反比例函數(shù)及其圖象（通用6篇）

反比例函數(shù)及其圖象 篇1

　　教學(xué)設(shè)計示例1

　　教學(xué)目標(biāo)：

　　1、理解反比例函數(shù)，并能從實際問題中抽象出反比例關(guān)系的函數(shù)解析式；

　　2、會畫出反比例函數(shù)的圖象，并結(jié)合圖象分析總結(jié)出反比例函數(shù)的性質(zhì)；

　　3、滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想及普遍聯(lián)系的辨證唯物主義思想；

　　4、體會數(shù)學(xué)從實踐中來又到實際中去的研究、應(yīng)用過程；

　　5、培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，及數(shù)學(xué)地發(fā)現(xiàn)問題，解決問題的能力.

　　教學(xué)重點：

　　結(jié)合圖象分析總結(jié)出反比例函數(shù)的性質(zhì)；

　　教學(xué)難點：描點畫出反比例函數(shù)的圖象

　　教學(xué)用具：直尺

　　教學(xué)方法：小組合作、探究式

　　教學(xué)過程：

　　1、從實際引出反比例函數(shù)的概念

　　我們在小學(xué)學(xué)過反比例關(guān)系.例如：當(dāng)路程S一定時，時間t與速度v成反比例

　　即vt=S（S是常數(shù)）；

　　當(dāng)矩形面積S一定時，長a與寬b成反比例，即ab=S（S是常數(shù)）

　　從函數(shù)的觀點看，在運動變化的過程中，有兩個變量可以分別看成自變量與函數(shù)，寫成：

　�。⊿是常數(shù)）

　�。⊿是常數(shù)）

　　一般地，函數(shù) （k是常數(shù)， ）叫做反比例函數(shù).

　　如上例，當(dāng)路程S是常數(shù)時，時間t就是v的反比例函數(shù).當(dāng)矩形面積S是常數(shù)時，長a是寬b的反比例函數(shù).

　　在現(xiàn)實生活中，也有許多反比例關(guān)系的例子.可以組織學(xué)生進行討論.下面的例子僅供

　　2、列表、描點畫出反比例函數(shù)的圖象

　　例1、畫出反比例函數(shù) 與 的圖象

　　解：列表

　　x

　　-6

　　-5

　　-4

　　-3

　　1

　　2

　　3

　　4

　　5

　　6

　　-1

　　-1.2

　　-1.5

　　-2

　　6

　　3

　　2

　　1.5

　　1.2

　　1

　　1

　　1.2

　　1.5

　　2

　　-6

　　-3

　　-2

　　-1.5

　　-1.2

　　1

　　說明：由于學(xué)生第一次接觸反比例函數(shù)，無法推測出它的大致圖象.取點的時候最好多取幾個，正負可以對稱著取分別畫點描圖

　　一般地反比例函數(shù) （k是常數(shù)， ）的圖象由兩條曲線組成，叫做雙曲線.

　　3、觀察圖象，歸納、總結(jié)出反比例函數(shù)的性質(zhì)

　　前面學(xué)習(xí)了三類基本的初等函數(shù)，有了一定的基礎(chǔ)，這里可視學(xué)生的程度或展開全面的討論，或在老師的引導(dǎo)下完成知識的學(xué)習(xí).

　　顯示這兩個函數(shù)的圖象，提出問題：你能從圖象上發(fā)現(xiàn)什么有關(guān)反比例函數(shù)的性質(zhì)呢？并能從解析式或列表中得到論證.（下列答案僅供參考）

　　（1） 的圖象在第一、三象限.可以擴展到k >0時的情形，即k>0時，雙曲線兩支各在第一和第三象限.從解析式中，也可以得出這個結(jié)論：xy=k，即x與y同號，因此，圖象在第一、三象限.

　　的討論與此類似.

　　抓住機會，說明數(shù)與形的統(tǒng)一，也滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.體現(xiàn)了由特殊到一般的研究過程.

　　（2）函數(shù) 的圖象，在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減�。�

　　從圖象中可以看出，當(dāng)x從左向右變化時，圖象呈下坡趨勢.從列表中也可以看出這樣的變化趨勢.有理數(shù)除法說明了同樣的道理，被除數(shù)一定時，若除數(shù)大于零，除數(shù)越大，商越�。蝗舫龜�(shù)小于零，同樣是除數(shù)越大，商越小.由此可歸納出，當(dāng)k>0時，函數(shù) 的圖象，在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小.

　　同樣可以推出 的圖象的性質(zhì).

　　（3）函數(shù) 的圖象不經(jīng)過原點，且不與x軸、y軸交.從解析式中也可以看出， .如果x取值越來越大時，y的值越來越小，趨近于零；如果x取負值且越來越小時，y的值也越來越趨近于零.因此，呈現(xiàn)的是雙曲線的樣子.同理，抽象出 圖象的性質(zhì).

　　函數(shù) 的圖象性質(zhì)的討論與次類似.

　　4、小結(jié)：

　　本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的概念及其圖象的性質(zhì).大家展開了充分的討論，對函數(shù)的概念，函數(shù)的圖象的性質(zhì)有了進一步的認識.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要求我們要深刻地理解，找出事物間的普遍聯(lián)系和發(fā)展規(guī)律，能數(shù)學(xué)地發(fā)現(xiàn)問題，并能運用已有的數(shù)學(xué)知識，給以一定的解釋.即數(shù)學(xué)是世界的一個部分，同時又隱藏在世界中.

　　5、布置作業(yè) 習(xí)題13.8 1-4

　　教學(xué)設(shè)計示例2

　　反比例函數(shù)及其圖像

　　一、素質(zhì)教育目標(biāo)

　　（一）知識教學(xué)點

　　1.使學(xué)生了解反比例函數(shù)的概念；

　　2.使學(xué)生能夠根據(jù)問題中的條件確定反比例函數(shù)的解析式；

　　3.使學(xué)生理解反比例函數(shù)的性質(zhì)，會畫出它們的圖像，以及根據(jù)圖像指出函數(shù)值隨自變量的增加或減小而變化的情況；

　　4.會用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的解析式.

　�。ǘ�）能力訓(xùn)練點

　　1.培養(yǎng)學(xué)生的作圖、觀察、分析、總結(jié)的能力；

　　2.向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合的教學(xué)思想方法.

　�。ㄈ�）德育滲透點

　　1.向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)來源于實踐又反過來作用于實踐的觀點；

　　2.使學(xué)生體會事物是有規(guī)律地變化著的觀點.

　�。ㄋ模┟烙凉B透點

　　通過反比例函數(shù)圖像的研究，滲透反映其性質(zhì)的圖像的直觀形象美，激發(fā)學(xué)生的興趣，也培養(yǎng)學(xué)生積極探求知識的能力.

　　二、學(xué)法引導(dǎo)

　　教師采用類比法、觀察法、練習(xí)法

　　學(xué)生學(xué)習(xí)反比例函數(shù)要與學(xué)習(xí)其他函數(shù)一樣，要善于數(shù)形結(jié)合，由解析式聯(lián)想到圖像的位置及其性質(zhì)，由圖像和性質(zhì)聯(lián)想比例系數(shù)k的符號.

　　三、重點·難點·疑點及解決辦法

　　1.教學(xué)重點：反比例的概念、圖像、性質(zhì)以及用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的解析式.因為要研究反比例函數(shù)就必須明確反比例函數(shù)的上述問題.

　　2.教學(xué)難點：畫反比例函數(shù)的圖像.因為反比例函數(shù)的圖像有兩個分支，而且這兩個分支的變化趨勢又不同，學(xué)生初次接觸，一定會感到困難.

　　3.教學(xué)疑點：（1）反比例函數(shù)為何與x軸，y軸無交點；（2）反比例函數(shù)的圖像只能說在第一、三象限或第二、四象限，而不能說經(jīng)過第幾象限，增減性也要說明在第幾象限（或說在它的每一個象限內(nèi)）.

　　4.解決辦法：（1） 中隱含條件是 或 ；（2）雙曲線的兩個分支是斷開的，研究函數(shù)的增減性時，要將兩個分支分別討論，不能一概而論.

　　四、教學(xué)步驟

　�。ㄒ唬�教學(xué)過程

　　提問：小學(xué)是否學(xué)過反比例關(guān)系？是如何敘述的？

　　由學(xué)生先考慮及討論一下.

　　答：小學(xué)學(xué)過：兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的積一定，這兩種量就叫做反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系.

　　看下面的實例：（出示幻燈）

　　1. 當(dāng)路程s一定時，時間t與速度v成反比例；

　　2.當(dāng)矩形面積S一定時，長a與寬b成反比例；

　　它們分別可以寫成 （s是常數(shù)）， （S是常數(shù)）寫在黑板上，用以得出反比例函數(shù)的概念：（板書）

　　一般地，函數(shù) （k是常數(shù)， ）叫做反比例函數(shù).

　　即在上面的例子中，當(dāng)路程s是常數(shù)時，時間t就是速度v的反比例函數(shù)，能否說：速度v是時間t的反比例函數(shù)呢？

　　通過這個問題，使學(xué)生進一步理解反比例函數(shù)的概念，只要滿足 （k是常數(shù)， ）就可以.因此可以說速度v是時間t的反比例函數(shù)，因為 （s是常量）.對第2個實例也一樣.

　　練習(xí)一：教材P129中1 口答.P130 1

　　根據(jù)前面學(xué)習(xí)特殊函數(shù)的經(jīng)驗，研究完函數(shù)的概念，跟著要研究的是什么？

　　答：圖像和性質(zhì).

