一年級數(shù)學手抄報內(nèi)容：數(shù)學小知識 1.祖沖之和圓周率 祖沖之不但精通天文、歷法，他在數(shù)學方面的貢獻，特別對“圓周率”研究的杰出成就，更是超越前代，在世界數(shù)學史上放射著異彩�！ ∥覀兌贾缊A周率就是圓的周長和同一圓的直徑的比，這個比值是一個常數(shù)，現(xiàn)在通用希臘字母“π”來表示。圓周率是一個永遠除不盡的無窮小數(shù)，它不能用分數(shù)、有限小數(shù)或循環(huán)小數(shù)完全準確地表示出來。由于現(xiàn)代數(shù)學的進步，已計算出了小數(shù)點后兩千多位數(shù)字的圓周率。 圓周率的應(yīng)用很廣泛。尤其是在天文、歷法方面，凡牽涉到圓的一切問題，都要使用圓周率來推算。我國古代勞動人民在生產(chǎn)實踐中求得的最早的圓周率值是“3”，這當然很不精密，但一直被沿用到西漢。后來，隨著天文、數(shù)學等科學的發(fā)展，研究圓周率的人越來越多了。西漢末年的劉歆首先拋棄“3”這個不精確的圓周率值，他曾經(jīng)采用過的圓周率是3.547。東漢的張衡也算出圓周率為**=3.1622。這些數(shù)值比起π=3當然有了很大的進步，但是還遠遠不夠精密。到了三國末年，數(shù)學家劉徽創(chuàng)造了用割圓術(shù)來求圓周率的方法，圓周率的研究才獲得了重大的進展。 用割圓術(shù)來求圓周率的方法，大致是這樣：先作一個圓，再在圓內(nèi)作一內(nèi)接正六邊形。假設(shè)這圓的直徑是2，那末半徑就等于1。內(nèi)接正六邊形的一邊一定等于半徑，所以也等于1;它的周長就等于6。如果把內(nèi)接正六邊形的周長6當作圓的周長，用直徑2去除，得到周長與直徑的比π=6/2=3，這就是古代π=3的數(shù)值。但是這個數(shù)值是不正確的，我們可以清楚地看出內(nèi)接正六邊形的周長遠遠小于圓周的周長。 如果我們把內(nèi)接正六邊形的邊數(shù)加倍，改為內(nèi)接正十二邊形，再用適當方法求出它的周長，那么我們就可以看出，這個周長比內(nèi)按正六邊形的周長更接近圓的周長，這個內(nèi)接正十二邊形的面積也更接近圓面積。從這里就可以得到這樣一個結(jié)論：圓內(nèi)所做的內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)越多，它各邊相加的總長度(周長)和圓周周長之間的差額就越小。從理論上來講，如果內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)增加到無限多時，那時正多邊形的周界就會同圓周密切重合在一起，從此計算出來的內(nèi)接無限正多邊形的面積，也就和圓面積相等了。不過事實上，我們不可能把內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)增加到無限多，而使這無限正多邊形的周界同圓周重合。只能有限度地增加內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，使它的周界和圓周接近重合。所以用增加圓的內(nèi)接正多邊形邊數(shù)的辦法求圓周率，得數(shù)永遠稍小于π的真實數(shù)值。劉徽就是根據(jù)這個道理，從圓內(nèi)接正六邊形開始，逐次加倍地增加邊數(shù)，一直計算到內(nèi)接正九十六邊形為止，求得了圓周率是3.141O24。