總結歸納方差的性質

　　方差是在概率論和統(tǒng)計方差衡量隨機變量或一組數據時離散程度的度量。概率論中方差用來度量隨機變量和其數學期望（即均值）之間的偏離程度。統(tǒng)計中的方差（樣本方差）是每個樣本值與全體樣本值的平均數之差的平方值的平均數。在許多實際問題中，研究方差即偏離程度有著重要意義。以下是小編整理的總結歸納方差的性質，一起來看看吧。

　　總結歸納方差的性質 篇1

　　一.方差的概念與計算公式

　　例1 兩人的5次測驗成績如下：

　　X： 50，100，100，60，50 E(X )=72;

　　Y： 73， 70， 75，72，70 E(Y )=72。

　　平均成績相同，但X 不穩(wěn)定，對平均值的偏離大。

　　方差描述隨機變量對于數學期望的偏離程度。

　　單個偏離是

　　消除符號影響

　　方差即偏離平方的均值，記為D(X )：

　　直接計算公式分離散型和連續(xù)型，具體為：

　　這里 是一個數。推導另一種計算公式

　　得到：“方差等于平方的均值減去均值的平方”。

　　其中，分別為離散型和連續(xù)型計算公式。 稱為標準差或均方差，方差描述波動

　　二.方差的性質

　　1.設C為常數，則D(C) = 0(常數無波動);

　　2. D(CX )=C2 D(X ) (常數平方提取);

　　證：

　　特別地 D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )(方差無負值)

　　特別地

　　獨立前提的逐項求和，可推廣到有限項。

　　方差公式：

　　平均數：M=(x1+x2+x3+…+xn)/n (n表示這組數據個數，x1、x2、x3……xn表示這組數據具體數值)

　　方差公式：S=〈(M-x1)+(M-x2)+(M-x3)+…+(M-xn)〉╱n

　　三.常用分布的方差

　　1.兩點分布

　　2.二項分布

　　X ~ B ( n, p )

　　引入隨機變量 Xi (第i次試驗中A 出現的次數，服從兩點分布)，

　　3.泊松分布(推導略)

　　4.均勻分布

　　另一計算過程為

　　5.指數分布(推導略)

　　6.正態(tài)分布(推導略)

　　7.t分布 :其中X~T(n)，E(X)=0;D(X)=n/(n-2);

　　8.F分布：其中X~F(m,n),E(X)=n/(n-2);

　　~

　　正態(tài)分布的后一參數反映它與均值 的偏離程度，即波動程度(隨機波動)，這與圖形的特征是相符的

　　總結歸納方差的性質 篇2

　　第一章 實數

　　一、 重要概念 1.數的分類及概念 數系表：

　　說明："分類"的原則：1)相稱(不重、不漏) 2)有標準

　　2.非負數：正實數與零的統(tǒng)稱。(表為：x≥0)

　　性質：若干個非負數的和為0，則每個非負數均為0。

　　3.倒數： ①定義及表示法

　　②性質：A.a≠1/a(a≠±1);B.1/a中，a≠0;C.01;a>1時，1/a<1;D.積為1。

　　4.相反數： ①定義及表示法

　�、谛再|：A.a≠0時，a≠-a;B.a與-a在數軸上的位置;C.和為0,商為-1。

　　5.數軸：①定義("三要素")

　　②作用：A.直觀地比較實數的大小;B.明確體現絕對值意義;C.建立點與實數的一一對應關系。

　　6.奇數、偶數、質數、合數(正整數-自然數)

　　定義及表示：

　　奇數：2n-1

　　偶數：2n(n為自然數)

　　7.絕對值：①定義(兩種)：

　　代數定義：

　　幾何定義：數a的絕對值頂的幾何意義是實數a在數軸上所對應的點到原點的距離。

　�、讴�a│≥0,符號"││"是"非負數"的標志;③數a的絕對值只有一個;④處理任何類型的題目，只要其中有"││"出現，其關鍵一步是去掉"││"符號。

　　二、 實數的運算

　　1. 運算法則(加、減、乘、除、乘方、開方)

　　2. 運算定律(五個-加法[乘法]交換律、結合律;[乘法對加法的]

　　分配律)

　　3. 運算順序：A.高級運算到低級運算;B.(同級運算)從"左"

　　到"右"(如5÷ ×5);C.(有括號時)由"小"到"中"到"大"。

　　三、 應用舉例(略)

　　附：典型例題

　　1. 已知：a、b、x在數軸上的位置如下圖，求證：│x-a│ │x-b│

　　=b-a.

