三種解決一元三次方程的求根公式

　　導(dǎo)語(yǔ)：一元三次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式(即所有一元三次方程經(jīng)整理都能得到的形式)是ax3+bx2+cx+d=0(a，b，c，d為常數(shù)，x為未知數(shù)，且a≠0)。一元三次方程的公式解法有卡爾丹公式法與盛金公式法。兩種公式法都可以解標(biāo)準(zhǔn)型的一元三次方程。由于用卡爾丹公式解題存在復(fù)雜性，相比之下，盛金公式解題更為直觀，效率更高。

　　一元三次方程求根公式

　　下面介紹三種三次方求根計(jì)算方法：　　　　第一：計(jì)算方法

　　X(n+1)=Xn+[A/X^2-Xn)1/3

　　n，n+1是下角標(biāo)，A被開(kāi)方數(shù)。

　　例如，A=5，5介于1的.3次方至2的3次方之間。X0可以取1.1;1.2;1.3;1.4;1.5;1.6;1.7;1.8;1.9;2.0我們可以隨意代入一個(gè)數(shù)，例如2，那么：

　　第一步，2+[5/(2×2)-2]×1/3=1.7=X1;

　　第二步，1.7+[5/(1.7×1.7)-1.7]×1/3=1.71=X2;

　　第三步，1.71+[5/(1.71×1.71)-1.71]×1/3=1.709=X3;

　　每次多取一位數(shù)。公式會(huì)自動(dòng)反饋到正確的數(shù)值。

　　第二：置換群解法

　　一元三次方程 系數(shù)和根的關(guān)系如下：求出X,Y，后有這是個(gè)線性方程，其中為原方程的三個(gè)根!

　　第三：公式法(卡爾丹公式)　　若用A、B換元后，公式可簡(jiǎn)記為：

　　x1=A^(1/3)+B^(1/3);

　　x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2;

　　x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。

　　判別法

　　當(dāng)△=(q/2)^2+(p/3)^3>0時(shí)，有一個(gè)實(shí)根和一對(duì)個(gè)共軛虛根;

　　當(dāng)△=(q/2)^2+(p/3)^3=0時(shí)，有三個(gè)實(shí)根，其中兩個(gè)相等;

　　當(dāng)△=(q/2)^2+(p/3)^3<0時(shí)，有三個(gè)不相等的實(shí)根。

　　推導(dǎo)　　第一步：

　　ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0)

　　為了方便，約去a得到

　　x^3+kx^2+mx+n=0

　　令x=y-k/3 ，

　　代入方程(y-k/3)^3+k(y-k/3)^2+m(y-k/3)+n=0 ，

　　(y-k/3)^3中的y^2項(xiàng)系數(shù)是-k ，

　　k(y-k/3)^2中的y^2項(xiàng)系數(shù)是k ，

　　所以相加后y^2抵消 ，

　　得到y(tǒng)^3+py+q=0，

　　其中p=-k^2/3+m ，

　　q=(2(k/3)^3)-(km/3)+n。

　　第二步：

　　方程x^3+px+q=0的三個(gè)根為：

　　x1=[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+

　　+[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3);

　　x2=w[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+

　　+w^2[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3);

　　x3=w^2[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+

　　+w[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)，

　　其中w=(-1+i√3)/2。

　　×推導(dǎo)過(guò)程：

　　1、方程x^3=1的解為x1=1，x2=-1/2+i√3/2=ω，x3=-1/2-i√3/2=ω^2 ;

　　2、方程x^3=A的解為x1=A^(1/3)，x2=A^(1/3)ω，x3=A^(1/3)ω^2 ，

　　3、一般三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),兩邊同時(shí)除以a,可變成x^3+sx^2+tx+u=0的形式。

　　再令x=y-s/3,代入可消去次高項(xiàng)，變成x^3+px+q=0的形式。

　　設(shè)x=u+v是方程x^3+px+q=0的解，代入整理得：

　　(u+v)(3uv+p)+u^3+v^3+q=0 ①，

　　如果u和v滿足uv=-p/3,u^3+v^3=-q則①成立，

　　由一元二次方程韋達(dá)定理u^3和V^3是方程y^2+qy-(p/3)^3=0的兩個(gè)根。

　　解之得，y=-q/2±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)，

　　不妨設(shè)A=-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2),B=-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)，

　　則u^3=A;v^3=B ，

　　u= A^(1/3)或者A^(1/3)ω或者A^(1/3)ω^2 ;

　　v= B^(1/3)或者B^(1/3)ω或者B^(1/3)ω^2 ，

　　但是考慮到uv=-p/3，所以u(píng)、v只有三組解：

　　u1= A^(1/3)，v1= B^(1/3);

　　u2=A^(1/3)ω，v2=B^(1/3)ω^2;

　　u3=A^(1/3)ω^2，v3=B^(1/3)ω，

　　最后：

　　方程x^3+px+q=0的三個(gè)根也出來(lái)了，即

　　x1=u1+v1=A^(1/3)+B^(1/3);

　　x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2;

　　x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。