　　通過這個問題，使學(xué)生對課本上給出的知識的發(fā)生、發(fā)展過程有一個明確的認識，以后

　　學(xué)生要研究其他函數(shù)，也可以按照這種方式來研究.

　　下面，我們就來看桓隼�题：（出蕛裘灯�?/P>

　　例1 畫出反比例函數(shù) 與 的圖像.

　　提問：1.畫函數(shù)圖像的關(guān)鍵問題是什么？

　　答：合理、正確地選值列表.

　　2.在選值時，你認為要注意什么問題？

　　答：（1）由于函數(shù)圖像的特點還不清楚，多選幾個點較好；

　�。�2）不能選 ，因為 時函數(shù)無意義；

　�。�3）選整數(shù)較好計算和描點.

　　這個問題中最核心的一點是關(guān)于 的問題，提醒學(xué)生注意.

　　3.你能不能自己完成這道題呢？

　　學(xué)生在練習(xí)本上列表、描點、連線，教師在黑板上板演，到連線時可暫停，讓學(xué)生先連完線之后，找一名同學(xué)上黑板連線，然后就這名同學(xué)的連線加以評價、總結(jié)：

　　注意：（1）一般地，反比例函數(shù) 的圖像由兩條曲線組成，叫做雙曲線；

　�。�2）這兩條曲線不相交；

　�。�3）這兩條曲線無限延伸，無限靠近x軸和y軸，但永不會與x軸和y軸相交.

　　關(guān)于注意（3）可問學(xué)生：為什么圖像與x和y軸不相交？

　　通過這個問題既可加深學(xué)生對反比例函數(shù)圖像的記憶，又可培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和深刻性.

　　再讓學(xué)生觀察黑板上的圖，提問：

　　1.當(dāng) 時，雙曲線的兩個分支各在哪個象限？在每個象限內(nèi)，y隨x的增大怎樣變化？

　　2.當(dāng) 時，雙曲線的兩個分支各在哪個象限？在每個象限內(nèi)，y隨x的增大怎樣變化？

　　這兩個問題由學(xué)生討論總結(jié)之后回答，教師板書：

　　對于雙曲線（1）當(dāng) ：（1）當(dāng) 時，雙曲線的兩分支位于一、三象限，y隨x的增大而減少；（2）當(dāng) 時，雙曲線的兩分支位于二、四象限，y隨x的增大而增大.

　　3.反比例函數(shù)的這一性質(zhì)與正比例函數(shù)的性質(zhì)有何異同？

　　通過這個問題使學(xué)生能把學(xué)過的相關(guān)知識有機地串聯(lián)起來，便于記憶和應(yīng)用.

　　練習(xí)二：教材P129中2由學(xué)生在練習(xí)本上完成，教師巡回指導(dǎo).P130中2、3填在書上

　　上面，我們討論了反比例函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)，下面我們再來看一個不同類型的例題：（出示幻燈）

　　例2已知y與 成反比例，并且當(dāng) 時， ，求 時，y的值.

　　用提問的方式對此題加以分析：

　�。�1）y與 成反比例是什么含義？

　　由學(xué)生討論這一問題，最后歸結(jié)為根據(jù)反比例函數(shù)的概念，這句話說明了： .

　　（2）根據(jù)這個式子，能否求出當(dāng) 時，y的值？

　�。�3）要想求出y的值，必須先知道哪個量呢？

　�。�4）怎樣才能確定k的值？用什么條件？

　　答：用待定系數(shù)法，把 時 代入 ，求出k的值.

　　（5）你能否自己完成這道例題：

　　由一名同學(xué)板演，其他同學(xué)在練習(xí)本上完成.

　　例3 已知： ， 與x成正比例， 與x成反比例，當(dāng) 時， 時， ，求y與x的解析式.

　　分析：一定要先寫出y與x的函數(shù)表達式 ，

　　要用x分別把 ， 表示出來得 ，

　　要注意 不能寫成k，∴

　　解：設(shè) ，

　　.

　　由題意得

　　∴ .

　�。ǘ�）總結(jié)、擴展

　　教師提問，學(xué)生思考回答：

　　1.什么是反比例函數(shù)？

　　2.反比例函數(shù)的圖像是什么樣的？

　　3.反比例函數(shù) 的性質(zhì)是什么？

　　4.命題方向及題型設(shè)置，反比例函數(shù)也是中考命題的主要考點，其圖像和性質(zhì)，以及其函數(shù)解析式的確定，常以填空題、選擇題出現(xiàn)，在低檔題中，近兩年各省、市的中考試卷中出現(xiàn)不少將反比例函數(shù)與一次函數(shù)、幾何知識、三角知識等綜合編擬的解答題，豐富了壓軸題的形式和內(nèi)容.

　　五、布置作業(yè)

　　1.教材P130中4，5，6

　　2.選做：P130中B1，2

　　六、板書設(shè)計

　　13.8反比例函數(shù)及其圖像

　　引例：（1）例1： 例2： 例3：

　�。�2）

　　1.反比例函數(shù)：

　　2.反比例函數(shù)的性質(zhì) 探究活動

　　已知：如圖，一次函數(shù)的圖像經(jīng)過第一、二、三象限，且與反比例函數(shù)的圖像交于A、B兩點，與y軸交于點C，與x軸交于點D。 。

　�。�1）求反比例函數(shù)的解析式；

　�。�2）設(shè)點A的橫坐標(biāo)為m， 的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；

　�。�3）當(dāng) 的面積等于 時，試判斷過A、B兩點的拋物線在x軸上截得的線段長能否等于3。如果能，求此時拋物線的解析式；如果不能，請說明理由。

　　解：（1）過點B作 軸于點H。

　　在Rt 中，

　　由勾股定理，得

　　又 ，

　　∴ 點B（－3，－1）。

　　設(shè)反比例函數(shù)的解析式為

　　。

　　∵ 點B在反比例函數(shù)的圖像上，

　　。

　　∴ 反比例函數(shù)的解析式為 。

　�。�2）設(shè)直線AB的解析式為 。

　　由點A在第一象限，得 。

　　又由點A在函數(shù) 的圖像上，可求得點A的縱坐標(biāo)為 。

　　∵ 點B（－3，－1），點 ，

　　∴ 解關(guān)于 、 的方程組，得

　　∴ 直線AB的解析式為 。

　　令 。

　　求得點D的橫坐標(biāo)為 。

　　過點A作 軸于點G

　　由已知，直線經(jīng)過第一、二、三象限，

　　∴ ，即 。

　　由此得

　　∴ 。

　　即 。

　�。�3）過A、B兩點的拋物線在x軸上截得的線段長不能等于3。

　　證明如下：

　　。

　　由 ，

　　得

　　解得 。

　　經(jīng)檢驗， 都是這個方程的根。

　　，

　　∴ 不合題意，舍去。

　　∴ 點A（1，3）。

　　設(shè)過A（1，3）、B（－3，－1）兩點的拋物線的解析式為 。

　　∴ 由此得

　　即 。

　　設(shè)拋物線與x軸兩交點的橫坐標(biāo)為 。

　　則

　　令

　　則 。

　　即 。

　　整理，得 。

　　，

　　∴ 方程 無實數(shù)根。

　　因此過A、B兩點的拋物線在x軸上截得的線段長不能等于3。

反比例函數(shù)及其圖象 篇2

　　教學(xué)設(shè)計示例1

　　教學(xué)目標(biāo)：

　　1、理解反比例函數(shù)，并能從實際問題中抽象出反比例關(guān)系的函數(shù)解析式；

　　2、會畫出反比例函數(shù)的圖象，并結(jié)合圖象分析總結(jié)出反比例函數(shù)的性質(zhì)；

　　3、滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想及普遍聯(lián)系的辨證唯物主義思想；

　　4、體會數(shù)學(xué)從實踐中來又到實際中去的研究、應(yīng)用過程；

　　5、培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，及數(shù)學(xué)地發(fā)現(xiàn)問題，解決問題的能力.

　　教學(xué)重點：

　　結(jié)合圖象分析總結(jié)出反比例函數(shù)的性質(zhì)；

　　教學(xué)難點：描點畫出反比例函數(shù)的圖象

　　教學(xué)用具：直尺

　　教學(xué)方法：小組合作、探究式

　　教學(xué)過程：

　　1、從實際引出反比例函數(shù)的概念

　　我們在小學(xué)學(xué)過反比例關(guān)系.例如：當(dāng)路程S一定時，時間t與速度v成反比例

　　即vt=S（S是常數(shù)）；

　　當(dāng)矩形面積S一定時，長a與寬b成反比例，即ab=S（S是常數(shù)）

　　從函數(shù)的觀點看，在運動變化的過程中，有兩個變量可以分別看成自變量與函數(shù)，寫成：

　�。⊿是常數(shù)）

　　（S是常數(shù)）

　　一般地，函數(shù) （k是常數(shù)， ）叫做反比例函數(shù).

　　如上例，當(dāng)路程S是常數(shù)時，時間t就是v的反比例函數(shù).當(dāng)矩形面積S是常數(shù)時，長a是寬b的反比例函數(shù).