　　2.已知：a-b=-2且ab<0，(a≠0，b≠0)，判斷a、b的符號。

　　第二章 代數式

　　★重點★代數式的有關概念及性質，代數式的運算

　　☆內容提要☆

　　一、 重要概念

　　分類：

　　1.代數式與有理式

　　用運算符號把數或表示數的字母連結而成的式子，叫做代數式。單獨

　　的一個數或字母也是代數式。

　　整式和分式統(tǒng)稱為有理式。

　　2.整式和分式

　　含有加、減、乘、除、乘方運算的代數式叫做有理式。

　　沒有除法運算或雖有除法運算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。

　　有除法運算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。

　　3.單項式與多項式

　　沒有加減運算的整式叫做單項式。(數字與字母的積-包括單獨的一個數或字母)

　　幾個單項式的和，叫做多項式。

　　說明：①根據除式中有否字母，將整式和分式區(qū)別開;根據整式中有否加減運算，把單項式、多項式區(qū)分開。②進行代數式分類時，是以所給的代數式為對象，而非以變形后的代數式為對象。劃分代數式類別時，是從外形來看。如，

　　=x, =│x│等。

　　4.系數與指數

　　區(qū)別與聯系：①從位置上看;②從表示的意義上看

　　5.同類項及其合并

　　條件：①字母相同;②相同字母的指數相同

　　合并依據：乘法分配律

　　6.根式

　　表示方根的代數式叫做根式。

　　含有關于字母開方運算的代數式叫做無理式。

　　注意：①從外形上判斷;②區(qū)別： 、 是根式，但不是無理式(是無理數)。

　　7.算術平方根

　�、耪龜礱的正的平方根( [a≥0-與"平方根"的區(qū)別]);

　�、扑阈g平方根與絕對值

　�、� 聯系：都是非負數， =│a│

　　②區(qū)別：│a│中，a為一切實數; 中，a為非負數。

　　8.同類二次根式、最簡二次根式、分母有理化

　　化為最簡二次根式以后，被開方數相同的二次根式叫做同類二次根式。

　　滿足條件：①被開方數的因數是整數，因式是整式;②被開方數中不含有開得盡方的因數或因式。

　　把分母中的根號劃去叫做分母有理化。

　　9.指數

　　⑴ ( -冪冪，乘方運算)

　�、� a>0時， >0;②a<0時，>0(n是偶數)，<0(n是奇數)

　�、屏阒笖担� =1(a≠0)

　　負整指數： =1/ (a≠0,p是正整數)

　　二、 運算定律、性質、法則

　　1.分式的加、減、乘、除、乘方、開方法則

　　2.分式的性質

　�、呕�本性質： = (m≠0)

　�、品�號法則：

　�、欠狈质剑孩俣�義;②化簡方法(兩種)

　　3.整式運算法則(去括號、添括號法則)

　　4.冪的運算性質：① o = ;② ÷ = ;③ = ;④ = ;⑤

　　技巧：

　　5.乘法法則：⑴單×單;⑵單×多;⑶多×多。

　　6.乘法公式：(正、逆用)

　　(a b)(a-b)=

　　(a±b) =

　　7.除法法則：⑴單÷單;⑵多÷單。

　　8.因式分解：⑴定義;⑵方法：A.提公因式法;B.公式法;C.十字相乘法;D.分組分解法;E.求根公式法。

　　9.算術根的性質： = ; ; (a≥0,b≥0); (a≥0,b>0)(正用、逆用)

　　10.根式運算法則：⑴加法法則(合并同類二次根式);⑵乘、除法法則;⑶分母有理化：A. ;B. ;C. .

