“余弦定理”教學(xué)設(shè)計(jì)

“余弦定理”教學(xué)設(shè)計(jì)

射陽(yáng)縣教育局教研室 王克亮

教學(xué)目標(biāo):(1)掌握余弦定理,并能解決一些簡(jiǎn)單的度量問(wèn)題.

(2)初步運(yùn)用余弦定理解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題. (3)經(jīng)歷余弦定理的發(fā)現(xiàn)與驗(yàn)證過(guò)程,增強(qiáng)學(xué)生的理性思維能力. 教學(xué)重點(diǎn):余弦定理的發(fā)現(xiàn)與運(yùn)用. 教學(xué)難點(diǎn):余弦定理的證明.

課前準(zhǔn)備:(1)自制一個(gè)如圖所示的道具.

(2)課前,教者在黑板上畫好如圖所示的三個(gè)三角形.

固定聯(lián)結(jié)點(diǎn)

A

塑料棒1

細(xì)繩

可動(dòng)聯(lián)結(jié)點(diǎn)

可轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn) 塑料棒2

道具

b B B

B

A

教學(xué)過(guò)程:

一、情境創(chuàng)設(shè) 提出問(wèn)題

[1]情境引入

師:首先請(qǐng)看兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題:

情境1 A,B兩地之間隔著一座小山,現(xiàn)要測(cè)量A、B之間即將修建的一條直的隧道的長(zhǎng)度.另選一個(gè)點(diǎn)C,可以測(cè)得的數(shù)據(jù)有:AC?182m,BC?126m,?ACB?630,如何求A、B兩地之間隧道的長(zhǎng)度(精確到1m).

A

B

B D

C E

A

情境2 一位工人欲做一個(gè)三角形的支架.已知桿BC的長(zhǎng)度為6分米,DAE是由一根直的鋼管沿著點(diǎn)A彎折而成.若彎折點(diǎn)A與焊接點(diǎn)B,C的距離分別為4分米和5分米,欲彎折后桿BC恰好能與兩焊接點(diǎn)相接,則彎折后∠BAC的大小是多少(精確到0.1度)?

[2]提出問(wèn)題

師:顯然,這兩個(gè)都是解三角形的問(wèn)題.其中,情境1的實(shí)質(zhì)是知道了三角形的兩邊與其夾角,求第三邊的長(zhǎng)度；而情境2的實(shí)質(zhì)就是已知三角形的三條邊,要求其一個(gè)內(nèi)角的大小.

請(qǐng)問(wèn):(1)這兩個(gè)問(wèn)題能用正弦定理來(lái)解決嗎? 生:不能.

(2)那么,這兩個(gè)問(wèn)題之間有聯(lián)系嗎? 生:互逆.

師:對(duì),在解法上是互逆的.,所以本節(jié)課我們將要探究的核心問(wèn)題是:在已知三角形兩條邊的前提下,其夾角的大小與第三條邊的長(zhǎng)度之間有著怎樣的關(guān)系?這正是余弦定理所揭示的規(guī)律----引入課題.

二、問(wèn)題探究 知識(shí)建構(gòu)

問(wèn)題1 在?ABC中,已知CB?a,CA?b(其中a?b),當(dāng)?C從小到大變化時(shí),AB的長(zhǎng)度的變化趨勢(shì)如何?

師:(學(xué)生思考了一會(huì)兒后)我們可以用一個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)看一下. (課上,利用課前制作道具做一下演示實(shí)驗(yàn).) 生: AB的長(zhǎng)度隨著?C的增大而增大.

師:這是一個(gè)定性的結(jié)論.那么對(duì)于定量的研究,一個(gè)常用的思維策略是特殊化. 取C=90?是最容易想到的；另外,雖然角C不能取0?與180?,但它可以無(wú)限接近這兩個(gè)角,所以不妨再考察一下這兩種情形.