　　在現(xiàn)實生活中，也有許多反比例關(guān)系的例子.可以組織學(xué)生進行討論.下面的例子僅供

　　2、列表、描點畫出反比例函數(shù)的圖象

　　例1、畫出反比例函數(shù) 與 的圖象

　　解：列表

　　x

　　-6

　　-5

　　-4

　　-3

　　1

　　2

　　3

　　4

　　5

　　6

　　-1

　　-1.2

　　-1.5

　　-2

　　6

　　3

　　2

　　1.5

　　1.2

　　1

　　1

　　1.2

　　1.5

　　2

　　-6

　　-3

　　-2

　　-1.5

　　-1.2

　　1

　　說明：由于學(xué)生第一次接觸反比例函數(shù)，無法推測出它的大致圖象.取點的時候最好多取幾個，正負可以對稱著取分別畫點描圖

　　一般地反比例函數(shù) （k是常數(shù)， ）的圖象由兩條曲線組成，叫做雙曲線.

　　3、觀察圖象，歸納、總結(jié)出反比例函數(shù)的性質(zhì)

　　前面學(xué)習(xí)了三類基本的初等函數(shù)，有了一定的基礎(chǔ)，這里可視學(xué)生的程度或展開全面的討論，或在老師的引導(dǎo)下完成知識的學(xué)習(xí).

　　顯示這兩個函數(shù)的圖象，提出問題：你能從圖象上發(fā)現(xiàn)什么有關(guān)反比例函數(shù)的性質(zhì)呢？并能從解析式或列表中得到論證.（下列答案僅供參考）

　�。�1） 的圖象在第一、三象限.可以擴展到k >0時的情形，即k>0時，雙曲線兩支各在第一和第三象限.從解析式中，也可以得出這個結(jié)論：xy=k，即x與y同號，因此，圖象在第一、三象限.

　　的討論與此類似.

　　抓住機會，說明數(shù)與形的統(tǒng)一，也滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.體現(xiàn)了由特殊到一般的研究過程.

　�。�2）函數(shù) 的圖象，在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減�。�

　　從圖象中可以看出，當(dāng)x從左向右變化時，圖象呈下坡趨勢.從列表中也可以看出這樣的變化趨勢.有理數(shù)除法說明了同樣的道理，被除數(shù)一定時，若除數(shù)大于零，除數(shù)越大，商越��；若除數(shù)小于零，同樣是除數(shù)越大，商越小.由此可歸納出，當(dāng)k>0時，函數(shù) 的圖象，在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小.

　　同樣可以推出 的圖象的性質(zhì).

　�。�3）函數(shù) 的圖象不經(jīng)過原點，且不與x軸、y軸交.從解析式中也可以看出， .如果x取值越來越大時，y的值越來越小，趨近于零；如果x取負值且越來越小時，y的值也越來越趨近于零.因此，呈現(xiàn)的是雙曲線的樣子.同理，抽象出 圖象的性質(zhì).

　　函數(shù) 的圖象性質(zhì)的討論與次類似.

　　4、小結(jié)：

　　本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的概念及其圖象的性質(zhì).大家展開了充分的討論，對函數(shù)的概念，函數(shù)的圖象的性質(zhì)有了進一步的認識.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要求我們要深刻地理解，找出事物間的普遍聯(lián)系和發(fā)展規(guī)律，能數(shù)學(xué)地發(fā)現(xiàn)問題，并能運用已有的數(shù)學(xué)知識，給以一定的解釋.即數(shù)學(xué)是世界的一個部分，同時又隱藏在世界中.

　　5、布置作業(yè) 習(xí)題13.8 1-4

　　教學(xué)設(shè)計示例2

　　反比例函數(shù)及其圖像

　　一、素質(zhì)教育目標(biāo)

　�。ㄒ唬┲�識教學(xué)點

　　1.使學(xué)生了解反比例函數(shù)的概念；

　　2.使學(xué)生能夠根據(jù)問題中的條件確定反比例函數(shù)的解析式；

　　3.使學(xué)生理解反比例函數(shù)的性質(zhì)，會畫出它們的圖像，以及根據(jù)圖像指出函數(shù)值隨自變量的增加或減小而變化的情況；

　　4.會用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的解析式.

　　（二）能力訓(xùn)練點

　　1.培養(yǎng)學(xué)生的作圖、觀察、分析、總結(jié)的能力；

　　2.向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合的教學(xué)思想方法.

　�。ㄈ�）德育滲透點

　　1.向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)來源于實踐又反過來作用于實踐的觀點；

　　2.使學(xué)生體會事物是有規(guī)律地變化著的觀點.

　�。ㄋ模┟烙凉B透點

　　通過反比例函數(shù)圖像的研究，滲透反映其性質(zhì)的圖像的直觀形象美，激發(fā)學(xué)生的興趣，也培養(yǎng)學(xué)生積極探求知識的能力.

　　二、學(xué)法引導(dǎo)

　　教師采用類比法、觀察法、練習(xí)法

　　學(xué)生學(xué)習(xí)反比例函數(shù)要與學(xué)習(xí)其他函數(shù)一樣，要善于數(shù)形結(jié)合，由解析式聯(lián)想到圖像的位置及其性質(zhì)，由圖像和性質(zhì)聯(lián)想比例系數(shù)k的符號.

　　三、重點·難點·疑點及解決辦法

　　1.教學(xué)重點：反比例的概念、圖像、性質(zhì)以及用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的解析式.因為要研究反比例函數(shù)就必須明確反比例函數(shù)的上述問題.

　　2.教學(xué)難點：畫反比例函數(shù)的圖像.因為反比例函數(shù)的圖像有兩個分支，而且這兩個分支的變化趨勢又不同，學(xué)生初次接觸，一定會感到困難.

　　3.教學(xué)疑點：（1）反比例函數(shù)為何與x軸，y軸無交點；（2）反比例函數(shù)的圖像只能說在第一、三象限或第二、四象限，而不能說經(jīng)過第幾象限，增減性也要說明在第幾象限（或說在它的每一個象限內(nèi)）.

　　4.解決辦法：（1） 中隱含條件是 或 ；（2）雙曲線的兩個分支是斷開的，研究函數(shù)的增減性時，要將兩個分支分別討論，不能一概而論.

　　四、教學(xué)步驟

　�。ㄒ唬�教學(xué)過程

　　提問：小學(xué)是否學(xué)過反比例關(guān)系？是如何敘述的？

　　由學(xué)生先考慮及討論一下.

　　答：小學(xué)學(xué)過：兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的積一定，這兩種量就叫做反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系.

　　看下面的實例：（出示幻燈）

　　1. 當(dāng)路程s一定時，時間t與速度v成反比例；

　　2.當(dāng)矩形面積S一定時，長a與寬b成反比例；

　　它們分別可以寫成 （s是常數(shù)）， （S是常數(shù)）寫在黑板上，用以得出反比例函數(shù)的概念：（板書）

　　一般地，函數(shù) （k是常數(shù)， ）叫做反比例函數(shù).

　　即在上面的例子中，當(dāng)路程s是常數(shù)時，時間t就是速度v的反比例函數(shù)，能否說：速度v是時間t的反比例函數(shù)呢？

　　通過這個問題，使學(xué)生進一步理解反比例函數(shù)的概念，只要滿足 （k是常數(shù)， ）就可以.因此可以說速度v是時間t的反比例函數(shù)，因為 （s是常量）.對第2個實例也一樣.

　　練習(xí)一：教材P129中1 口答.P130 1

　　根據(jù)前面學(xué)習(xí)特殊函數(shù)的經(jīng)驗，研究完函數(shù)的概念，跟著要研究的是什么？

　　答：圖像和性質(zhì).

　　通過這個問題，使學(xué)生對課本上給出的知識的發(fā)生、發(fā)展過程有一個明確的認識，以后

　　學(xué)生要研究其他函數(shù)，也可以按照這種方式來研究.

　　下面，我們就來看一個例題：（出示幻燈）

　　例1 畫出反比例函數(shù) 與 的圖像.

　　提問：1.畫函數(shù)圖像的關(guān)鍵問題是什么？

　　答：合理、正確地選值列表.

　　2.在選值時，你認為要注意什么問題？

　　答：（1）由于函數(shù)圖像的特點還不清楚，多選幾個點較好；

　�。�2）不能選 ，因為 時函數(shù)無意義；

　�。�3）選整數(shù)較好計算和描點.

　　這個問題中最核心的一點是關(guān)于 的問題，提醒學(xué)生注意.

　　3.你能不能自己完成這道題呢？

　　學(xué)生在練習(xí)本上列表、描點、連線，教師在黑板上板演，到連線時可暫停，讓學(xué)生先連完線之后，找一名同學(xué)上黑板連線，然后就這名同學(xué)的連線加以評價、總結(jié)：

　　注意：（1）一般地，反比例函數(shù) 的圖像由兩條曲線組成，叫做雙曲線；

　�。�2）這兩條曲線不相交；

　�。�3）這兩條曲線無限延伸，無限靠近x軸和y軸，但永不會與x軸和y軸相交.

　　關(guān)于注意（3）可問學(xué)生：為什么圖像與x和y軸不相交？

　　通過這個問題既可加深學(xué)生對反比例函數(shù)圖像的記憶，又可培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和深刻性.

　　再讓學(xué)生觀察黑板上的圖，提問：

　　1.當(dāng) 時，雙曲線的兩個分支各在哪個象限？在每個象限內(nèi)，y隨x的增大怎樣變化？

　　2.當(dāng) 時，雙曲線的兩個分支各在哪個象限？在每個象限內(nèi)，y隨x的增大怎樣變化？

　　這兩個問題由學(xué)生討論總結(jié)之后回答，教師板書：

　　對于雙曲線（1）當(dāng) ：（1）當(dāng) 時，雙曲線的兩分支位于一、三象限，y隨x的增大而減少；（2）當(dāng) 時，雙曲線的兩分支位于二、四象限，y隨x的增大而增大.