　　11.科學記數法： (1≤a<10,n是整數=

　　三、 應用舉例(略)

　　四、 數式綜合運算(略)

　　第三章 統(tǒng)計初步

　　★重點★

　　☆ 內容提要☆

　　一、 重要概念

　　1.總體：考察對象的全體。

　　2.個體：總體中每一個考察對象。

　　3.樣本：從總體中抽出的一部分個體。

　　4.樣本容量：樣本中個體的數目。

　　5.眾數：一組數據中，出現次數最多的數據。

　　6.中位數：將一組數據按大小依次排列，處在最中間位置的一個數(或最中間位置的兩個數據的平均數)

　　二、 計算方法

　　1.樣本平均數：⑴ ;⑵若 ， ，…， ,則 (a-常數， ， ，…， 接近較整的常數a);⑶加權平均數： ;⑷平均數是刻劃數據的集中趨勢(集中位置)的特征數。通常用樣本平均數去估計總體平均數，樣本容量越大，估計越準確。

　　2.樣本方差：⑴ ;⑵若 , ,…, ,則 (a-接近 、 、…、 的平均數的較"整"的常數);若 、 、…、 較"小"較"整"，則 ;⑶樣本方差是刻劃數據的離散程度(波動大小)的特征數，當樣本容量較大時，樣本方差非常接近總體方差，通常用樣本方差去估計總體方差。

　　3.樣本標準差：

　　三、 應用舉例(略)

　　第四章 直線形

　　★重點★相交線與平行線、三角形、四邊形的有關概念、判定、性質。

　　☆ 內容提要☆

　　一、 直線、相交線、平行線

　　1.線段、射線、直線三者的區(qū)別與聯系

　　從"圖形"、"表示法"、"界限"、"端點個數"、"基本性質"等方面加以分析。

　　2.線段的中點及表示

　　3.直線、線段的基本性質(用"線段的基本性質"論證"三角形兩邊之和大于第三邊")

　　4.兩點間的距離(三個距離：點-點;點-線;線-線)

　　5.角(平角、周角、直角、銳角、鈍角)

　　6.互為余角、互為補角及表示方法

　　7.角的平分線及其表示

　　8.垂線及基本性質(利用它證明"直角三角形中斜邊大于直角邊")

　　9.對頂角及性質

　　10.平行線及判定與性質(互逆)(二者的區(qū)別與聯系)

　　11.常用定理：①同平行于一條直線的兩條直線平行(傳遞性);②同垂直于一條直線的兩條直線平行。

　　12.定義、命題、命題的組成

　　13.公理、定理

　　14.逆命題

　　二、 三角形

　　分類：⑴按邊分;

　�、瓢唇欠�

　　1.定義(包括內、外角)

　　2.三角形的邊角關系：⑴角與角：①內角和及推論;②外角和;③n邊形內角和;④n邊形外角和。⑵邊與邊：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。⑶角與邊：在同一三角形中，

　　3.三角形的主要線段

　　討論：①定義②××線的交點-三角形的×心③性質

　�、� 高線②中線③角平分線④中垂線⑤中位線

　�、乓话闳�角形⑵特殊三角形：直角三角形、等腰三角形、等邊三角形

　　4.特殊三角形(直角三角形、等腰三角形、等邊三角形、等腰直角三角形)的判定與性質

　　5.全等三角形

　�、乓话闳�角形全等的判定(SAS、ASA、AAS、SSS)

　　⑵特殊三角形全等的判定：①一般方法②專用方法

　　6.三角形的面積

　�、乓话阌嬎愎�式⑵性質：等底等高的三角形面積相等。

　　7.重要輔助線

　�、胖悬c配中點構成中位線;⑵加倍中線;⑶添加輔助平行線

　　8.證明方法

　�、胖苯幼C法：綜合法、分析法

　　⑵間接證法-反證法：①反設②歸謬③結論

　�、亲C線段相等、角相等常通過證三角形全等

　　⑷證線段倍分關系：加倍法、折半法

　�、勺C線段和差關系：延結法、截余法

　�、首C面積關系：將面積表示出來

　　三、 四邊形

　　分類表：

　　1.一般性質(角)

　�、艃冉呛停�360°

　�、祈槾芜B結各邊中點得平行四邊形。

　　推論1：順次連結對角線相等的四邊形各邊中點得菱形。

　　推論2：順次連結對角線互相垂直的四邊形各邊中點得矩形。

　�、峭饨呛停�360°

　　2.特殊四邊形

　　⑴研究它們的一般方法:

