解析幾何在高中數(shù)學(xué)中既是重點，又是難點，每年高考所占分值較大，綜合性強，學(xué)生理解和運用時困難較大，特別是對基礎(chǔ)較差的學(xué)生來說困難更大。因此，有必要從曲線與方程概念的理解入手，掌握求曲線方程的基本思路和基本方法，從而起到事半功倍的效果。為此淺議如下：

一、曲線與方程

曲線與方程的概念，包括兩方面的含義：

（1）曲線上的點的坐標(biāo)都是這個方程的解，直觀地說“點不比解多”，也可以說曲線上沒有坐標(biāo)不滿足方程的點，稱為純粹性。

（2）以這個方程的解為坐標(biāo)的點都在曲線上，直觀地說“解不比點多”，即適合條件的點都在曲線上而毫無遺漏，稱為完備性，只有點和解一一對應(yīng)，才能說曲線是方程的曲線，方程是曲線的方程。

例1：以線段AB為斜邊的直角三角形的頂點C的軌跡是以AB為直徑的圓。

這個答案是錯誤的，因為不具有純粹性，也就是說圖形包含有不符合條件的A、B兩點（為什么），所以正確答案是以AB為直徑的圓且直徑AB兩端點A、B除外（如圖所示）。

例2：一動點M到y(tǒng)軸的四倍與它到A（1，-3）的距離平方相等，則動點M的軌跡是：以（3，-3）為圓心，半徑為的圓。

這個答案錯誤，因為設(shè)M（x，y），則4|x|=（x-1）2+（y+3）2。

當(dāng)x≥0時，方程可化為（x-3）2+（y+3）2=8；當(dāng)x< 0時，方程可化為（x+1）2+（y+3）2=0。

所以動點M的軌跡 是以（3，-3）以為圓心，半徑為的圓，與點（-1，-3）所組成。

注意：不能把點（-1，-3）遺漏，若遺漏則不具備完備性，解答將是錯誤的。

正是由于曲線與方程有兩方面的含義，它溝通了數(shù)學(xué)內(nèi)數(shù)與形、代數(shù)與幾何最基本的聯(lián)系，形成了一門學(xué)科――解析幾何，從而用代數(shù)的方法去研究幾何圖形的性質(zhì)，這就是解析幾何的基本思想。

求曲線的方程是解析幾何的首要問題，有了曲線的方程，才能利用方程研究曲線的性質(zhì)，求曲線的方程可以是曲線的普通方程，也可以是它的參數(shù)方程，參數(shù)方程中消去參數(shù)就得到了普通方程，選擇哪種形式的方程解題，要根據(jù)具體條件和要解決的問題而定。

二、建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系求軌跡方程

我們知道，一條曲線在不同的坐標(biāo)系下方程不同，因此要適當(dāng)?shù)亟ㄏ�，以便簡化方程，進而便于研究曲線的性質(zhì)。

怎樣才是適當(dāng)呢？一般地，若所求的曲線關(guān)于某直線成軸對稱，常選取對稱軸為坐標(biāo)軸，若所求的曲線關(guān)于某點成中心對稱，選取該點為坐標(biāo)原點，這樣求得的曲線方程較為簡單。

三、求軌跡方程的基本方法、思路

軌跡是動點M按照一定的規(guī)律，即按軌跡條件運動形成的圖形，這個軌跡條件一旦用動點M的坐標(biāo)（x，y），用x，y的關(guān)系式表示出來，即f（x，y）=0，軌跡方程f（x，y）=0就產(chǎn)生出來，因此求軌跡的基本思路是：

這里所謂的“坐標(biāo)化”就是把軌跡條件中各種數(shù)量用動點M的坐標(biāo)（x，y）表示出來，軌跡條件可表現(xiàn)為不同的形式，其中使它轉(zhuǎn)化為有利于坐標(biāo)化的形式正是困難所在。同時還要注意一個最常用、最基礎(chǔ)的公式，即|P1P2|=， 務(wù)必記好用好。

四、求曲線方程的幾種基本方法解法舉例

例1：（1）和坐標(biāo)軸都相切的圓的圓心M的軌跡是什么？

（2）圓心在直線5x-3y=8上，且圓與坐標(biāo)軸相切，求此圓的方程式。

解：（1）如圖所示，設(shè)M（x，y），則M∈P={M||MA|=|MB|}，其中A，B分別是點M到x軸、y軸的垂足。

又∵|MA|=|y|，|MB|=|x|

∴|y|=|x| 即y2=x2

∴y=±x

又∵圓心M不能與原點重合（為什么）

∴圓心M的軌跡方程是y=±x（x≠0）

點M的軌跡是直線y=x和直線y=-x且原點除外

（2）分析：由（1）可知所求圓的圓心是在直線y=x與直線5x-3y=8交點和直線y=-x與直線5x-3y=8的交點

動點M是依賴于某一變量t（或）表示動點M的坐標(biāo)（x，y）得到M點的參數(shù)方程，同時要注意參數(shù)范圍和消參的等價性。