　　3.反比例函數(shù)的這一性質(zhì)與正比例函數(shù)的性質(zhì)有何異同？

　　通過這個問題使學(xué)生能把學(xué)過的相關(guān)知識有機地串聯(lián)起來，便于記憶和應(yīng)用.

　　練習(xí)二：教材P129中2由學(xué)生在練習(xí)本上完成，教師巡回指導(dǎo).P130中2、3填在書上

　　上面，我們討論了反比例函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)，下面我們再來看一個不同類型的例題：（出示幻燈）

　　例2已知y與 成反比例，并且當(dāng) 時， ，求 時，y的值.

　　用提問的方式對此題加以分析：

　　（1）y與 成反比例是什么含義？

　　由學(xué)生討論這一問題，最后歸結(jié)為根據(jù)反比例函數(shù)的概念，這句話說明了： .

　�。�2）根據(jù)這個式子，能否求出當(dāng) 時，y的值？

　�。�3）要想求出y的值，必須先知道哪個量呢？

　　（4）怎樣才能確定k的值？用什么條件？

　　答：用待定系數(shù)法，把 時 代入 ，求出k的值.

　�。�5）你能否自己完成這道例題：

　　由一名同學(xué)板演，其他同學(xué)在練習(xí)本上完成.

　　例3 已知： ， 與x成正比例， 與x成反比例，當(dāng) 時， 時， ，求y與x的解析式.

　　分析：一定要先寫出y與x的函數(shù)表達式 ，

　　要用x分別把 ， 表示出來得 ，

　　要注意 不能寫成k，∴

　　解：設(shè) ，

　　.

　　由題意得

　　∴ .

　�。ǘ�）總結(jié)、擴展

　　教師提問，學(xué)生思考回答：

　　1.什么是反比例函數(shù)？

　　2.反比例函數(shù)的圖像是什么樣的？

　　3.反比例函數(shù) 的性質(zhì)是什么？

　　4.命題方向及題型設(shè)置，反比例函數(shù)也是中考命題的主要考點，其圖像和性質(zhì)，以及其函數(shù)解析式的確定，常以填空題、選擇題出現(xiàn)，在低檔題中，近兩年各省、市的中考試卷中出現(xiàn)不少將反比例函數(shù)與一次函數(shù)、幾何知識、三角知識等綜合編擬的解答題，豐富了壓軸題的形式和內(nèi)容.

　　五、布置作業(yè)

　　1.教材P130中4，5，6

　　2.選做：P130中B1，2

　　六、板書設(shè)計

　　13.8反比例函數(shù)及其圖像

　　引例：（1）例1： 例2： 例3：

　　（2）

　　1.反比例函數(shù)：

　　2.反比例函數(shù)的性質(zhì)

　　探究活動

　　已知：如圖，一次函數(shù)的圖像經(jīng)過第一、二、三象限，且與反比例函數(shù)的圖像交于A、B兩點，與y軸交于點C，與x軸交于點D。 。

　�。�1）求反比例函數(shù)的解析式；

　�。�2）設(shè)點A的橫坐標(biāo)為m， 的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；

　�。�3）當(dāng) 的面積等于 時，試判斷過A、B兩點的拋物線在x軸上截得的線段長能否等于3。如果能，求此時拋物線的解析式；如果不能，請說明理由。

　　解：（1）過點B作 軸于點H。

　　在Rt 中，

　　由勾股定理，得

　　又 ，

　　∴ 點B（－3，－1）。

　　設(shè)反比例函數(shù)的解析式為

　　。

　　∵ 點B在反比例函數(shù)的圖像上，

　　。

　　∴ 反比例函數(shù)的解析式為 。

　　（2）設(shè)直線AB的解析式為 。

　　由點A在第一象限，得 。

　　又由點A在函數(shù) 的圖像上，可求得點A的縱坐標(biāo)為 。

　　∵ 點B（－3，－1），點 ，

　　∴ 解關(guān)于 、 的方程組，得

　　∴ 直線AB的解析式為 。

　　令 。

　　求得點D的橫坐標(biāo)為 。

　　過點A作 軸于點G

　　由已知，直線經(jīng)過第一、二、三象限，

　　∴ ，即 。

　　由此得

　　∴ 。

　　即 。

　�。�3）過A、B兩點的拋物線在x軸上截得的線段長不能等于3。

　　證明如下：

　　。

　　由 ，

　　得

　　解得 。

　　經(jīng)檢驗， 都是這個方程的根。

　　，

　　∴ 不合題意，舍去。

　　∴ 點A（1，3）。

　　設(shè)過A（1，3）、B（－3，－1）兩點的拋物線的解析式為 。

　　∴ 由此得

　　即 。

　　設(shè)拋物線與x軸兩交點的橫坐標(biāo)為 。

　　則

　　令

　　則 。

　　即 。

　　整理，得 。

　　，

　　∴ 方程 無實數(shù)根。

　　因此過A、B兩點的拋物線在x軸上截得的線段長不能等于3。

反比例函數(shù)及其圖象 篇3

　　教學(xué)設(shè)計示例1

　　教學(xué)目標(biāo)：

　　1、理解反比例函數(shù)，并能從實際問題中抽象出反比例關(guān)系的函數(shù)解析式；

　　2、會畫出反比例函數(shù)的圖象，并結(jié)合圖象分析總結(jié)出反比例函數(shù)的性質(zhì)；

　　3、滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想及普遍聯(lián)系的辨證唯物主義思想；

　　4、體會數(shù)學(xué)從實踐中來又到實際中去的研究、應(yīng)用過程；

　　5、培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，及數(shù)學(xué)地發(fā)現(xiàn)問題，解決問題的能力.

　　教學(xué)重點：

　　結(jié)合圖象分析總結(jié)出反比例函數(shù)的性質(zhì)；

　　教學(xué)難點：描點畫出反比例函數(shù)的圖象

　　教學(xué)用具：直尺

　　教學(xué)方法：小組合作、探究式

　　教學(xué)過程：

　　1、從實際引出反比例函數(shù)的概念

　　我們在小學(xué)學(xué)過反比例關(guān)系.例如：當(dāng)路程S一定時，時間t與速度v成反比例

　　即vt=S（S是常數(shù)）；

　　當(dāng)矩形面積S一定時，長a與寬b成反比例，即ab=S（S是常數(shù)）

　　從函數(shù)的觀點看，在運動變化的過程中，有兩個變量可以分別看成自變量與函數(shù)，寫成：

　�。⊿是常數(shù)）

　�。⊿是常數(shù)）

　　一般地，函數(shù) （k是常數(shù)， ）叫做反比例函數(shù).

　　如上例，當(dāng)路程S是常數(shù)時，時間t就是v的反比例函數(shù).當(dāng)矩形面積S是常數(shù)時，長a是寬b的反比例函數(shù).

　　在現(xiàn)實生活中，也有許多反比例關(guān)系的例子.可以組織學(xué)生進行討論.下面的例子僅供

　　2、列表、描點畫出反比例函數(shù)的圖象

　　例1、畫出反比例函數(shù) 與 的圖象

　　解：列表

　　x

　　-6

　　-5

　　-4

　　-3

　　1

　　2

　　3

　　4

　　5

　　6

　　-1

　　-1.2

　　-1.5

　　-2

　　6

　　3

　　2

　　1.5

　　1.2

　　1

　　1

　　1.2

　　1.5

　　2

　　-6

　　-3

　　-2

　　-1.5

　　-1.2

　　1

　　說明：由于學(xué)生第一次接觸反比例函數(shù)，無法推測出它的大致圖象.取點的時候最好多取幾個，正負可以對稱著取分別畫點描圖

　　一般地反比例函數(shù) （k是常數(shù)， ）的圖象由兩條曲線組成，叫做雙曲線.

　　3、觀察圖象，歸納、總結(jié)出反比例函數(shù)的性質(zhì)

　　前面學(xué)習(xí)了三類基本的初等函數(shù)，有了一定的基礎(chǔ)，這里可視學(xué)生的程度或展開全面的討論，或在老師的引導(dǎo)下完成知識的學(xué)習(xí).

　　顯示這兩個函數(shù)的圖象，提出問題：你能從圖象上發(fā)現(xiàn)什么有關(guān)反比例函數(shù)的性質(zhì)呢？并能從解析式或列表中得到論證.（下列答案僅供參考）

　�。�1） 的圖象在第一、三象限.可以擴展到k >0時的情形，即k>0時，雙曲線兩支各在第一和第三象限.從解析式中，也可以得出這個結(jié)論：xy=k，即x與y同號，因此，圖象在第一、三象限.

　　的討論與此類似.

　　抓住機會，說明數(shù)與形的統(tǒng)一，也滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.體現(xiàn)了由特殊到一般的研究過程.

　�。�2）函數(shù) 的圖象，在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減�。�

　　從圖象中可以看出，當(dāng)x從左向右變化時，圖象呈下坡趨勢.從列表中也可以看出這樣的變化趨勢.有理數(shù)除法說明了同樣的道理，被除數(shù)一定時，若除數(shù)大于零，除數(shù)越大，商越��；若除數(shù)小于零，同樣是除數(shù)越大，商越小.由此可歸納出，當(dāng)k>0時，函數(shù) 的圖象，在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小.

　　同樣可以推出 的圖象的性質(zhì).