把這個數(shù)化為分數(shù)，就是157/50 劉徽所求得的圓周率，后來被稱為“徽率”。他這種計算方法，實際上已具備了近代數(shù)學中的極限概念。這是我國古代關(guān)于圓周率的研究的一個光輝成就。 祖沖之在推求圓周率方面又獲得了超越前人的重大成就。根據(jù)《隋書·律歷志》的記載，祖沖之把一丈化為一億忽，以此為直徑求圓周率。他計算的結(jié)果共得到兩個數(shù)：一個是盈數(shù)(即過剩的近似值)，為3.1415927;一個是朒數(shù)(即不足的近似值)，為3.1415926。圓周率真值正好在盈朒兩數(shù)之間。《隋書》只有這樣簡單的記載，沒有具體說明他是用什么方法計算出來的。不過從當時的數(shù)學水平來看，除劉徽的割圓術(shù)外，還沒有更好的方法。祖沖之很可能就是采用了這種方法。因為采用劉徽的方法，把圓的內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)增多到24576邊時，便恰好可以得出祖沖之所求得的結(jié)果。 盈朒兩數(shù)可以列成不等式，如：3.1415926(*)<π(真實的圓周率)<3.1415927(盈)，這表明圓周率應(yīng)在盈朒兩數(shù)之間。按照當時計算都用分數(shù)的習慣，祖沖之還采用了兩個分數(shù)值的圓周率。一個是355/119(約等于3.1415927)，這一個數(shù)比較精密，所以祖沖之稱它為“密率”。另一個是了(約等于3.14)，這一個數(shù)比較粗疏，所以祖沖之稱它為“約率”。在歐洲，直到1573年才由德國數(shù)學家渥脫求出了355/119這個數(shù)值。因此，日本數(shù)學家三上義夫曾建議把355/119這個圓周率數(shù)值稱為“祖率”，來紀念這位中國的大數(shù)學家�！ �2.牛頓和微積分 大多數(shù)現(xiàn)代歷史學家都相信，牛頓與萊布尼茨獨立發(fā)展出了微積分學，并為之創(chuàng)造了各自獨特的符號。根據(jù)牛頓周圍的人所述，牛頓要比萊布尼茨早幾年得出他的方法，但在1693年以前他幾乎沒有發(fā)表任何內(nèi)容，并直至1704年他才給出了其完整的敘述。其間，萊布尼茨已在1684年發(fā)表了他的方法的完整敘述。此外，萊布尼茨的符號和“微分法”被歐洲大陸全面地采用，在大約1820年以后，英國也采用了該方法。萊布尼茨的筆記本記錄了他的思想從初期到成熟的發(fā)展過程，而在牛頓已知的記錄中只發(fā)現(xiàn)了他最終的結(jié)果。牛頓聲稱他一直不愿公布他的微積分學，是因為他怕被人們嘲笑。牛頓與瑞士數(shù)學家尼古拉·法蒂奧·丟勒(NicolasFatiodeDuillier)的聯(lián)系十分密切，后者一開始便被牛頓的引力定律所吸引。1691年，丟勒打算編寫一個新版本的牛頓《自然哲學的數(shù)學原理》，但從未完成它。一些研究牛頓的傳記作者認為他們之間的關(guān)系可能存在愛情的成分。不過，在1694年這兩個人之間的關(guān)系冷卻了下來。在那個時候，丟勒還與萊布尼茨交換了幾封信件。 在1699年初，皇家學會(牛頓也是其中的一員)的其他成員們指控萊布尼茨剽竊了牛頓的成果，爭論在1711年全面爆發(fā)了。牛頓所在的英國皇家學會宣布，一項調(diào)查表明了牛頓才是真正的發(fā)現(xiàn)者，而萊布尼茨被斥為騙子。