數(shù)學(xué)中的哲學(xué)觀之探微論文

　　[摘要]本文從數(shù)學(xué)運(yùn)算的對(duì)立統(tǒng)一、不同的數(shù)學(xué)知識(shí)之間的相互聯(lián)系、數(shù)學(xué)理論發(fā)展過程的量變到質(zhì)變、數(shù)學(xué)中的否定之否定規(guī)律等，論述了數(shù)學(xué)中充滿著辯證法。

　　[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué) 辯證法 對(duì)立統(tǒng)一 矛盾 相互聯(lián)系

　　世界是客觀的、物質(zhì)的世界，遵循運(yùn)動(dòng)、變化、發(fā)展的規(guī)律。唯物辨證法是指世界是客觀的、物質(zhì)世界是普遍聯(lián)系和永恒發(fā)展的。數(shù)學(xué)中充滿著辯證法，古今數(shù)學(xué)家都把自然辯證法的思想作為研究數(shù)學(xué)的指導(dǎo)思想，從而取得了一個(gè)個(gè)成果。依據(jù)辯證唯物主義觀點(diǎn)來研究數(shù)學(xué)是一件有意義的工作。

　　一、數(shù)學(xué)運(yùn)算的對(duì)立統(tǒng)一

　　數(shù)學(xué)中加與減、乘與除、乘方與開方、指數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算、三角與反三角運(yùn)算、微分與積分運(yùn)算等等，它們都是互逆的運(yùn)算。互逆的運(yùn)算是對(duì)立的雙方，是現(xiàn)實(shí)世界中正與逆的矛盾在數(shù)學(xué)中的具體反映，它們互相依存，不可分割。在一定條件下相互轉(zhuǎn)化。數(shù)學(xué)運(yùn)算正與逆的存在與統(tǒng)一，是解決數(shù)學(xué)問題的有力杠桿，因而對(duì)一個(gè)給定的運(yùn)算是否存在逆運(yùn)算，它是怎樣形成的，始終是數(shù)學(xué)研究的`中心課題。

　　數(shù)學(xué)運(yùn)算有高底之分，一般地，我們將加與減、乘與除、乘方與開方分別稱為第一、二和三級(jí)運(yùn)算。這里較高一級(jí)的運(yùn)算與較低一級(jí)運(yùn)算之間有一定聯(lián)系，且能相互轉(zhuǎn)化。例如，乘法是加數(shù)相同情況下的加法，乘方是因數(shù)相同情況下的乘法，多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)歸結(jié)為求一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，多元函數(shù)的積分歸結(jié)為函數(shù)的微分，并且由“牛頓—萊布尼茲公式”，將一元函數(shù)的微分與積分聯(lián)系起來。

　　二、數(shù)學(xué)中充滿著矛盾

　　常量與變量是數(shù)學(xué)中兩個(gè)非常重要的概念，常量是反映事物相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)的量，變量是反映事物運(yùn)動(dòng)變化狀態(tài)的量，它們是有區(qū)別的。但它們又具有相對(duì)性、依存性，在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化，因此又是統(tǒng)一的。

　　現(xiàn)實(shí)世界中的有限與無限，反映到數(shù)學(xué)中來成了量的有限與無限。數(shù)學(xué)中人們常常通過有限來認(rèn)識(shí)無限。無限一方面可以作為有限的總和而存在，作為一切有限的對(duì)立物而存在；另一方面又可作為描述量的變化過程而存在。有限與無限有著質(zhì)的差異。例如，一個(gè)有限集和它的任何真子集之間都不能建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。但在無限集中，就不完全是這樣。比如，自然數(shù)集可以和它的真子集建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，一個(gè)有限的數(shù)集必有最大數(shù)與最小數(shù)，但是無限數(shù)集就不一定是這樣。再如，對(duì)于數(shù)的有限和滿足交換律與結(jié)合律，但在無限和式中就不能任意運(yùn)用這些定律，否則將導(dǎo)致謬誤的結(jié)果。