　�。�3）函數(shù) 的圖象不經(jīng)過原點，且不與x軸、y軸交.從解析式中也可以看出， .如果x取值越來越大時，y的值越來越小，趨近于零；如果x取負值且越來越小時，y的值也越來越趨近于零.因此，呈現(xiàn)的是雙曲線的樣子.同理，抽象出 圖象的性質(zhì).

　　函數(shù) 的圖象性質(zhì)的討論與次類似.

　　4、小結(jié)：

　　本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的概念及其圖象的性質(zhì).大家展開了充分的討論，對函數(shù)的概念，函數(shù)的圖象的性質(zhì)有了進一步的認識.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要求我們要深刻地理解，找出事物間的普遍聯(lián)系和發(fā)展規(guī)律，能數(shù)學(xué)地發(fā)現(xiàn)問題，并能運用已有的數(shù)學(xué)知識，給以一定的解釋.即數(shù)學(xué)是世界的一個部分，同時又隱藏在世界中.

　　5、布置作業(yè) 習(xí)題13.8 1-4

　　第 1 2 3 4 頁

反比例函數(shù)及其圖象 篇4

　　教學(xué)設(shè)計示例1

　　教學(xué)目標(biāo)：

　　1、理解反比例函數(shù)，并能從實際問題中抽象出反比例關(guān)系的函數(shù)解析式；

　　2、會畫出反比例函數(shù)的圖象，并結(jié)合圖象分析總結(jié)出反比例函數(shù)的性質(zhì)；

　　3、滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想及普遍聯(lián)系的辨證唯物主義思想；

　　4、體會數(shù)學(xué)從實踐中來又到實際中去的研究、應(yīng)用過程；

　　5、培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，及數(shù)學(xué)地發(fā)現(xiàn)問題，解決問題的能力.

　　教學(xué)重點：

　　結(jié)合圖象分析總結(jié)出反比例函數(shù)的性質(zhì)；

　　教學(xué)難點：描點畫出反比例函數(shù)的圖象

　　教學(xué)用具：直尺

　　教學(xué)方法：小組合作、探究式

　　教學(xué)過程：

　　1、從實際引出反比例函數(shù)的概念

　　我們在小學(xué)學(xué)過反比例關(guān)系.例如：當(dāng)路程S一定時，時間t與速度v成反比例

　　即vt=S（S是常數(shù)）；

　　當(dāng)矩形面積S一定時，長a與寬b成反比例，即ab=S（S是常數(shù)）

　　從函數(shù)的觀點看，在運動變化的過程中，有兩個變量可以分別看成自變量與函數(shù)，寫成：

　�。⊿是常數(shù)）

　�。⊿是常數(shù)）

　　一般地，函數(shù) （k是常數(shù)， ）叫做反比例函數(shù).

　　如上例，當(dāng)路程S是常數(shù)時，時間t就是v的反比例函數(shù).當(dāng)矩形面積S是常數(shù)時，長a是寬b的反比例函數(shù).

　　在現(xiàn)實生活中，也有許多反比例關(guān)系的例子.可以組織學(xué)生進行討論.下面的例子僅供

　　2、列表、描點畫出反比例函數(shù)的圖象

　　例1、畫出反比例函數(shù) 與 的圖象

　　解：列表

　　x

　　-6

　　-5

　　-4

　　-3

　　1

　　2

　　3

　　4

　　5

　　6

　　-1

　　-1.2

　　-1.5

　　-2

　　6

　　3

　　2

　　1.5

　　1.2

　　1

　　1

　　1.2

　　1.5

　　2

　　-6

　　-3

　　-2

　　-1.5

　　-1.2

　　1

　　說明：由于學(xué)生第一次接觸反比例函數(shù)，無法推測出它的大致圖象.取點的時候最好多取幾個，正負可以對稱著取分別畫點描圖

　　一般地反比例函數(shù) （k是常數(shù)， ）的圖象由兩條曲線組成，叫做雙曲線.

　　3、觀察圖象，歸納、總結(jié)出反比例函數(shù)的性質(zhì)

　　前面學(xué)習(xí)了三類基本的初等函數(shù)，有了一定的基礎(chǔ)，這里可視學(xué)生的程度或展開全面的討論，或在老師的引導(dǎo)下完成知識的學(xué)習(xí).

　　顯示這兩個函數(shù)的圖象，提出問題：你能從圖象上發(fā)現(xiàn)什么有關(guān)反比例函數(shù)的性質(zhì)呢？并能從解析式或列表中得到論證.（下列答案僅供參考）

　　（1） 的圖象在第一、三象限.可以擴展到k >0時的情形，即k>0時，雙曲線兩支各在第一和第三象限.從解析式中，也可以得出這個結(jié)論：xy=k，即x與y同號，因此，圖象在第一、三象限.

　　的討論與此類似.

　　抓住機會，說明數(shù)與形的統(tǒng)一，也滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.體現(xiàn)了由特殊到一般的研究過程.

　�。�2）函數(shù) 的圖象，在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減�。�

　　從圖象中可以看出，當(dāng)x從左向右變化時，圖象呈下坡趨勢.從列表中也可以看出這樣的變化趨勢.有理數(shù)除法說明了同樣的道理，被除數(shù)一定時，若除數(shù)大于零，除數(shù)越大，商越��；若除數(shù)小于零，同樣是除數(shù)越大，商越小.由此可歸納出，當(dāng)k>0時，函數(shù) 的圖象，在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小.

　　同樣可以推出 的圖象的性質(zhì).

　�。�3）函數(shù) 的圖象不經(jīng)過原點，且不與x軸、y軸交.從解析式中也可以看出， .如果x取值越來越大時，y的值越來越小，趨近于零；如果x取負值且越來越小時，y的值也越來越趨近于零.因此，呈現(xiàn)的是雙曲線的樣子.同理，抽象出 圖象的性質(zhì).

　　函數(shù) 的圖象性質(zhì)的討論與次類似.

　　4、小結(jié)：

　　本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的概念及其圖象的性質(zhì).大家展開了充分的討論，對函數(shù)的概念，函數(shù)的圖象的性質(zhì)有了進一步的認識.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要求我們要深刻地理解，找出事物間的普遍聯(lián)系和發(fā)展規(guī)律，能數(shù)學(xué)地發(fā)現(xiàn)問題，并能運用已有的數(shù)學(xué)知識，給以一定的解釋.即數(shù)學(xué)是世界的一個部分，同時又隱藏在世界中.

　　5、布置作業(yè) 習(xí)題13.8 1-4

　　教學(xué)設(shè)計示例2

　　反比例函數(shù)及其圖像

　　一、素質(zhì)教育目標(biāo)

　　（一）知識教學(xué)點

　　1.使學(xué)生了解反比例函數(shù)的概念；

　　2.使學(xué)生能夠根據(jù)問題中的條件確定反比例函數(shù)的解析式；

　　3.使學(xué)生理解反比例函數(shù)的性質(zhì)，會畫出它們的圖像，以及根據(jù)圖像指出函數(shù)值隨自變量的增加或減小而變化的情況；

　　4.會用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的解析式.

　�。ǘ�）能力訓(xùn)練點

　　1.培養(yǎng)學(xué)生的作圖、觀察、分析、總結(jié)的能力；

　　2.向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合的教學(xué)思想方法.

　�。ㄈ�）德育滲透點

　　1.向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)來源于實踐又反過來作用于實踐的觀點；

　　2.使學(xué)生體會事物是有規(guī)律地變化著的觀點.

　�。ㄋ模┟烙凉B透點

　　通過反比例函數(shù)圖像的研究，滲透反映其性質(zhì)的圖像的直觀形象美，激發(fā)學(xué)生的興趣，也培養(yǎng)學(xué)生積極探求知識的能力.

　　二、學(xué)法引導(dǎo)

　　教師采用類比法、觀察法、練習(xí)法

　　學(xué)生學(xué)習(xí)反比例函數(shù)要與學(xué)習(xí)其他函數(shù)一樣，要善于數(shù)形結(jié)合，由解析式聯(lián)想到圖像的位置及其性質(zhì)，由圖像和性質(zhì)聯(lián)想比例系數(shù)k的符號.

　　三、重點·難點·疑點及解決辦法

　　1.教學(xué)重點：反比例的概念、圖像、性質(zhì)以及用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的解析式.因為要研究反比例函數(shù)就必須明確反比例函數(shù)的上述問題.

　　2.教學(xué)難點：畫反比例函數(shù)的圖像.因為反比例函數(shù)的圖像有兩個分支，而且這兩個分支的變化趨勢又不同，學(xué)生初次接觸，一定會感到困難.

　　3.教學(xué)疑點：（1）反比例函數(shù)為何與x軸，y軸無交點；（2）反比例函數(shù)的圖像只能說在第一、三象限或第二、四象限，而不能說經(jīng)過第幾象限，增減性也要說明在第幾象限（或說在它的每一個象限內(nèi)）.

　　4.解決辦法：（1） 中隱含條件是 或 ；（2）雙曲線的兩個分支是斷開的，研究函數(shù)的增減性時，要將兩個分支分別討論，不能一概而論.

　　四、教學(xué)步驟

　　（一）教學(xué)過程

　　提問：小學(xué)是否學(xué)過反比例關(guān)系？是如何敘述的？

　　由學(xué)生先考慮及討論一下.

　　答：小學(xué)學(xué)過：兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的積一定，這兩種量就叫做反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系.