續(xù)問(wèn): 若將?C的范圍擴(kuò)大到[00,1800],特別地:當(dāng)?C?00,?C?900,?C?1800這三種特殊情形時(shí),AB的長(zhǎng)度分別是多少?

生:當(dāng)?C?00時(shí),AB?a?b；當(dāng)?C?900時(shí)

,AB?；當(dāng)?C?1800

時(shí),AB?a?b.

師:我們不妨把這三個(gè)結(jié)論在形式上寫得更接近些,即

:

當(dāng)?C?00時(shí),AB?當(dāng)?C?900時(shí),AB?當(dāng)?C?1800時(shí),AB?B

A

問(wèn)題2 請(qǐng)你根據(jù)上述三個(gè)特例的結(jié)果,試猜想:當(dāng)?C??(00???1800)時(shí),線段AB的長(zhǎng)度是多少?

(在學(xué)生獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上,小組討論交流后請(qǐng)學(xué)生回答) 生

:AB?問(wèn)題3 你能驗(yàn)證該猜想嗎?請(qǐng)?jiān)囈辉?

(課上,利用課前畫好的三張圖進(jìn)行討論.先讓學(xué)生獨(dú)立思考一會(huì)兒,然后根據(jù)學(xué)生回答的情況進(jìn)行講解,至少討論下列前兩種方法.)

方法一:

證: (1)當(dāng)?C??為銳角時(shí),過(guò)點(diǎn)A作AD?BC于D.

則AB2?BD2?AD2?(a?bcos?)2?(bsin?)2=a2?b2?2abcos?.

D

B

A

(2)當(dāng)?C??為直角時(shí),結(jié)論顯然成立.

(3)當(dāng)?C??為鈍角時(shí), 過(guò)點(diǎn)A作AD?BC交BC的延長(zhǎng)線于D. 則AB?BD?AD?(a?bcos(???))?(bsin(???))

?(a?bcos?)?(bsin?)=a?b?2abcos?.

D

2

2

2

2

2

2

2

A

b

22

C

a

B

綜上所述,

均有AB?故猜想成立.

師:這種思路是構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理來(lái)計(jì)算AB的長(zhǎng),但要注意這里要分三種情況討論.

方法二:

????????????????2????????2

證:因?yàn)锳B?AC?CB,所以AB?(AC?CB)

????2????2????????

?AC?CB?2AC?CB?a2?b2?2abcos(???)?a2?b2?2abcos?,

B

A

即AB?故猜想成立.

師:這種方法的思路是構(gòu)造向量,借助向量的運(yùn)算來(lái)證題.將向量等式轉(zhuǎn)化數(shù)量等式常用的手段是作數(shù)量積.

方法三:

證:以C為坐標(biāo)原點(diǎn),CB所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系.

????

則B(a,0),A(bcos?,bsin?),則BA?(bcos??a,bsin?),所以

????2

|AB|?(bcos??a)2?(bsin??0)2=a2?b2?2abcos?,

????

即AB?|AB|?故猜想成立.

師:這種思路是建立平面直角坐標(biāo)系,借助于坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)證題.利用坐標(biāo)法的優(yōu)點(diǎn)在于不必分類討論了且運(yùn)算簡(jiǎn)單.

當(dāng)然,我們還可以從其它途徑來(lái)驗(yàn)證這一猜想,這里就不再討論了,有興趣的同學(xué)課后我們可以作些交流.

問(wèn)題4 在三角形中,如何用符號(hào)語(yǔ)言與文字語(yǔ)言表示出上述結(jié)論? (提示:根式的表示形式不如平方的形式來(lái)得美觀.)

c2?a2?b2?2abcosC,

生:符號(hào)語(yǔ)言:在△ABC中,有a2?b2?c2?2bccosA,

b2?a2?c2?2accosB.

文字語(yǔ)言:三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.