　�、破叫兴倪呅巍⒕匦�、菱形、正方形;梯形、等腰梯形的定義、性質和判定

　�、桥卸ú襟E：四邊形→平行四邊形→矩形→正方形

　　┗→菱形--↑

　　⑷對角線的紐帶作用：

　　3.對稱圖形

　�、泡S對稱(定義及性質);⑵中心對稱(定義及性質)

　　4.有關定理：①平行線等分線段定理及其推論1、2

　�、谌�角形、梯形的中位線定理

　　③平行線間的距離處處相等。(如，找下圖中面積相等的三角形)

　　5.重要輔助線：①常連結四邊形的對角線;②梯形中常"平移一腰"、"平移對角線"、"作高"、"連結頂點和對腰中點并延長與底邊相交"轉化為三角形。

　　6.作圖：任意等分線段。

　　初三年級上冊數學知識點歸納總結：

　　第五章 方程(組)

　　★重點★一元一次、一元二次方程，二元一次方程組的解法;方程的有關應用題(特別是行程、工程問題)

　　☆ 內容提要☆

　　一、 基本概念

　　1.方程、方程的解(根)、方程組的解、解方程(組)

　　2. 分類：

　　二、 解方程的依據-等式性質

　　1.a=b←→a c=b c

　　2.a=b←→ac=bc (c≠0)

　　三、 解法

　　1.一元一次方程的解法：去分母→去括號→移項→合并同類項→

　　系數化成1→解。

　　2. 元一次方程組的解法：⑴基本思想："消元"⑵方法：①代入法

　�、诩訙p法

　　四、 一元二次方程

　　1.定義及一般形式：

　　2.解法：⑴直接開平方法(注意特征)

　�、婆浞椒�(注意步驟-推倒求根公式)

　�、枪�式法：

　�、纫蚴椒纸夥�(特征：左邊=0)

　　3.根的判別式：

　　4.根與系數頂的關系：

　　逆定理：若 ，則以 為根的一元二次方程是： 。

　　5.常用等式：

　　五、 可化為一元二次方程的方程

　　1.分式方程

　�、哦�義

　�、苹�本思想：

　　⑶基本解法：①去分母法②換元法(如， )

　�、闰灨�及方法

　　2.無理方程

　　⑴定義

　�、苹�本思想：

　　⑶基本解法：①乘方法(注意技巧!!)②換元法(例， )⑷驗根及方法

　　3.簡單的二元二次方程組

　　由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的二元二次方程組都可用代入法解。

　　六、 列方程(組)解應用題

　　一概述

　　列方程(組)解應用題是中學數學聯系實際的一個重要方面。其具體步驟是：

　�、艑忣}。理解題意。弄清問題中已知量是什么，未知量是什么，問題給出和涉及的相等關系是什

　　么。

　�、圃O元(未知數)。①直接未知數②間接未知數(往往二者兼用)。一般來說，未知數越多，方程越易列，但越難解。

　�、怯煤�未知數的代數式表示相關的量。

　�、葘ふ蚁嗟汝P系(有的由題目給出，有的由該問題所涉及的等量關系給出)，列方程。一般地，未知數個數與方程個數是相同的。

　�、山夥匠碳皺z驗。

　�、蚀鸢浮�

　　綜上所述，列方程(組)解應用題實質是先把實際問題轉化為數學問題(設元、列方程)，在由數學問題的解決而導致實際問題的解決(列方程、寫出答案)。在這個過程中，列方程起著承前啟后的作用。因此，列方程是解應用題的關鍵。

　　二常用的相等關系

　　1. 行程問題(勻速運動)

　　基本關系：s=vt

　�、畔嘤鰡栴}(同時出發(fā))：

　　⑵追及問題(同時出發(fā))：

　　若甲出發(fā)t小時后，乙才出發(fā)，而后在B處追上甲，則

　�、撬�中航行： ;