　　看下面的實例：（出示幻燈）

　　1. 當(dāng)路程s一定時，時間t與速度v成反比例；

　　2.當(dāng)矩形面積S一定時，長a與寬b成反比例；

　　它們分別可以寫成 （s是常數(shù)）， （S是常數(shù)）寫在黑板上，用以得出反比例函數(shù)的概念：（板書）

　　一般地，函數(shù) （k是常數(shù)， ）叫做反比例函數(shù).

　　即在上面的例子中，當(dāng)路程s是常數(shù)時，時間t就是速度v的反比例函數(shù)，能否說：速度v是時間t的反比例函數(shù)呢？

　　通過這個問題，使學(xué)生進一步理解反比例函數(shù)的概念，只要滿足 （k是常數(shù)， ）就可以.因此可以說速度v是時間t的反比例函數(shù)，因為 （s是常量）.對第2個實例也一樣.

　　練習(xí)一：教材P129中1 口答.P130 1

　　根據(jù)前面學(xué)習(xí)特殊函數(shù)的經(jīng)驗，研究完函數(shù)的概念，跟著要研究的是什么？

　　答：圖像和性質(zhì).

　　通過這個問題，使學(xué)生對課本上給出的知識的發(fā)生、發(fā)展過程有一個明確的認識，以后

　　學(xué)生要研究其他函數(shù)，也可以按照這種方式來研究.

　　下面，我們就來看桓隼�题：（出蕛裘灯�?/P>

　　例1 畫出反比例函數(shù) 與 的圖像.

　　提問：1.畫函數(shù)圖像的關(guān)鍵問題是什么？

　　答：合理、正確地選值列表.

　　2.在選值時，你認為要注意什么問題？

　　答：（1）由于函數(shù)圖像的特點還不清楚，多選幾個點較好；

　�。�2）不能選 ，因為 時函數(shù)無意義；

　　（3）選整數(shù)較好計算和描點.

　　這個問題中最核心的一點是關(guān)于 的問題，提醒學(xué)生注意.

　　3.你能不能自己完成這道題呢？

　　學(xué)生在練習(xí)本上列表、描點、連線，教師在黑板上板演，到連線時可暫停，讓學(xué)生先連完線之后，找一名同學(xué)上黑板連線，然后就這名同學(xué)的連線加以評價、總結(jié)：

　　注意：（1）一般地，反比例函數(shù) 的圖像由兩條曲線組成，叫做雙曲線；

　�。�2）這兩條曲線不相交；

　　（3）這兩條曲線無限延伸，無限靠近x軸和y軸，但永不會與x軸和y軸相交.

　　關(guān)于注意（3）可問學(xué)生：為什么圖像與x和y軸不相交？

　　通過這個問題既可加深學(xué)生對反比例函數(shù)圖像的記憶，又可培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和深刻性.

　　再讓學(xué)生觀察黑板上的圖，提問：

　　1.當(dāng) 時，雙曲線的兩個分支各在哪個象限？在每個象限內(nèi)，y隨x的增大怎樣變化？

　　2.當(dāng) 時，雙曲線的兩個分支各在哪個象限？在每個象限內(nèi)，y隨x的增大怎樣變化？

　　這兩個問題由學(xué)生討論總結(jié)之后回答，教師板書：

　　對于雙曲線（1）當(dāng) ：（1）當(dāng) 時，雙曲線的兩分支位于一、三象限，y隨x的增大而減少；（2）當(dāng) 時，雙曲線的兩分支位于二、四象限，y隨x的增大而增大.

　　3.反比例函數(shù)的這一性質(zhì)與正比例函數(shù)的性質(zhì)有何異同？

　　通過這個問題使學(xué)生能把學(xué)過的相關(guān)知識有機地串聯(lián)起來，便于記憶和應(yīng)用.

　　練習(xí)二：教材P129中2由學(xué)生在練習(xí)本上完成，教師巡回指導(dǎo).P130中2、3填在書上

　　上面，我們討論了反比例函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)，下面我們再來看一個不同類型的例題：（出示幻燈）

　　例2已知y與 成反比例，并且當(dāng) 時， ，求 時，y的值.

　　用提問的方式對此題加以分析：

　　（1）y與 成反比例是什么含義？

　　由學(xué)生討論這一問題，最后歸結(jié)為根據(jù)反比例函數(shù)的概念，這句話說明了： .

　�。�2）根據(jù)這個式子，能否求出當(dāng) 時，y的值？

　�。�3）要想求出y的值，必須先知道哪個量呢？

　�。�4）怎樣才能確定k的值？用什么條件？

　　答：用待定系數(shù)法，把 時 代入 ，求出k的值.

　�。�5）你能否自己完成這道例題：

　　由一名同學(xué)板演，其他同學(xué)在練習(xí)本上完成.

　　例3 已知： ， 與x成正比例， 與x成反比例，當(dāng) 時， 時， ，求y與x的解析式.

　　分析：一定要先寫出y與x的函數(shù)表達式 ，

　　要用x分別把 ， 表示出來得 ，

　　要注意 不能寫成k，∴

　　解：設(shè) ，

　　.

　　由題意得

　　∴ .

　�。ǘ�）總結(jié)、擴展

　　教師提問，學(xué)生思考回答：

　　1.什么是反比例函數(shù)？

　　2.反比例函數(shù)的圖像是什么樣的？

　　3.反比例函數(shù) 的性質(zhì)是什么？

　　4.命題方向及題型設(shè)置，反比例函數(shù)也是中考命題的主要考點，其圖像和性質(zhì)，以及其函數(shù)解析式的確定，常以填空題、選擇題出現(xiàn)，在低檔題中，近兩年各省、市的中考試卷中出現(xiàn)不少將反比例函數(shù)與一次函數(shù)、幾何知識、三角知識等綜合編擬的解答題，豐富了壓軸題的形式和內(nèi)容.

　　五、布置作業(yè)

　　1.教材P130中4，5，6

　　2.選做：P130中B1，2

　　六、板書設(shè)計

　　13.8反比例函數(shù)及其圖像

　　引例：（1）例1： 例2： 例3：

　　（2）

　　1.反比例函數(shù)：

　　2.反比例函數(shù)的性質(zhì) 探究活動

　　已知：如圖，一次函數(shù)的圖像經(jīng)過第一、二、三象限，且與反比例函數(shù)的圖像交于A、B兩點，與y軸交于點C，與x軸交于點D。 。

　�。�1）求反比例函數(shù)的解析式；

　　（2）設(shè)點A的橫坐標(biāo)為m， 的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；

　�。�3）當(dāng) 的面積等于 時，試判斷過A、B兩點的拋物線在x軸上截得的線段長能否等于3。如果能，求此時拋物線的解析式；如果不能，請說明理由。

　　解：（1）過點B作 軸于點H。

　　在Rt 中，

　　由勾股定理，得

　　又 ，

　　∴ 點B（－3，－1）。

　　設(shè)反比例函數(shù)的解析式為

　　。

　　∵ 點B在反比例函數(shù)的圖像上，

　　。

　　∴ 反比例函數(shù)的解析式為 。

　�。�2）設(shè)直線AB的解析式為 。

　　由點A在第一象限，得 。

　　又由點A在函數(shù) 的圖像上，可求得點A的縱坐標(biāo)為 。

　　∵ 點B（－3，－1），點 ，

　　∴ 解關(guān)于 、 的方程組，得

　　∴ 直線AB的解析式為 。

　　令 。

　　求得點D的橫坐標(biāo)為 。

　　過點A作 軸于點G

　　由已知，直線經(jīng)過第一、二、三象限，

　　∴ ，即 。

　　由此得

　　∴ 。

　　即 。

　�。�3）過A、B兩點的拋物線在x軸上截得的線段長不能等于3。

　　證明如下：

　　。

　　由 ，

　　得

　　解得 。

　　經(jīng)檢驗， 都是這個方程的根。

　　，

　　∴ 不合題意，舍去。

　　∴ 點A（1，3）。

　　設(shè)過A（1，3）、B（－3，－1）兩點的拋物線的解析式為 。

　　∴ 由此得

　　即 。

　　設(shè)拋物線與x軸兩交點的橫坐標(biāo)為 。

　　則

　　令

　　則 。

　　即 。

　　整理，得 。

　　，

　　∴ 方程 無實數(shù)根。

　　因此過A、B兩點的拋物線在x軸上截得的線段長不能等于3。

反比例函數(shù)及其圖象 篇5

　　教學(xué)設(shè)計示例1

　　教學(xué)目標(biāo)：

　　1、理解反比例函數(shù)，并能從實際問題中抽象出反比例關(guān)系的函數(shù)解析式；

　　2、會畫出反比例函數(shù)的圖象，并結(jié)合圖象分析總結(jié)出反比例函數(shù)的性質(zhì)；

　　3、滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想及普遍聯(lián)系的辨證唯物主義思想；

　　4、體會數(shù)學(xué)從實踐中來又到實際中去的研究、應(yīng)用過程；

　　5、培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，及數(shù)學(xué)地發(fā)現(xiàn)問題，解決問題的能力.

　　教學(xué)重點：

　　結(jié)合圖象分析總結(jié)出反比例函數(shù)的性質(zhì)；

　　教學(xué)難點：描點畫出反比例函數(shù)的圖象

　　教學(xué)用具：直尺

　　教學(xué)方法：小組合作、探究式

　　教學(xué)過程：

　　1、從實際引出反比例函數(shù)的概念

　　我們在小學(xué)學(xué)過反比例關(guān)系.例如：當(dāng)路程S一定時，時間t與速度v成反比例

　　即vt=S（S是常數(shù)）；

　　當(dāng)矩形面積S一定時，長a與寬b成反比例，即ab=S（S是常數(shù)）

　　從函數(shù)的觀點看，在運動變化的過程中，有兩個變量可以分別看成自變量與函數(shù)，寫成：

　�。⊿是常數(shù)）

　　（S是常數(shù)）

　　一般地，函數(shù) （k是常數(shù)， ）叫做反比例函數(shù).

