等時(shí)圓”模型的基本規(guī)律及應(yīng)用

“等時(shí)圓”模型的基本規(guī)律及應(yīng)用

（此文章已發(fā)表于《考試》雜志）

前段時(shí)間在網(wǎng)上發(fā)了一個(gè)帖子“等時(shí)圓規(guī)律有哪些應(yīng)用”，居然有同志認(rèn)為是“等勢(shì)圓”吧。而在物理教學(xué)中，借助各種模型，把抽象問(wèn)題具體化，把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，能使得物理問(wèn)題便于理解和接受�；�于此我對(duì)“等時(shí)圓”規(guī)律和應(yīng)用闡述如下：
一、何謂“等時(shí)圓”
如圖1所示，ad、bd、cd是豎直面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿，a、b、c、d位于同一圓周上，a點(diǎn)為圓周的最高點(diǎn)，d點(diǎn)為最低點(diǎn)。每根桿上都套有一個(gè)小滑環(huán)（圖中未畫出），三個(gè)滑環(huán)分別從a、b、c處釋放（初速為0），用t1、t2、t3依次表示各滑環(huán)到達(dá)d所用的時(shí)間，則（ ）
A.t1<t2<t3 B.t1>t2>t3 C.t3>t1>t2 D.t1=t2=t3
解析：選任一桿上的環(huán)為研究對(duì)象，受力分析并建立坐標(biāo)如圖所示，設(shè)圓半徑為R，由牛頓第二定律得，
①
再由幾何關(guān)系，細(xì)桿長(zhǎng)度 ②
設(shè)下滑時(shí)間為，則 ③
由以上三式得， 可見(jiàn)下滑時(shí)間與細(xì)桿傾角無(wú)關(guān)，所以D正確。由此題我們可以得出一個(gè)結(jié)論。
結(jié)論：物體沿著位于同一豎直圓上的所有光滑弦由靜止下滑，到達(dá)圓周最低點(diǎn)的時(shí)間相等。
推論：若將圖1倒置成圖2的形式，同樣可以證明物體從最高點(diǎn)由靜止開(kāi)始沿不同的光滑細(xì)桿到圓周上各點(diǎn)所用的時(shí)間相等。
象這樣的豎直圓我們簡(jiǎn)稱為“等時(shí)圓”。關(guān)于它在解題中的應(yīng)用，我們看下面的例子：
二、“等時(shí)圓”的`應(yīng)用
可直接觀察出的“等時(shí)圓”
例1：如圖3，通過(guò)空間任一點(diǎn)A可作無(wú)限多個(gè)斜面，若將若干個(gè)小物體從點(diǎn)A分別沿這些傾角各不相同的光滑斜面同時(shí)滑下，那么在同一時(shí)刻這些小物體所在位置所構(gòu)成的面是（ ）
A.球面 B.拋物面 C.水平面 D.無(wú)法確定
解析：由“等時(shí)圓”可知，同一時(shí)刻這些小物體應(yīng)在同一“等時(shí)圓”上，所以A正確。
例2：如圖4，位于豎直平面內(nèi)的固定光滑圓軌道與水平面相切于M點(diǎn)，與豎直墻相切于點(diǎn)A，豎直墻上另一點(diǎn)B與M的連線和水平面的夾角為600，C是圓環(huán)軌道的圓心，D是圓環(huán)上與M靠得很近的一點(diǎn)（DM遠(yuǎn)小于CM）。已知在同一時(shí)刻：a、b兩球分別由A、B兩點(diǎn)從靜止開(kāi)始沿光滑傾斜直軌道運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)；c球由C點(diǎn)自由下落到M點(diǎn)；d球從D點(diǎn)靜止出發(fā)沿圓環(huán)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)。則：（ ）
A、a球最先到達(dá)M點(diǎn) B、b球最先到達(dá)M點(diǎn)
C、c球最先到達(dá)M點(diǎn) D、d球最先到達(dá)M點(diǎn)
解析：設(shè)圓軌道半徑為R，據(jù)“等時(shí)圓”理論，ta==2 ， tb> ta ；c做自由落體運(yùn)動(dòng)tc= ；而d球滾下是一個(gè)單擺模型，擺長(zhǎng)為R，td== ，所以C正確。
2、運(yùn)用等效、類比自建“等時(shí)圓”
例3：如圖5所示，在同一豎直線上有A、B兩點(diǎn)，相距為h，B點(diǎn)離地高度為H，現(xiàn)在要在地面上尋找一點(diǎn)P，使得從A、B兩點(diǎn)分別向點(diǎn)P安放的光滑木板，滿足物體從靜止開(kāi)始分別由A和B沿木板下滑到P點(diǎn)的時(shí)間相等，求O、P兩點(diǎn)之間的距離。
解析：由“等時(shí)圓”特征可知，當(dāng)A、B處于等時(shí)圓周上，且P點(diǎn)處于等時(shí)圓的最低點(diǎn)時(shí)，即能滿足題設(shè)要求。
如圖6所示，此時(shí)等時(shí)圓的半徑為：

所以
例4：如圖7， AB是一傾角為θ的輸送帶，P處為原料輸入口，為避免粉塵飛揚(yáng)，在P與AB輸送帶間建立一管道（假使光滑），使原料從P處以最短的時(shí)間到達(dá)輸送帶上，則管道與豎直方向的夾角應(yīng)為多大？

解析：借助“等時(shí)圓”，可以過(guò)P點(diǎn)的豎直線為半徑作圓，要求該圓與輸送帶AB相切，如圖所示，C為切點(diǎn)，O為圓心。顯然，沿著PC弦建立管道，原料從P處到達(dá)C點(diǎn)處的時(shí)間與沿其他弦到達(dá)“等時(shí)圓”的圓周上所用時(shí)間相等。因而，要使原料從P處到達(dá)輸送帶上所用時(shí)間最短，需沿著PC建立管道。由幾何關(guān)系可得：PC與豎直方向間的夾角等于θ/ 2。
三、“形似質(zhì)異”問(wèn)題的區(qū)分
1、還是如圖1的圓周，如果各條軌道不光滑，它們的摩擦因數(shù)均為μ，小滑環(huán)分別從a、b、c處釋放（初速為0）到達(dá)圓環(huán)底部的時(shí)間還等不等？
解析：bd的長(zhǎng)為2Rcosθ，bd面上物體下滑的加速度為a=gcosθ-μgsinθ，tbd==2。可見(jiàn)t與θ有關(guān)。
2、如圖9，圓柱體的倉(cāng)庫(kù)內(nèi)有三塊長(zhǎng)度不同的滑板aO、bO、cO，其下端都固定于底部圓心O，而上端則擱在倉(cāng)庫(kù)側(cè)壁，三塊滑塊與水平面的夾角依次為300、450、600。若有三個(gè)小孩同時(shí)從a、b、c處開(kāi)始下滑（忽略阻力），則 （ ）
A、a處小孩最先到O點(diǎn) B、b處小孩最先到O點(diǎn)
C、c處小孩最先到O點(diǎn) D、a、c處小孩同時(shí)到O點(diǎn)
解析：三塊滑塊雖然都從同一圓柱面上下滑，但a、b、c三點(diǎn)不可能在同一豎直圓周上，所以下滑時(shí)間不一定相等。設(shè)圓柱底面半徑為R，則=gsinθt2，t2=，當(dāng)θ=450時(shí)，t最小，當(dāng)θ=300和600時(shí)，sin2θ的值相等。