　　2. 配料問題：溶質=溶液×濃度

　　溶液=溶質 溶劑

　　3.增長率問題：

　　4.工程問題：基本關系：工作量=工作效率×工作時間(常把工作量看著單位"1")。

　　5.幾何問題：常用勾股定理，幾何體的面積、體積公式，相似形及有關比例性質等。

　　三注意語言與解析式的互化

　　如，"多"、"少"、"增加了"、"增加為(到)"、"同時"、"擴大為(到)"、"擴大了"、……

　　又如，一個三位數，百位數字為a，十位數字為b，個位數字為c，則這個三位數為：100a 10b c，而不是abc。

　　四注意從語言敘述中寫出相等關系。

　　如，x比y大3，則x-y=3或x=y 3或x-3=y。又如，x與y的差為3，則x-y=3。五注意單位換算

　　如，"小時""分鐘"的換算;s、v、t單位的一致等。

　　七、應用舉例(略)

　　第六章 一元一次不等式(組)

　　★重點★一元一次不等式的性質、解法

　　☆ 內容提要☆

　　1. 定義：a>b、a

　　2. 一元一次不等式：ax>b、ax

　　3. 一元一次不等式組：

　　4. 不等式的性質：⑴a>b←→a c>b c

　�、芶>b←→ac>bc(c>0)

　　⑶a>b←→ac

　�、�(傳遞性)a>b,b>c→a>c

　�、蒩>b,c>d→a c>b d.

　　5.一元一次不等式的解、解一元一次不等式

　　6.一元一次不等式組的解、解一元一次不等式組(在數軸上表示解集)

　　7.應用舉例(略)

　　第七章 相似形

　　★重點★相似三角形的判定和性質

　　☆內容提要☆

　　一、本章的兩套定理

　　第一套(比例的有關性質)：

　　涉及概念：①第四比例項②比例中項③比的前項、后項，比的內項、外項④黃金分割等。

　　第二套：

　　注意：①定理中"對應"二字的含義;

　�、谄叫小�相似(比例線段)→平行。

　　二、相似三角形性質

　　1.對應線段…;2.對應周長…;3.對應面積…。

　　三、相關作圖

　�、僮鞯谒谋壤�項;②作比例中項。

　　四、證(解)題規(guī)律、輔助線

　　1."等積"變"比例"，"比例"找"相似"。

　　2.找相似找不到，找中間比。方法：將等式左右兩邊的比表示出來

　　3.添加輔助平行線是獲得成比例線段和相似三角形的重要途徑。

　　4.對比例問題，常用處理方法是將"一份"看著k;對于等比問題，常用處理辦法是設"公比"為k。

　　5.對于復雜的幾何圖形，采用將部分需要的圖形(或基本圖形)"抽"出來的辦法處理。

　　五、 應用舉例(略)

　　第八章 函數及其圖象

　　★重點★正、反比例函數，一次、二次函數的圖象和性質。

　　☆ 內容提要☆

　　一、平面直角坐標系

　　1.各象限內點的'坐標的特點

　　2.坐標軸上點的坐標的特點

　　3.關于坐標軸、原點對稱的點的坐標的特點

　　4.坐標平面內點與有序實數對的對應關系

　　二、函數

　　1.表示方法：⑴解析法;⑵列表法;⑶圖象法。

　　2.確定自變量取值范圍的原則：⑴使代數式有意義;⑵使實際問題有

　　意義。

　　3.畫函數圖象：⑴列表;⑵描點;⑶連線。

　　三、幾種特殊函數

　　(定義→圖象→性質)

　　1. 正比例函數

　�、哦�義：y=kx(k≠0) 或y/x=k。

　�、茍D象：直線(過原點)

　�、切再|：①k>0，…②k<0，…

　　2. 一次函數

　�、哦�義：y=kx b(k≠0)

　　⑵圖象：直線過點(0,b)-與y軸的交點和(-b/k,0)-與x軸的交點。

　　⑶性質：①k>0,…②k<0,…

　�、葓D象的四種情況：

　　3. 二次函數

　　⑴定義： 特殊地， 都是二次函數。

　�、茍D象：拋物線(用描點法畫出：先確定頂點、對稱軸、開口方向，再對稱地描點)。 用配方法變?yōu)�，則頂點為(h,k);對稱軸為直線x=h;a>0時，開口向上;a<0時，開口向下。