　　直與曲是兩種不同的形象，從幾何角度說，前者曲率是零，后者曲率非零。從代數(shù)角度說，前者是線性方程，后者是非線性方程，因而直與曲的區(qū)別是極為明顯的。恩格斯說：“幾何學(xué)開始于下列的發(fā)展，直線與曲線是絕對(duì)的對(duì)立，直線完全不能用曲線表現(xiàn)，曲線也不能完全用直線來表現(xiàn)，兩者是不能通約的，但是連圓的計(jì)算也只有用直線來表現(xiàn)它的圓周時(shí)才有可能，而在具有漸近線的曲線的情況下，直線完全化為曲線，曲線完全化為直線，平行的概念也同樣趨于消失，兩條線并不是平行的，它們不斷地相互接近，但永遠(yuǎn)不相交。”這就是在一定條件下，直與曲可以相互轉(zhuǎn)化的辯證思想。

　　三、數(shù)學(xué)理論發(fā)展過程的量變到質(zhì)變

　　量變質(zhì)變規(guī)律指出了量變、質(zhì)變是事物運(yùn)動(dòng)變化的兩種最基本狀態(tài)，事物的發(fā)展變化都表現(xiàn)為由量變到質(zhì)變，再由質(zhì)變引起新的量變的反復(fù)過程。數(shù)學(xué)理論中體現(xiàn)著量變質(zhì)變規(guī)律。一方面，數(shù)學(xué)中每種概念的存在都有著特定的量的界限，如果量變超出了這個(gè)界限，就會(huì)發(fā)生質(zhì)變，形成另一種概念，這種新概念又存在著自己特有的新的量變。例如，正多邊形邊數(shù)的變化范圍是“大于或等于3的有限數(shù)”，如果邊數(shù)的變化超出上述范圍就不再是正多邊形，變?yōu)榫�段或圓。（邊數(shù)小于3時(shí)為線段；邊數(shù)超出有限數(shù)范圍，即趨于無窮時(shí)為圓。）不論線段還是圓，都有自己新的量變。另一方面，數(shù)學(xué)理論的形成過程是從量變到質(zhì)變、從近似到精確的過程。比如為了求曲邊梯形的面積，先將該曲邊梯形分割成若干個(gè)小曲邊梯形，如果分割足夠密，這些小曲邊梯形可以近似地看成小矩形，然后利用求矩形面積的方法求出各個(gè)小曲邊梯形面積的近似值，其和就是原曲邊梯形面積的近似值。因?yàn)樗�求的僅為近似值，所以上述過程是量變的過程，沒有發(fā)生質(zhì)的飛躍。如果分割無限加密，即各個(gè)小曲邊梯形的最大寬度趨于零時(shí)，就得到原曲邊梯形的精確面積，發(fā)生了從量變到質(zhì)變的飛躍，這正是定積分理論的基本思想。

　　四、數(shù)學(xué)理論的發(fā)展過程中體現(xiàn)著否定之否定規(guī)律

　　否定之否定規(guī)律揭示了事物自己發(fā)展自己的完整過程是：經(jīng)歷兩次否定、三個(gè)階段，即由肯定達(dá)到對(duì)自身的否定，并再由否定進(jìn)到新的肯定——否定之否定。每一個(gè)數(shù)學(xué)理論的發(fā)展都符合否定之否定規(guī)律。在理論最初形成時(shí)，該理論得到肯定；隨著實(shí)踐的需要和研究的深入，該理論的不完善、不精確之處逐漸暴露出來并被否定；進(jìn)而數(shù)學(xué)家們開始研究如何使該理論更完善、更精確，最終得出新的結(jié)論，達(dá)到新的肯定。此外，數(shù)學(xué)的運(yùn)算結(jié)果也體現(xiàn)著否定之否定規(guī)律，例如，正數(shù)取兩次相反數(shù)（兩次否定）仍是正數(shù)；命題邏輯中，一個(gè)命題的兩次否定仍是原命題等。

　　總之，數(shù)學(xué)內(nèi)部處處蘊(yùn)涵著哲學(xué)思想，數(shù)學(xué)家在哲學(xué)的滄桑巨變中不斷成熟，哲學(xué)觀點(diǎn)在數(shù)學(xué)成果的推動(dòng)下不斷進(jìn)步。

　　參考文獻(xiàn)：

　　[1]章士藻。中學(xué)數(shù)學(xué)教育學(xué)。江蘇教育出版社，1991 .