數(shù)學(xué)極限思想的應(yīng)用論文

　　極限是高等數(shù)學(xué)最基本的概念之一，極限思想是近代數(shù)學(xué)的一種很重要的數(shù)學(xué)思想，是用極限概念分析問題和解決問題的一種數(shù)學(xué)極限思想，本文從極限的定義、極限思想的價(jià)值、教學(xué)中如何滲透極限思想幾個(gè)方面進(jìn)行了簡要論述。

　　1、極限的概念

　　1.1數(shù)列極限：設(shè) 為一個(gè)數(shù)列，a為一常數(shù)，若 ，總存在一個(gè)正整數(shù)N，使得當(dāng) 時(shí)，有 ，稱a是數(shù)列 的極限。

　　1.2函數(shù)極限：函數(shù) 在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)有定義，A為常數(shù)，若 ，總存在一個(gè)正數(shù) ，使得當(dāng) 時(shí)，有 ，稱A是當(dāng)x趨向于a時(shí)函數(shù) 的極限。

　　出于不同需要，還引進(jìn)了不同意義下的極限概念，比如在集論中引進(jìn)了集列的上、下極限的概念，在無窮級(jí)數(shù)論中引進(jìn)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念，以及在函數(shù)逼近論中引進(jìn)了一致逼近、平均逼近等的極限概念.無論怎樣定義，本質(zhì)都是一樣的，都是從有限觀念發(fā)展到無限觀念的過程。

　　2、極限思想的價(jià)值

　　極限思想揭示了變量與常量、無限與有限的關(guān)系，通過極限思想，我們可以從有限來認(rèn)識(shí)無限，以直線近似代替曲線，以不變認(rèn)識(shí)變化，從量變認(rèn)識(shí)質(zhì)變。極限思想具有創(chuàng)新作用，它廣泛用于微分方程、積分方程、函數(shù)論、概率極限理論、微分幾何、泛函分析、函數(shù)逼近論、計(jì)算數(shù)學(xué)、力學(xué)等領(lǐng)域。

　　生活中的例子：一張餅，第一天吃它的一半，第二天吃它的一半的一半，第三天吃它的一半的一半的一半，……這樣，這張餅?zāi)艹酝陠?顯然吃不完，餅越來越小，但還是有的。只能說，這張餅的極限為零，但絕不是零。這就是一種極限思想的具體寫照。

　　極限思想十分重要，貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)體系，恰當(dāng)?shù)膽?yīng)用極限思想可以將一些問題簡化，學(xué)生靈活運(yùn)用極限思想意義重大。

　　3、將極限思想滲透到課堂教學(xué)中

　　3.1課堂上介紹一些體現(xiàn)極限思想的典故

　　哲學(xué)家莊周在《莊子天下篇》中說：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，將木棰長度的變化看作為一個(gè)無限的過程中去研究，古代數(shù)學(xué)家劉徽割圓術(shù)中“割之彌細(xì)，所失弦少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”也體現(xiàn)了極限思想。通過這些有趣的小故事，讓學(xué)生從中體驗(yàn)和感受極限思想的妙處，激發(fā)興趣。

　　3.2講授新知識(shí)時(shí)滲透極限思想

　　在教學(xué)中，講授新知識(shí)的同時(shí)體現(xiàn)極限思想，比如求曲線的切線斜率、圓面積、變速運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度、曲邊梯形面積、曲頂柱體的體積等都是通過極限思想得以引入課題并解決問題的，還有空間集合體中圓柱、圓錐之間相互轉(zhuǎn)化，圓錐是圓柱的上底逐漸縮小的一種極限狀態(tài)，體現(xiàn)了一種動(dòng)態(tài)的極限思想。

　　3.3體現(xiàn)極限思想的數(shù)學(xué)概念

　　高等數(shù)學(xué)中的許多概念都是利用極限來描述的，體現(xiàn)極限思想的數(shù)學(xué)概念比比皆是，下面就列舉幾個(gè)：

　　(1)函數(shù)連續(xù)的概念中用到極限式：

　　(2)導(dǎo)數(shù)的概念中有極限式：

　　(3)定積分的概念也是通過分劃、取近似、求和、取極限得到的：

　　(4)無窮區(qū)間上的廣義積分的定義也是通過有限區(qū)間的定積分取極限得到的：

　　(5)級(jí)數(shù)的收斂性也是用極限式定義的：若級(jí)數(shù) 的部分和數(shù)列極限存在，即 ，稱級(jí)數(shù)收斂。

　　(6)無窮小的定義也是用極限來描述的：若有 ，稱 為此變化過程中的無窮小。

　　(7)二元函數(shù) 在有界閉區(qū)域D上的二重積分定義也用到了極限，

　　(8)二元函數(shù) 在曲線L上的'第一型曲線積分也是用極限定義的：

　　(9)多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)也是用極限來定義的，

　　關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)為： ，關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)類似。

　　4、解決問題時(shí)利用極限思想

　　高等數(shù)學(xué)中的許多問題都是通過極限的思想方法來解決的，下面簡單的舉兩個(gè)例子。

　　(1)如何求平面上曲邊梯形的面積?

　　通過極限思想方法，利用無限分割，以直代曲、用無數(shù)個(gè)小矩形面積無限逼近曲邊梯形的面積通過取極限最終來解決這個(gè)問題;

　　(2)如何求圓面積?

　　我們可以設(shè)定情境，利用極限思想方法，通過圓內(nèi)接正多邊形，無限增加內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，利用內(nèi)接正多邊形的面積無限逼近圓面積的方法來解決的;

　　物體的瞬時(shí)速度、平面曲線的弧長、曲頂柱體的體積等問題都是利用極限思想方法解決的。教師在教學(xué)中恰當(dāng)選取問題，利用極限思想解決問題，教學(xué)效果事半功倍，提高學(xué)生用極限思想方法解決相關(guān)問題的能力。

　　結(jié)束語

　　綜上所述，極限思想是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重難點(diǎn)，貫穿整個(gè)高數(shù)體系，在教學(xué)中教師要有意識(shí)的將極限思想滲入，通過恰當(dāng)?shù)姆椒ㄗ寣W(xué)生理解極限的概念和思想方法，讓學(xué)生體會(huì)極限思想的妙處，體會(huì)“以直代曲、化零為整、化圓為方、以不變代變、以有限找無限”等的極限思想，提高學(xué)生應(yīng)用極限思想方法解決問題的能力。