　　⑶性質：a>0時，在對稱軸左側…，右側…;a<0時，在對稱軸左側…，右側…。

　　4.反比例函數

　�、哦�義： 或xy=k(k≠0)。

　�、茍D象：雙曲線(兩支)-用描點法畫出。

　�、切再|：①k>0時，圖象位于…，y隨x…;②k<0時，圖象位于…，y隨x…;③兩支曲線無限接近于坐標軸但永遠不能到達坐標軸。

　　四、重要解題方法

　　1.用待定系數法求解析式(列方程[組]求解)。對求二次函數的解析式，要合理選用一般式或頂點式，并應充分運用拋物線關于對稱軸對稱的特點，尋找新的點的坐標。如下圖：

　　2.利用圖象一次(正比例)函數、反比例函數、二次函數中的k、b;a、b、c的符號。

　　六、應用舉例(略)

　　第九章 解直角三角形

　　★重點★解直角三角形

　　☆ 內容提要☆

　　一、三角函數

　　1.定義：在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，則sinA= ;cosA= ;tgA= ;ctgA= .

　　2. 特殊角的三角函數值：

　　0° 30° 45° 60° 90°

　　sinα

　　cosα

　　tgα /

　　ctgα /

　　3. 互余兩角的三角函數關系：sin(90°-α)=cosα;…

　　4. 三角函數值隨角度變化的關系

　　5.查三角函數表

　　二、解直角三角形

　　1. 定義：已知邊和角(兩個，其中必有一邊)→所有未知的邊和角。

　　2. 依據：①邊的關系：

　�、诮堑年P系：A B=90°

　�、圻吔顷P系：三角函數的定義。

　　注意：盡量避免使用中間數據和除法。

　　三、對實際問題的處理

　　1. 俯、仰角： 2.方位角、象限角： 3.坡度：

　　4.在兩個直角三角形中，都缺解直角三角形的條件時，可用列方程的辦法解決。

　　四、應用舉例(略)

　　第十章 圓

　　★重點★①圓的重要性質;②直線與圓、圓與圓的位置關系;③與圓有關的角的定理;④與圓有關的比例線段定理。

　　☆ 內容提要☆

　　一、圓的基本性質

　　1.圓的定義(兩種)

　　2.有關概念：弦、直徑;弧、等弧、優(yōu)弧、劣弧、半圓;弦心距;等圓、同圓、同心圓。

　　3."三點定圓"定理

　　4.垂徑定理及其推論

　　5."等對等"定理及其推論

　　5. 與圓有關的角：⑴圓心角定義(等對等定理)

　�、茍A周角定義(圓周角定理，與圓心角的關系)

　�、窍仪薪嵌�義(弦切角定理)

　　二、直線和圓的位置關系

　　1.三種位置及判定與性質：

　　2.切線的性質(重點)

　　3.切線的判定定理(重點)。圓的切線的判定有⑴…⑵…

　　4.切線長定理

　　三、圓換圓的位置關系

　　1.五種位置關系及判定與性質：(重點：相切)

　　2.相切(交)兩圓連心線的性質定理

　　3.兩圓的公切線：⑴定義⑵性質

　　四、與圓有關的比例線段

　　1.相交弦定理

　　2.切割線定理

　　五、與和正多邊形

　　1.圓的內接、外切多邊形(三角形、四邊形)

　　2.三角形的外接圓、內切圓及性質

　　3.圓的外切四邊形、內接四邊形的性質

　　4.正多邊形及計算

　　中心角：

　　內角的一半： (右圖)

　　(解Rt△OAM可求出相關元素, 、 等)

　　六、 一組計算公式

　　1.圓周長公式

　　2.圓面積公式

　　3.扇形面積公式

　　4.弧長公式

　　5.弓形面積的計算方法

　　6.圓柱、圓錐的側面展開圖及相關計算

　　七、 點的軌跡

　　六條基本軌跡

　　八、 有關作圖

　　1.作三角形的外接圓、內切圓

　　2.平分已知弧

　　3.作已知兩線段的比例中項

　　4.等分圓周：4、8;6、3等分

　　九、 基本圖形

　　十、 重要輔助線

　　1.作半徑

　　2.見弦往往作弦心距

　　3.見直徑往往作直徑上的圓周角

　　4.切點圓心莫忘連

　　5.兩圓相切公切線(連心線)

　　6.兩圓相交公共弦