師:很好!這一結(jié)論我們稱之為余弦定理,上述三個(gè)公式是余弦定理的一種表現(xiàn)形式. 問(wèn)題5 如何根據(jù)三角形三條邊的長(zhǎng)度來(lái)求其內(nèi)角的大小呢?

a2?b2?c2b2?c2?a2a2?c2?b2

生:將上述結(jié)論變形為: cosC?,cosA?,cosB?.

2ab2bc2ac

師:這是余弦定理的另一種表現(xiàn)形式.對(duì)于余弦定理的這兩種形式,我們?cè)诮忸}中應(yīng)該靈活地加以選用.

感悟:(1)在第一組式子中,當(dāng)C=90°時(shí),即有c2?a2?b2.所以,勾股定理是余弦定理 的特殊情形,余弦定理可以看做是勾股定理的推廣.

(2)在第二組式子中,我們考察式子左右兩邊的符號(hào),不難發(fā)現(xiàn):

在△ABC中,C為銳角?a2?b2?c2;C為直角?a2?b2?c2;C為鈍角?a2?b2?c2. 師:也就是說(shuō),在三角形中,要判斷一個(gè)內(nèi)角是什么角,只要看它的對(duì)邊的平方與其它兩邊平方的和的大小.

三、數(shù)學(xué)應(yīng)用 深化理解

例1 在△ABC中,已知b=3,c=1,A=60°,求a.

解析:由余弦定理,得a2?b2?c2?2bccosA?32?12?2?3?1?cos600?7,

所以a?問(wèn):在此條件下,其它元素可求嗎?

反思:(1)利用余弦定理,可以解決“已知兩邊和它們的夾角,求第三邊和其他兩個(gè)角”的問(wèn)題.

(2)用余弦定理求邊的長(zhǎng)度時(shí),切記最后的結(jié)果要開平方. 師: 情境1就是這種類型的問(wèn)題,我們也不妨看一下解答.

情境1:A,B兩地之間隔著一座小山,現(xiàn)要測(cè)量A、B之間即將修建的一條隧道的長(zhǎng)度.另選一個(gè)點(diǎn)C,可以測(cè)得的數(shù)據(jù)有:AC=182m,BC=126m,∠ACB=63°,如何求A,B兩地之間隧道的長(zhǎng)度(精確到1m).

解析: 在?ABC中,因?yàn)锳C?182m,BC?126m,?ACB?630,則由余弦定理,得

AB2?AC2?BC2?2AC?BCcos?ACB?1822?1262?2?182?126cos630 ?1822?1262?2?182?126?0.454?28177.15,

所以AB?168m.

答:A，B兩地之間隧道的長(zhǎng)度約為168m. 例2 在?ABC中,已知a=7,b=5,c=3,求A.

b2?c2?a252?32?721

解析:由余弦定理,得cosA????,

2bc2?5?32

所以A=120°.

問(wèn):在此條件下,其它兩個(gè)角可求嗎? 眾生:可求.

反思: (1)利用余弦定理,可以解決“已知三邊,求三個(gè)角”的問(wèn)題. 師:情境2就是這種類型的問(wèn)題,我們不妨看一下解答.

情境2: 一位工人欲做一個(gè)三角形的支架.已知桿BC的長(zhǎng)度為6分米,DAE是由一根直的鋼管沿著點(diǎn)A彎折而成.若彎折點(diǎn)A與焊接點(diǎn)B,C的距離分別為4分米和5分米,欲彎折后桿BC恰好能與兩焊接點(diǎn)相接,則彎折后∠BAC的大小是多少(精確到0.1度)?

解析:在?ABC中,因?yàn)閏?4,b?5,a?6,則由余弦定理,得

b2?c2?a252?42?62

cosA???0.125,,所以A?82.80；

2bc2?5?4

A

E

答:彎折后,?BAC?82.80.

D

反思:(2)利用余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題,解題的關(guān)鍵是建立出相應(yīng)的三角形的模型.同時(shí),要注意最后結(jié)果的精確度的要求.

變式:(1)在△ABC中,已知a2+b2+ab=c2,求角C的大小.

a2?b2?c2?ab11222222

???,即cosC??, 解析:由a+b+ab=c,得a?b?c??ab,則

2ab2ab22

所以C?1200.