但在后來，發(fā)現(xiàn)該調(diào)查評論萊布尼茨的結(jié)語是由牛頓本人書寫，因此該調(diào)查遭到了質(zhì)疑。這導致了激烈的牛頓與萊布尼茨的微積分學論戰(zhàn)，并破壞了牛頓與萊布尼茨的生活，直到后者在1716年逝世。這場爭論在英國和歐洲大陸的數(shù)學家間劃出了一道鴻溝，并可能阻礙了英國數(shù)學至少一個世紀的發(fā)展。 3.歐幾里德與《幾何原本》 關(guān)于他的生平，現(xiàn)在知道的很少。早年大概就學于雅典,深知柏拉圖的學說。公元前300年左右，在托勒密王(公元前364～前283)的邀請下，來到亞歷山大，長期在那里工作。他是一位溫良敦厚的教育家，對有志數(shù)學之士，總是循循善誘。但反對不肯刻苦鉆研、投機取巧的作風，也反對狹隘實用觀點。據(jù)普羅克洛斯(約410～485)記載，托勒密王曾經(jīng)問歐幾里得，除了他的《幾何原本》之外，還有沒有其他學習幾何的捷徑。歐幾里得回答說：“幾何無王者之路�！币馑际�，在幾何里，沒有專為國王鋪設(shè)的大道。這句話后來成為傳誦千古的學習箴言。斯托貝烏斯(約500)記述了另一則故事,說一個學生才開始學第一個命題，就問歐幾里得學了幾何學之后將得到些什么。歐幾里得說：給他三個錢幣，因為他想在學習中獲取實利。 歐幾里得生于雅典，是柏拉圖的學生。他的科學活動主要是在亞歷山大進行的，在這里，他建立了以他為首的數(shù)學學派�！ W幾里得，以他的主要著作《幾何原本》而著稱于世，他的工作重大意義在于把前人的數(shù)學成果加以系統(tǒng)的整理和總結(jié)，以嚴密的演繹邏輯，把建立在一些公理之上的初等幾何學知識構(gòu)成為一個嚴整的體系。 歐幾里得建立起來的幾何學體系之嚴謹和完整，就連20世紀最杰出的大科學家愛因斯坦也不能對他不另眼相看�！ 垡蛩固拐f：“一個人當他最初接觸歐幾里得幾何學時，如果不曾為它的明晰性和可靠性所感動，那么他是不會成為一個科學家的�！薄 稁缀卧尽分械臄�(shù)學內(nèi)容也許沒有多少為他所創(chuàng)，但是關(guān)于公理的選擇，定理的排列以及一些嚴密的證明無疑是他的功勞，在這方面，他的工作出色無比�！ W幾里得的《幾何原本》共有13篇，首先給出的是定義和公理。比如他首先定義了點、線、面的概念�！ ∷淼�5條公理其中包括： 1.從一點到另一任意點作直線是可能的; 2.所有的直角都相等; 3.a=b，b=c，則a=c; 4.若a=b則a+c=b+c等等�！ ∵@里面還有一條公理是歐幾里得自己提出的，即：整體大于部分�！ ‰m然這條公理不像別的公理那么一望便知，不那么容易為人接受，但這是歐氏幾何中必須的，必不可少的。他能提出來，這恰恰顯示了他的天才�！ 稁缀卧尽返�1～4篇主要講多邊形和圓的基本性質(zhì)，像全等多邊形的定理，平行線定理，勾股弦定理等。 第2篇講幾何代數(shù)，用幾何線段來代替數(shù)，這就解決了希臘人不承認無理數(shù)的矛盾，因為有些無理數(shù)可以用作圖的方法，來把它們表示出來�！ 〉�3篇討論圓的性質(zhì)，如弦、切線、割線，圓心角等�！ 〉�4篇討論圓的內(nèi)接和外接圖形。 第5篇是比例論。這一篇對以后數(shù)學發(fā)展史有重大關(guān)系�！ 〉�6篇講的是相似形。其中有一個命題是：直角三角形斜邊上的矩形，其面積等于兩直角邊上的兩個與這相似的矩形面積之和。讀者不妨一試�！ 〉�7、8、9篇是數(shù)論，即講述整數(shù)和整數(shù)之比的性質(zhì)�！ 〉�10篇是對無理數(shù)進行分類�！ 