敘述并證明余弦定理的方法

　　余弦定理該怎么證明呢?余弦定理該怎敘述呢?下面就是百分網(wǎng)小編給大家整理的敘述并證明余弦定理的方法內(nèi)容，希望大家喜歡。

　　敘述并證明余弦定理方法一

　　直角三角形的一個(gè)銳角的鄰邊和斜邊的比值叫這個(gè)銳角的余弦值

　　對(duì)于任意三角形，任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的兩倍積，若三邊為a，b，c 三角為A，B，C ，則滿足性質(zhì)——

　　a^2 = b^2+ c^2 - 2·b·c·cosA

　　b^2 = a^2 + c^2 - 2·a·c·cosB

　　c^2 = a^2 + b^2 - 2·a·b·cosC

　　cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a·b)

　　cosB = (a^2 + c^2 -b^2) / (2·a·c)

　　cosA = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b·c)

　　(物理力學(xué)方面的平行四邊形定則中也會(huì)用到)

　　第一余弦定理(任意三角形射影定理)

　　設(shè)△ABC的三邊是a、b、c，它們所對(duì)的角分別是A、B、C，則有

　　a=b·cos C+c·cos B， b=c·cos A+a·cos C， c=a·cos B+b·cos A。

　　敘述并證明余弦定理方法二

　　∵如圖，有a+b=c(平行四邊形定則：兩個(gè)鄰邊之間的對(duì)角線代表兩個(gè)鄰邊大小) ∴c·c=(a+b)·(a+b)

　　∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)

　　(以上粗體字符表示向量)

　　又∵Cos(π-θ)=-Cosθ

　　∴c2=a2+b2-2|a||b|Cosθ(注意：這里用到了三角函數(shù)公式)

　　再拆開，得c2=a2+b2-2*a*b*CosC

　　即 CosC=(a2+b2-c2)/2*a*b

　　同理可證其他，而下面的CosC=(c2-b2-a2)/2ab就是將CosC移到左邊表示一下。

　　平面幾何證法

　　在任意△ABC中

　　做AD⊥BC.

　　∠C所對(duì)的邊為c，∠B所對(duì)的`邊為b，∠A所對(duì)的邊為a

　　則有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

　　根據(jù)勾股定理可得：

　　AC2=AD2+DC2

　　b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2

　　b2=(sinB*c)2+a2-2ac*cosB+(cosB)2*c2

　　b2=(sinB2+cosB2)*c2-2ac*cosB+a2

　　b2=c2+a2-2ac*cosB

　　cosB=(c2+a2-b2)/2ac

　　敘述并證明余弦定理方法三

　　(1)已知三角形的三條邊長(zhǎng)，可求出三個(gè)內(nèi)角

　　(2)已知三角形的兩邊及夾角，可求出第三邊。

　　(3)已知三角形兩邊及其一邊對(duì)角，可求其它的角和第三條邊。(見解三角形公式，推導(dǎo)過程略。)

　　判定定理一(兩根判別法)：

　　若記m(c1,c2)為c的兩值為正根的個(gè)數(shù)，c1為c的表達(dá)式中根號(hào)前取加號(hào)的值，c2為c的表達(dá)式中根號(hào)前取

　　減號(hào)的值

　�、偃鬽(c1,c2)=2,則有兩解

　�、谌鬽(c1,c2)=1,則有一解

　�、廴鬽(c1,c2)=0,則有零解(即無(wú)解)。

　　注意：若c1等于c2且c1或c2大于0，此種情況算到第二種情況，即一解。

　　判定定理二(角邊判別法):

　　一當(dāng)a>bsinA時(shí)

　�、佼�(dāng)b>a且cosA>0(即A為銳角)時(shí)，則有兩解

　�、诋�(dāng)b>a且cosA<=0(即A為直角或鈍角)時(shí),則有零解(即無(wú)解)

　�、郛�(dāng)b=a且cosA>0(即A為銳角)時(shí)，則有一解

　�、墚�(dāng)b=a且cosA<=0(即A為直角或鈍角)時(shí),則有零解(即無(wú)解)

　　⑤當(dāng)b 二當(dāng)a=bsinA時(shí)

　�、佼�(dāng)cosA>0(即A為銳角)時(shí),則有一解

　�、诋�(dāng)cosA<=0(即A為直角或鈍角)時(shí)，則有零解(即無(wú)解)

　　三當(dāng)a 例如：已知△ABC的三邊之比為5：4：3，求最大的內(nèi)角。

　　解 設(shè)三角形的三邊為a,b,c且a:b:c=5:4:3.

　　由三角形中大邊對(duì)大角可知：∠A為最大的角。由余弦定理

　　cos A=0

　　所以∠A=90°.

　　再如△ABC中，AB=2,AC=3,∠A=60度，求BC之長(zhǎng)。

　　解 由余弦定理可知

　　BC2=AB2+AC2-2AB×AC·cos A

　　=4+9-2×2×3×cos60

　　=13-12x0.5

　　=13-6

　　=7