復數(shù)的有關概念

教學目標

　�。�1）掌握復數(shù)的有關概念，如虛數(shù)、純虛數(shù)、復數(shù)的實部與虛部、兩復數(shù)相等、復平面、實軸、虛軸、共軛復數(shù)、共軛虛數(shù)的概念。
　�。�2）正確對復數(shù)進行分類，掌握數(shù)集之間的從屬關系；
　�。�3）理解復數(shù)的幾何意義，初步掌握復數(shù)集C和復平面內(nèi)所有的點所成的集合之間的一一對應關系。
　�。�4）培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，訓練學生條理的邏輯思維能力．

教學建議

（一）教材分析

1、知識結(jié)構(gòu)

　　本節(jié)首先介紹了復數(shù)的有關概念，然后指出復數(shù)相等的充要條件，接著介紹了有關復數(shù)的幾何表示，最后指出了有關共軛復數(shù)的概念．

2、重點、難點分析

　　（1）正確復數(shù)的實部與虛部

　　對于復數(shù) ，實部是 ，虛部是 ．注意在說復數(shù) 時，一定有 ，否則，不能說實部是 ，虛部是 ,復數(shù)的實部和虛部都是實數(shù)。

　　說明：對于復數(shù)的定義，特別要抓住 這一標準形式以及 是實數(shù)這一概念，這對于解有關復數(shù)的問題將有很大的幫助。

　�。�2）正確地對復數(shù)進行分類，弄清數(shù)集之間的關系

　　分類要求不重復、不遺漏，同一級分類標準要統(tǒng)一。根據(jù)上述原則，復數(shù)集的分類如下：

注意分清復數(shù)分類中的界限：

　�、僭O ，則 為實數(shù)

　�、� 為虛數(shù)

　�、� 且 。

　�、� 為純虛數(shù) 且

（3）不能亂用復數(shù)相等的條件解題．用復數(shù)相等的條件要注意：

　�、倩癁閺蛿�(shù)的標準形式

②實部、虛部中的字母為實數(shù)，即

（4）在講復數(shù)集與復平面內(nèi)所有點所成的集合一一對應時，要注意：

　�、偃魏我粋�復數(shù) 都可以由一個有序?qū)崝?shù)對( )唯一確定．這就是說，復數(shù)的實質(zhì)是有序?qū)崝?shù)對．一些書上就是把實數(shù)對( )叫做復數(shù)的．

　�、趶蛿�(shù) 用復平面內(nèi)的點Z( )表示．復平面內(nèi)的點Z的坐標是( )，而不是( )，也就是說，復平面內(nèi)的縱坐標軸上的單位長度是1，而不是 ．由于 =0＋1· ，所以用復平面內(nèi)的點(0，1)表示 時，這點與原點的距離是1，等于縱軸上的單位長度．這就是說，當我們把縱軸上的點(0，1)標上虛數(shù) 時，不能以為這一點到原點的距離就是虛數(shù)單位 ，或者 就是縱軸的單位長度．

　�、郛� 時，對任何 ， 是純虛數(shù)，所以縱軸上的點( )( )都是表示純虛數(shù)．但當 時， 是實數(shù)．所以，縱軸去掉原點后稱為虛軸．

　　由此可見，復平面(也叫高斯平面)與一般的坐標平面(也叫笛卡兒平面)的區(qū)別就是復平面的虛軸不包括原點，而一般坐標平面的原點是橫、縱坐標軸的公共點．

　�、軓蛿�(shù)z=a＋bi中的z，書寫時小寫，復平面內(nèi)點Z(a，b)中的Z，書寫時大寫．要學生注意．

（5）關于共軛復數(shù)的`概念

　　設 ，則 ，即 與 的實部相等，虛部互為相反數(shù)（不能認為 與 或 是共軛復數(shù)）．

　　教師可以提一下當 時的特殊情況，即實軸上的點關于實軸本身對稱，例如：5和－5也是互為共軛復數(shù)．當 時， 與 互為共軛虛數(shù)．可見，共軛虛數(shù)是共軛復數(shù)的特殊情行．

（6）復數(shù)能否比較大小

　　教材最后指出：“兩個復數(shù)，如果不全是實數(shù)，就不能比較它們的大小”，要注意：

　　①根據(jù)兩個復數(shù)相等地定義，可知在 兩式中，只要有一個不成立，那么 ．兩個復數(shù)，如果不全是實數(shù)，只有相等與不等關系，而不能比較它們的大�。�

　�、诿�題中的“不能比較它們的大小”的確切含義是指：“不論怎樣定義兩個復數(shù)間的一個關系‘<’，都不能使這關系同時滿足實數(shù)集中大小關系地四條性質(zhì)”：