　　如上例，當(dāng)路程S是常數(shù)時，時間t就是v的反比例函數(shù).當(dāng)矩形面積S是常數(shù)時，長a是寬b的反比例函數(shù).

　　在現(xiàn)實生活中，也有許多反比例關(guān)系的例子.可以組織學(xué)生進行討論.下面的例子僅供

　　2、列表、描點畫出反比例函數(shù)的圖象

　　例1、畫出反比例函數(shù) 與 的圖象

　　解：列表

　　x

　　-6

　　-5

　　-4

　　-3

　　1

　　2

　　3

　　4

　　5

　　6

　　-1

　　-1.2

　　-1.5

　　-2

　　6

　　3

　　2

　　1.5

　　1.2

　　1

　　1

　　1.2

　　1.5

　　2

　　-6

　　-3

　　-2

　　-1.5

　　-1.2

　　1

　　說明：由于學(xué)生第一次接觸反比例函數(shù)，無法推測出它的大致圖象.取點的時候最好多取幾個，正負可以對稱著取分別畫點描圖

　　一般地反比例函數(shù) （k是常數(shù)， ）的圖象由兩條曲線組成，叫做雙曲線.

　　3、觀察圖象，歸納、總結(jié)出反比例函數(shù)的性質(zhì)

　　前面學(xué)習(xí)了三類基本的初等函數(shù)，有了一定的基礎(chǔ)，這里可視學(xué)生的程度或展開全面的討論，或在老師的引導(dǎo)下完成知識的學(xué)習(xí).

　　顯示這兩個函數(shù)的圖象，提出問題：你能從圖象上發(fā)現(xiàn)什么有關(guān)反比例函數(shù)的性質(zhì)呢？并能從解析式或列表中得到論證.（下列答案僅供參考）

　�。�1） 的圖象在第一、三象限.可以擴展到k >0時的情形，即k>0時，雙曲線兩支各在第一和第三象限.從解析式中，也可以得出這個結(jié)論：xy=k，即x與y同號，因此，圖象在第一、三象限.

　　的討論與此類似.

　　抓住機會，說明數(shù)與形的統(tǒng)一，也滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.體現(xiàn)了由特殊到一般的研究過程.

　�。�2）函數(shù) 的圖象，在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減�。�

　　從圖象中可以看出，當(dāng)x從左向右變化時，圖象呈下坡趨勢.從列表中也可以看出這樣的變化趨勢.有理數(shù)除法說明了同樣的道理，被除數(shù)一定時，若除數(shù)大于零，除數(shù)越大，商越�。蝗舫龜�(shù)小于零，同樣是除數(shù)越大，商越小.由此可歸納出，當(dāng)k>0時，函數(shù) 的圖象，在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小.

　　同樣可以推出 的圖象的性質(zhì).

　　（3）函數(shù) 的圖象不經(jīng)過原點，且不與x軸、y軸交.從解析式中也可以看出， .如果x取值越來越大時，y的值越來越小，趨近于零；如果x取負值且越來越小時，y的值也越來越趨近于零.因此，呈現(xiàn)的是雙曲線的樣子.同理，抽象出 圖象的性質(zhì).

　　函數(shù) 的圖象性質(zhì)的討論與次類似.

　　4、小結(jié)：

　　本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的概念及其圖象的性質(zhì).大家展開了充分的討論，對函數(shù)的概念，函數(shù)的圖象的性質(zhì)有了進一步的認識.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要求我們要深刻地理解，找出事物間的普遍聯(lián)系和發(fā)展規(guī)律，能數(shù)學(xué)地發(fā)現(xiàn)問題，并能運用已有的數(shù)學(xué)知識，給以一定的解釋.即數(shù)學(xué)是世界的一個部分，同時又隱藏在世界中.

　　5、布置作業(yè) 習(xí)題13.8 1-4

　　教學(xué)設(shè)計示例2

　　反比例函數(shù)及其圖像

　　一、素質(zhì)教育目標(biāo)

　�。ㄒ唬┲�識教學(xué)點

　　1.使學(xué)生了解反比例函數(shù)的概念；

　　2.使學(xué)生能夠根據(jù)問題中的條件確定反比例函數(shù)的解析式；

　　3.使學(xué)生理解反比例函數(shù)的性質(zhì)，會畫出它們的圖像，以及根據(jù)圖像指出函數(shù)值隨自變量的增加或減小而變化的情況；

　　4.會用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的解析式.

　�。ǘ�）能力訓(xùn)練點

　　1.培養(yǎng)學(xué)生的作圖、觀察、分析、總結(jié)的能力；

　　2.向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合的教學(xué)思想方法.

　�。ㄈ�）德育滲透點

　　1.向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)來源于實踐又反過來作用于實踐的觀點；

　　2.使學(xué)生體會事物是有規(guī)律地變化著的觀點.

　�。ㄋ模┟烙凉B透點

　　通過反比例函數(shù)圖像的研究，滲透反映其性質(zhì)的圖像的直觀形象美，激發(fā)學(xué)生的興趣，也培養(yǎng)學(xué)生積極探求知識的能力.

　　二、學(xué)法引導(dǎo)

　　教師采用類比法、觀察法、練習(xí)法

　　學(xué)生學(xué)習(xí)反比例函數(shù)要與學(xué)習(xí)其他函數(shù)一樣，要善于數(shù)形結(jié)合，由解析式聯(lián)想到圖像的位置及其性質(zhì)，由圖像和性質(zhì)聯(lián)想比例系數(shù)k的符號.

　　三、重點·難點·疑點及解決辦法

　　1.教學(xué)重點：反比例的概念、圖像、性質(zhì)以及用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的解析式.因為要研究反比例函數(shù)就必須明確反比例函數(shù)的上述問題.

　　2.教學(xué)難點：畫反比例函數(shù)的圖像.因為反比例函數(shù)的圖像有兩個分支，而且這兩個分支的變化趨勢又不同，學(xué)生初次接觸，一定會感到困難.

　　3.教學(xué)疑點：（1）反比例函數(shù)為何與x軸，y軸無交點；（2）反比例函數(shù)的圖像只能說在第一、三象限或第二、四象限，而不能說經(jīng)過第幾象限，增減性也要說明在第幾象限（或說在它的每一個象限內(nèi)）.

　　4.解決辦法：（1） 中隱含條件是 或 ；（2）雙曲線的兩個分支是斷開的，研究函數(shù)的增減性時，要將兩個分支分別討論，不能一概而論.

　　四、教學(xué)步驟

　　（一）教學(xué)過程

　　提問：小學(xué)是否學(xué)過反比例關(guān)系？是如何敘述的？

　　由學(xué)生先考慮及討論一下.

　　答：小學(xué)學(xué)過：兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的積一定，這兩種量就叫做反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系.

　　看下面的實例：（出示幻燈）

　　1. 當(dāng)路程s一定時，時間t與速度v成反比例；

　　2.當(dāng)矩形面積S一定時，長a與寬b成反比例；

　　它們分別可以寫成 （s是常數(shù)）， （S是常數(shù)）寫在黑板上，用以得出反比例函數(shù)的概念：（板書）

　　一般地，函數(shù) （k是常數(shù)， ）叫做反比例函數(shù).

　　即在上面的例子中，當(dāng)路程s是常數(shù)時，時間t就是速度v的反比例函數(shù)，能否說：速度v是時間t的反比例函數(shù)呢？

　　通過這個問題，使學(xué)生進一步理解反比例函數(shù)的概念，只要滿足 （k是常數(shù)， ）就可以.因此可以說速度v是時間t的反比例函數(shù)，因為 （s是常量）.對第2個實例也一樣.

　　練習(xí)一：教材P129中1 口答.P130 1

　　根據(jù)前面學(xué)習(xí)特殊函數(shù)的經(jīng)驗，研究完函數(shù)的概念，跟著要研究的是什么？

　　答：圖像和性質(zhì).

　　通過這個問題，使學(xué)生對課本上給出的知識的發(fā)生、發(fā)展過程有一個明確的認識，以后

　　學(xué)生要研究其他函數(shù)，也可以按照這種方式來研究.

　　下面，我們就來看桓隼�题：（出蕛裘灯�?/P>

　　例1 畫出反比例函數(shù) 與 的圖像.

　　提問：1.畫函數(shù)圖像的關(guān)鍵問題是什么？

　　答：合理、正確地選值列表.

　　2.在選值時，你認為要注意什么問題？

　　答：（1）由于函數(shù)圖像的特點還不清楚，多選幾個點較好；

　�。�2）不能選 ，因為 時函數(shù)無意義；

　　（3）選整數(shù)較好計算和描點.

　　這個問題中最核心的一點是關(guān)于 的問題，提醒學(xué)生注意.

　　3.你能不能自己完成這道題呢？

　　學(xué)生在練習(xí)本上列表、描點、連線，教師在黑板上板演，到連線時可暫停，讓學(xué)生先連完線之后，找一名同學(xué)上黑板連線，然后就這名同學(xué)的連線加以評價、總結(jié)：

　　注意：（1）一般地，反比例函數(shù) 的圖像由兩條曲線組成，叫做雙曲線；

　　（2）這兩條曲線不相交；

　　（3）這兩條曲線無限延伸，無限靠近x軸和y軸，但永不會與x軸和y軸相交.