〉�11～13篇講的是立體幾何�！ ∪�13篇共包含有467個命題。《幾何原本》的出現(xiàn)說明人類在幾何學方面已經(jīng)達到了科學狀態(tài)，在經(jīng)驗和直覺的基礎(chǔ)上建立了科學的、邏輯的理論�！ W幾里得，這位亞歷山大大學的數(shù)學教授，已經(jīng)把大地和蒼天轉(zhuǎn)化為一幅由錯綜復雜的圖形所構(gòu)成的龐大圖案�！ ∷诌\用他的驚人才智，指揮靈巧的手指將這個圖案拆開，分成為簡單的組成部分：點、線、角、平面、立體——把一幅無邊無垠的圖，譯成初等數(shù)學的有限語言。 盡管歐幾里得簡化了他的幾何學，但他堅持對幾何學的原則進行透徹的研究，以便他的學生們能充分理解它。 據(jù)說，亞歷山大國王多祿米曾師從歐幾里得學習幾何，有一次對于歐幾里得一遍又一遍地解釋他的原理表示不耐煩�！ 鯁柕溃骸坝袥]有比你的方法簡捷一些的學習幾何學的途徑?” 歐幾里得答道：“陛下，鄉(xiāng)下有兩種道路，一條是供老百姓走的難走的小路，一條是供皇家走的坦途。但是在幾何學里，大家只能走同一條路。走向?qū)W問，是沒有什么皇家大道的，請陛下明白。” 歐幾里得的這番話后來推廣為“求知無坦途”，成為傳誦千古的箴言。 關(guān)于歐幾里得的一生的細節(jié)，由于資料缺乏，我們知道得很少。有一個故事說的是歐幾里得和妻子吵架，妻子很為惱火�！ ∑拮诱f：“收起你的亂七八糟的兒何圖形，它難道為你帶來了面包和牛肉�！薄 W幾里得天生是個憨脾氣，只是笑了笑，說道：“婦人之見，你知道嗎?我現(xiàn)在所寫的，到后世將價值連城!” 妻子嘲笑道：“難道讓我們來世再結(jié)合在一起嗎?你這書呆子�！薄 W幾里得剛要分辯，只見妻子拿起他寫的《幾何原本》的一部分投入火爐中。歐幾里得連忙來搶，可是已經(jīng)來不及了。 據(jù)說妻子燒掉的是《幾何原本》中最后最精彩的一章。但這個遺憾是無法彌補的，她燒的不僅僅是一些有用的書，她燒的是歐幾里得血汗和智慧的結(jié)晶�！ ∪绻厦孢@個故事是真的，那么他妻子的那場震怒可能并不是歐幾里得引起來的。因為古代的作家們告訴我們，他是一個“溫和慈祥的老頭�！薄 ∮捎跉W幾里得知識的淵博，他的學生們簡直把他當作偶像來崇拜。歐幾里得在教授學生時，像一個真正的父親那樣引導他們，關(guān)心他們�！ ∪欢袝r，他也用辛辣的諷刺來鞭撻學生中比較傲慢的，使他們馴服。有一個學生在學習了第一定理之后，便問道：“學習幾何，究竟會有什么好處?” 于是，歐幾里得轉(zhuǎn)身吩咐傭人說：“格魯米阿，拿三個錢幣給這位先生，因為他想在學習中獲得實利。” 歐幾里得主張學習必須循序漸進、刻苦鉆研，不贊成投機取巧的作風，更反對狹隘的實用觀念。后來者帕波斯就特別贊賞他這謙遜的品德�！ ∠窆畔ＥD的大多數(shù)學者一樣，歐幾里德對于他的科學研究的“實際”價值是不大在乎的。他喜愛為研究而研究�！ ∷咔又t恭，與世無爭，平靜地生活在自己的家里。在那個到處充滿勾心斗角的世界里，對于人們吵吵鬧鬧所作出的俗不可耐的表演，則聽之任之�！ ∷f：“這些浮光掠影的東西終究會過去，但是，星羅棋布的天體圖案，卻是永恒地巋然不動。” 歐幾里得除了寫作重要幾何學巨著《幾何原本》外，還著有《數(shù)據(jù)》、《圖形分割》、《論數(shù)學的偽結(jié)論》、《光學》、《反射光學之書》等著作。
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