　　(i)對于任意兩個實數(shù)a， b來說，a＜b， a=b， b＜a這三種情形有且僅有一種成立；

　　(ii)如果a＜b，b＜c，那么a＜c；

　　(iii)如果a＜b，那么a＋c＜b＋c；

　　(iv)如果a＜b，c＞0，那么ac＜bc．(不必向?qū)W生講解)

（二）教法建議

　　1．要注意知識的連續(xù)性：復數(shù) 是二維數(shù)，其幾何意義是一個點 ，因而注意與平面解析幾何的聯(lián)系．

　　2．注意數(shù)形結(jié)合的數(shù)形思想：由于復數(shù)集與復平面上的點的集合建立了一一對應關系，所以用“形”來解決“數(shù)”就成為可能，在本節(jié)要注意復數(shù)的幾何意義的講解，培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想．

　　3．注意分層次的教學：教材中最后對于“兩個復數(shù)，如果不全是實數(shù)就不能本節(jié)它們的大小”沒有證明，如果有學生提出來了，在課堂上不要給全體學生證明，可以在課下給學有余力的學生進行解答．

復數(shù)的有關概念

教學目標

　　1．了解復數(shù)的實部，虛部；

　　2．掌握復數(shù)相等的意義；

　　3．了解并掌握共軛復數(shù)，及在復平面內(nèi)表示復數(shù)．

教學重點

　　復數(shù)的概念，復數(shù)相等的充要條件．

教學難點

　　用復平面內(nèi)的點表示復數(shù)Ｍ．

教學用具：直尺

課時安排：1課時

教學過程：

一、復習提問：

　　1．復數(shù)的定義。

　　2．虛數(shù)單位。

二、講授新課

　　1．復數(shù)的實部和虛部：

　　復數(shù) 中的a與b分別叫做復數(shù)的實部和虛部。

　　2．復數(shù)相等

　　如果兩個復數(shù) 與 的實部與虛部分別相等，就說這兩個復數(shù)相等。

　　即： 的充要條件是 且 。

　　例如： 的充要條件是 且 。

　　例1： 已知 其中 ，求x與y.

　　解：根據(jù)復數(shù)相等的意義，得方程組：

　　∴

　　例2：m是什么實數(shù)時，復數(shù) ,

　　(1) 是實數(shù)，(2)是虛數(shù)，（3）是純虛數(shù).

　　解：

　　(1) ∵ 時，z是實數(shù),

∴ ,或 .

　　(2) ∵ 時，z是虛數(shù),

　　∴ ，且

　　(3) ∵ 且 時，

　　z是純虛數(shù). ∴

　　3．用復平面（高斯平面）內(nèi)的點表示復數(shù)

復平面的定義

　　建立了直角坐標系表示復數(shù)的平面，叫做復平面．

　　復數(shù) 可用點 來表示．（如圖）其中x軸叫實軸，y軸 除去原點的部分叫虛軸，表示實數(shù)的點都在實軸上，表示純虛數(shù)的點都在虛軸上。原點只在實軸x上，不在虛軸上．

　　4．復數(shù)的幾何意義：

　　復數(shù)集c和復平面所有的點的集合是一一對應的．

　　5．共軛復數(shù)

　�。�1）當兩個復數(shù)實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復數(shù)叫做互為共軛復數(shù)。（虛部不為零也叫做互為共軛復數(shù)）

　　（2）復數(shù)z的共軛復數(shù)用 表示．若 ，則： ；

　�。�3）實數(shù)a的共軛復數(shù)仍是a本身，純虛數(shù)的共軛復數(shù)是它的相反數(shù)．

　�。�4）復平面內(nèi)表示兩個共軛復數(shù)的點z與 關于實軸對稱．

三、練習 1,2,3,4.

四、小結(jié)：

　　1．在理解復數(shù)的有關概念時應注意：

　�。�1）明確什么是復數(shù)的實部與虛部；

　�。�2）弄清實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)分別對實部與虛部的要求；

　�。�3）弄清復平面與復數(shù)的幾何意義；

　�。�4）兩個復數(shù)不全是實數(shù)就不能比較大小。

　　2．復數(shù)集與復平面上的點注意事項：

　�。�1）復數(shù) 中的z，書寫時小寫，復平面內(nèi)點Z(a，b)中的Z，書寫時大寫。

　�。�2）復平面內(nèi)的點Z的坐標是(a，b)，而不是(a，bi)，也就是說，復平面內(nèi)的縱坐標軸上的單位長度是1，而不是i。

　�。�3）表示實數(shù)的點都在實軸上，表示純虛數(shù)的點都在虛軸上。

　　（4）復數(shù)集C和復平面內(nèi)所有的點組成的集合一一對應：

五、作業(yè) 1,2,3,4,

六、板書設計：

§8,2　復數(shù)的有關概念

1定義：　　例1 　 3定義:　　　4幾何意義:

……　　 ……　　 …… ……

2定義：　　例2 5共軛復數(shù):

……　　 ……　　 …… ……