反思:(3)在解三角形時(shí),由邊的條件式求角時(shí),別忘了余弦定理；同時(shí)要注重余弦定理的逆用.

變式:(2)若三條線段的長(zhǎng)分別為5,6,7,則用這三條線段( ). A.能組成直角三角形 B.能組成銳角三角形

C.能組成鈍角三角形 D.不能組成三角形

解析:首先因?yàn)閮蓷l小邊之和大于第三邊,所以能夠組成三角形；接著,只要看最大的角是什么角.因?yàn)?2?62?72,所以最大角為銳角,故這三條線段能組成銳角三角形.

思考:(1)若用長(zhǎng)為5,6,x的三條線段構(gòu)成的三角形是鈍角三角形,則正數(shù)x的取值范圍 是________.

(2)在?ABC中,已知a +c =2b,求證:B≤45°.

?x?6?x?6??

解析:(1)由?x?5?6或?5?x?6,

?x?11或1?x??x2?52?62?62?x2?52??

(2)要證: B≤60°,只要證:cosB?

1c?a?b1???22ca21

所以cosB?,故B≤60°.

2

2

2

2

1. 2

c2?a2?(

而cosB?

c?a2

)

13c2?3a2?6ca3(c?a)2??0, ?=

8ca8ca2ca2

四、思維提升 鞏固拓展

[1]課堂小結(jié)

數(shù)學(xué)知識(shí)----本節(jié)課新學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)只有余弦定理.余弦定理與正弦定理是三角形中的兩朵奇葩,從形式上看,兩者都具有“美觀”的外形,余弦定理雖有多個(gè)表達(dá)式,但它們之間具有可以輪換的對(duì)稱美；從本質(zhì)上看,兩者都揭示了三角形中邊與角之間“美妙”的內(nèi)在聯(lián)系.

在解三角形的問(wèn)題中,“已知三個(gè)元素”包括了“三條邊,兩角一邊,兩邊一角”這三種情況,前面學(xué)習(xí)的正弦定理能夠解決已知“兩角與任一邊” 以及“兩邊與其中一邊的對(duì)角”這兩類問(wèn)題；今天學(xué)習(xí)的余弦定理又能夠解決已知“三邊” 以及“兩邊及其夾角”的這兩類問(wèn)題.這樣,對(duì)于一般的解三角形問(wèn)題,我們就都能找到解決的辦法了.當(dāng)然,對(duì)于一些較為復(fù)雜的三角形問(wèn)題,往往還要把這兩個(gè)定理聯(lián)合起來(lái)解決問(wèn)題.

思維啟迪----從本節(jié)課的討論與研究中,我們獲得了以下的一些思維啟迪:

(1)本節(jié)課上,對(duì)于余弦定理的發(fā)現(xiàn),我們是從三個(gè)特例開始的,這遵循了“從特殊到一般”的思維策略.

(2)在三個(gè)特例的基礎(chǔ)上,我們進(jìn)行了大膽的猜想,所以合理運(yùn)用數(shù)學(xué)猜想等合情推理手段,是我們進(jìn)行數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的一個(gè)重要途徑.

(3)另外,在驗(yàn)證余弦定理時(shí),我們運(yùn)用到了幾何、三角、向量等多個(gè)知識(shí)領(lǐng)域,所以我們要注重不同知識(shí)內(nèi)容之間的融會(huì)貫通.

[2]作業(yè)布置

必做作業(yè):教材第16頁(yè)習(xí)題1.2第1,2,3,4題. 選做作業(yè):教材第16頁(yè)習(xí)題1.2第12題.

課后探究: (1) 思考:若用長(zhǎng)為5,6,x的三條線段構(gòu)成的三角形是鈍角三角形,則正數(shù)x的取值范圍是________.

(2)在?ABC中,已知a +c =2b,求證:B≤45°.