng)常遇到許多模糊事物，沒有分明的數(shù)量界限，要使用一些模糊的詞句來形容、描述。比如，比較年輕、高個、大胖子、好、漂亮、善、熱、遠(yuǎn)……。在人們的工作經(jīng)驗中，往往也有許多模糊的東西。例如，要確定一爐鋼水是否已經(jīng)煉好，除了要知道鋼水的溫度、成分比例和冶煉時間等精確信息外，還需要參考鋼水顏色、沸騰情況等模糊信息。因此，除了很早就有涉及誤差的計算數(shù)學(xué)之外，還需要模糊數(shù)學(xué)。

　　人與計算機(jī)相比，一般來說，人腦具有處理模糊信息的能力，善于判斷和處理模糊現(xiàn)象。但計算機(jī)對模糊現(xiàn)象識別能力較差，為了提高計算機(jī)識別模糊現(xiàn)象的能力，就需要把人們常用的模糊語言設(shè)計成機(jī)器能接受的指令和程序，以便機(jī)器能像人腦那樣簡潔靈活的做出相應(yīng)的判斷，從而提高自動識別和控制模糊現(xiàn)象的效率。這樣，就需要尋找一種描述和加工模糊信息的數(shù)學(xué)工具，這就推動數(shù)學(xué)家深入研究模糊數(shù)學(xué)。所以，模糊數(shù)學(xué)的產(chǎn)生是有其科學(xué)技術(shù)與數(shù)學(xué)發(fā)展的必然性。

　　模糊數(shù)學(xué)的研究內(nèi)容

　　1965年，美國控制論專家、數(shù)學(xué)家查德發(fā)表了論文《模糊集合》，標(biāo)志著模糊數(shù)學(xué)這門學(xué)科的誕生。

　　模糊數(shù)學(xué)的研究內(nèi)容主要有以下三個方面：

　　第一，研究模糊數(shù)學(xué)的理論，以及它和精確數(shù)學(xué)、隨機(jī)數(shù)學(xué)的關(guān)系。察德以精確數(shù)學(xué)集合論為基礎(chǔ)，并考慮到對數(shù)學(xué)的集合概念進(jìn)行修改和推廣。他提出用“模糊集合”作為表現(xiàn)模糊事物的數(shù)學(xué)模型。并在“模糊集合”上逐步建立運(yùn)算、變換規(guī)律，開展有關(guān)的理論研究，就有可能構(gòu)造出研究現(xiàn)實世界中的大量模糊的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，能夠?qū)�看來相�?dāng)復(fù)雜的模糊系統(tǒng)進(jìn)行定量的描述和處理的數(shù)學(xué)方法。

　　在模糊集合中，給定范圍內(nèi)元素對它的隸屬關(guān)系不一定只有“是”或“否”兩種情況，而是用介于0和1之間的實數(shù)來表示隸屬程度，還存在中間過渡狀態(tài)。比如“老人”是個模糊概念，70歲的肯定屬于老人，它的從屬程度是1，40歲的人肯定不算老人，它的從屬程度為0，按照查德給出的公式，55歲屬于“老”的程度為0.5，即“半老”，60歲屬于“老”的程度0.8。查德認(rèn)為，指明各個元素的隸屬集合，就等于指定了一個集合。當(dāng)隸屬于0和1之間值時，就是模糊集合。

　　第二，研究模糊語言學(xué)和模糊邏輯。人類自然語言具有模糊性，人們經(jīng)常接受模糊語言與模糊信息，并能做出正確的識別和判斷。

　　為了實現(xiàn)用自然語言跟計算機(jī)進(jìn)行直接對話，就必須把人類的語言和思維過程提煉成數(shù)學(xué)模型，才能給計算機(jī)輸入指令，建立和是的模糊數(shù)學(xué)模型，這是運(yùn)用數(shù)學(xué)方法的關(guān)鍵。查德采用模糊集合理論來建立模糊語言的數(shù)學(xué)模型，使人類語言數(shù)量化、形式化。

　　如果我們把合乎語法的`標(biāo)準(zhǔn)句子的從屬函數(shù)值定為1，那么，其他文法稍有錯誤，但尚能表達(dá)相仿的思想的句子，就可以用以0到1之間的連續(xù)數(shù)來表征它從屬于“正確句子”的隸屬程度。這樣，就把模糊語言進(jìn)行定量描述，并定出一套運(yùn)算、變換規(guī)則。目前，模糊語言還很不成熟，語言學(xué)家正在深入研究。

　　人們的思維活動常常要求概念的確定性和精確性，采用形式邏輯的排中律，既非真既假，然后進(jìn)行判斷和推理，得出結(jié)論。現(xiàn)有的計算機(jī)都是建立在二值邏輯基礎(chǔ)上的，它在處理客觀事物的確定性方面，發(fā)揮了巨大的作用，但是卻不具備處理事物和概念的不確定性或模糊性的能力。

　　為了使計算機(jī)能夠模擬人腦高級智能的特點(diǎn)，就必須把計算機(jī)轉(zhuǎn)到多值邏輯基礎(chǔ)上，研究模糊邏輯。目前，模糊羅基還很不成熟，尚需繼續(xù)研究。

　　第三，研究模糊數(shù)學(xué)的應(yīng)用。模糊數(shù)學(xué)是以不確定性的事物為其研究對象的。模糊集合的出現(xiàn)是數(shù)學(xué)適應(yīng)描述復(fù)雜事物的需要，查德的功績在于用模糊集合的理論找到解決模糊性對象加以確切化，從而使研究確定性對象的數(shù)學(xué)與不確定性對象的數(shù)學(xué)溝通起來，過去精確數(shù)學(xué)、隨機(jī)數(shù)學(xué)描述感到不足之處，就能得到彌補(bǔ)。在模糊數(shù)學(xué)中，目前已有模糊拓?fù)鋵W(xué)、模糊群論、模糊圖論、模糊概率、模糊語言學(xué)、模糊邏輯學(xué)等分支。

　　模糊數(shù)學(xué)的應(yīng)用

　　模糊數(shù)學(xué)是一門新興學(xué)科，它已初步應(yīng)用于模糊控制、模糊識別、模糊聚類分析、模糊決策、模糊評判、系統(tǒng)理論、信息檢索、醫(yī)學(xué)、生物學(xué)等各個方面。在氣象、結(jié)構(gòu)力學(xué)、控制、心理學(xué)等方面已有具體的研究成果。然而模糊數(shù)學(xué)最重要的應(yīng)用領(lǐng)域是計算機(jī)職能，不少人認(rèn)為它與新一代計算機(jī)的研制有密切的聯(lián)系。

　　目前，世界上發(fā)達(dá)國家正積極研究、試制具有智能化的模糊計算機(jī)，1986年日本山川烈博士首次試制成功模糊推理機(jī)，它的推理速度是1000萬次/秒。1988年，我國汪培莊教授指導(dǎo)的幾位博士也研制成功一臺模糊推理機(jī)——分立元件樣機(jī)，它的推理速度為1500萬次/秒。這表明我國在突破模糊信息處理難關(guān)方面邁出了重要的一步。

　　模糊數(shù)學(xué)還遠(yuǎn)沒有成熟，對它也還存在著不同的意見和看法，有待實踐去檢驗。