　　關(guān)于注意（3）可問學(xué)生：為什么圖像與x和y軸不相交？

　　通過這個問題既可加深學(xué)生對反比例函數(shù)圖像的記憶，又可培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和深刻性.

　　再讓學(xué)生觀察黑板上的圖，提問：

　　1.當(dāng) 時，雙曲線的兩個分支各在哪個象限？在每個象限內(nèi)，y隨x的增大怎樣變化？

　　2.當(dāng) 時，雙曲線的兩個分支各在哪個象限？在每個象限內(nèi)，y隨x的增大怎樣變化？

　　這兩個問題由學(xué)生討論總結(jié)之后回答，教師板書：

　　對于雙曲線（1）當(dāng) ：（1）當(dāng) 時，雙曲線的兩分支位于一、三象限，y隨x的增大而減少；（2）當(dāng) 時，雙曲線的兩分支位于二、四象限，y隨x的增大而增大.

　　3.反比例函數(shù)的這一性質(zhì)與正比例函數(shù)的性質(zhì)有何異同？

　　通過這個問題使學(xué)生能把學(xué)過的相關(guān)知識有機地串聯(lián)起來，便于記憶和應(yīng)用.

　　練習(xí)二：教材P129中2由學(xué)生在練習(xí)本上完成，教師巡回指導(dǎo).P130中2、3填在書上

　　上面，我們討論了反比例函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)，下面我們再來看一個不同類型的例題：（出示幻燈）

　　例2已知y與 成反比例，并且當(dāng) 時， ，求 時，y的值.

　　用提問的方式對此題加以分析：

　�。�1）y與 成反比例是什么含義？

　　由學(xué)生討論這一問題，最后歸結(jié)為根據(jù)反比例函數(shù)的概念，這句話說明了： .

　�。�2）根據(jù)這個式子，能否求出當(dāng) 時，y的值？

　�。�3）要想求出y的值，必須先知道哪個量呢？

　�。�4）怎樣才能確定k的值？用什么條件？

　　答：用待定系數(shù)法，把 時 代入 ，求出k的值.

　�。�5）你能否自己完成這道例題：

　　由一名同學(xué)板演，其他同學(xué)在練習(xí)本上完成.

　　例3 已知： ， 與x成正比例， 與x成反比例，當(dāng) 時， 時， ，求y與x的解析式.

　　分析：一定要先寫出y與x的函數(shù)表達式 ，

　　要用x分別把 ， 表示出來得 ，

　　要注意 不能寫成k，∴

　　解：設(shè) ，

　　.

　　由題意得

　　∴ .

　�。ǘ�）總結(jié)、擴展

　　教師提問，學(xué)生思考回答：

　　1.什么是反比例函數(shù)？

　　2.反比例函數(shù)的圖像是什么樣的？

　　3.反比例函數(shù) 的性質(zhì)是什么？

　　4.命題方向及題型設(shè)置，反比例函數(shù)也是中考命題的主要考點，其圖像和性質(zhì)，以及其函數(shù)解析式的確定，常以填空題、選擇題出現(xiàn)，在低檔題中，近兩年各省、市的中考試卷中出現(xiàn)不少將反比例函數(shù)與一次函數(shù)、幾何知識、三角知識等綜合編擬的解答題，豐富了壓軸題的形式和內(nèi)容.

　　五、布置作業(yè)

　　1.教材P130中4，5，6

　　2.選做：P130中B1，2

　　六、板書設(shè)計

　　13.8反比例函數(shù)及其圖像

　　引例：（1）例1： 例2： 例3：

　�。�2）

　　1.反比例函數(shù)：

　　2.反比例函數(shù)的性質(zhì) 探究活動

　　已知：如圖，一次函數(shù)的圖像經(jīng)過第一、二、三象限，且與反比例函數(shù)的圖像交于A、B兩點，與y軸交于點C，與x軸交于點D。 。

　�。�1）求反比例函數(shù)的解析式；

　�。�2）設(shè)點A的橫坐標(biāo)為m， 的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；

　　（3）當(dāng) 的面積等于 時，試判斷過A、B兩點的拋物線在x軸上截得的線段長能否等于3。如果能，求此時拋物線的解析式；如果不能，請說明理由。

　　解：（1）過點B作 軸于點H。

　　在Rt 中，

　　由勾股定理，得

　　又 ，

　　∴ 點B（－3，－1）。

　　設(shè)反比例函數(shù)的解析式為

　　。

　　∵ 點B在反比例函數(shù)的圖像上，

　　。

　　∴ 反比例函數(shù)的解析式為 。

　�。�2）設(shè)直線AB的解析式為 。

　　由點A在第一象限，得 。

　　又由點A在函數(shù) 的圖像上，可求得點A的縱坐標(biāo)為 。

　　∵ 點B（－3，－1），點 ，

　　∴ 解關(guān)于 、 的方程組，得

　　∴ 直線AB的解析式為 。

　　令 。

　　求得點D的橫坐標(biāo)為 。

　　過點A作 軸于點G

　　由已知，直線經(jīng)過第一、二、三象限，

　　∴ ，即 。

　　由此得

　　∴ 。

　　即 。

　�。�3）過A、B兩點的拋物線在x軸上截得的線段長不能等于3。

　　證明如下：

　　。

　　由 ，

　　得

　　解得 。

　　經(jīng)檢驗， 都是這個方程的根。

　　，

　　∴ 不合題意，舍去。

　　∴ 點A（1，3）。

　　設(shè)過A（1，3）、B（－3，－1）兩點的拋物線的解析式為 。

　　∴ 由此得

　　即 。

　　設(shè)拋物線與x軸兩交點的橫坐標(biāo)為 。

　　則

　　令

　　則 。

　　即 。

　　整理，得 。

　　，

　　∴ 方程 無實數(shù)根。

　　因此過A、B兩點的拋物線在x軸上截得的線段長不能等于3。

反比例函數(shù)及其圖象 篇6

　　教學(xué)設(shè)計示例1

　　反比例函數(shù)及其圖象

　　教學(xué)目標(biāo)：

　　1、理解反比例函數(shù)，并能從實際問題中抽象出反比例關(guān)系的函數(shù)解析式；

　　2、會畫出反比例函數(shù)的圖象，并結(jié)合圖象分析總結(jié)出反比例函數(shù)的性質(zhì)；

　　3、滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想及普遍聯(lián)系的辨證唯物主義思想；

　　4、體會數(shù)學(xué)從實踐中來又到實際中去的研究、應(yīng)用過程；

　　5、培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，及數(shù)學(xué)地發(fā)現(xiàn)問題，解決問題的能力.

　　教學(xué)重點：

　　結(jié)合圖象分析總結(jié)出反比例函數(shù)的性質(zhì)；

　　教學(xué)難點：描點畫出反比例函數(shù)的圖象

　　教學(xué)用具：直尺

　　教學(xué)方法：小組合作、探究式

　　教學(xué)過程：

　　1、從實際引出反比例函數(shù)的概念

　　我們在小學(xué)學(xué)過反比例關(guān)系.例如：當(dāng)路程S一定時，時間t與速度v成反比例

　　即vt=S（S是常數(shù)）；

　　當(dāng)矩形面積S一定時，長a與寬b成反比例，即ab=S（S是常數(shù)）

　　從函數(shù)的觀點看，在運動變化的過程中，有兩個變量可以分別看成自變量與函數(shù)，寫成：

　�。⊿是常數(shù)）

　�。⊿是常數(shù)）

　　一般地，函數(shù) （k是常數(shù)， ）叫做反比例函數(shù).

　　如上例，當(dāng)路程S是常數(shù)時，時間t就是v的反比例函數(shù).當(dāng)矩形面積S是常數(shù)時，長a是寬b的反比例函數(shù).

　　在現(xiàn)實生活中，也有許多反比例關(guān)系的例子.可以組織學(xué)生進行討論.下面的例子僅供

　　2、列表、描點畫出反比例函數(shù)的圖象

　　例1、畫出反比例函數(shù) 與 的圖象

　　解：列表

　　x

　　-6

　　-5

　　-4

　　-3

　　1

　　2

　　3

　　4

　　5

　　6

　　-1

　　-1.2

　　-1.5

　　-2

　　6

　　3

　　2

　　1.5

　　1.2

　　1

　　1

　　1.2

　　1.5

　　2

　　-6

　　-3

　　-2

　　-1.5

　　-1.2

　　1

　　說明：由于學(xué)生第一次接觸反比例函數(shù)，無法推測出它的大致圖象.取點的時候最好多取幾個，正負可以對稱著取分別畫點描圖

　　一般地反比例函數(shù) （k是常數(shù)， ）的圖象由兩條曲線組成，叫做雙曲線.

　　3、觀察圖象，歸納、總結(jié)出反比例函數(shù)的性質(zhì)

　　前面學(xué)習(xí)了三類基本的初等函數(shù)，有了一定的基礎(chǔ)，這里可視學(xué)生的程度或展開全面的討論，或在老師的引導(dǎo)下完成知識的學(xué)習(xí).

　　顯示這兩個函數(shù)的圖象，提出問題：你能從圖象上發(fā)現(xiàn)什么有關(guān)反比例函數(shù)的性質(zhì)呢？并能從解析式或列表中得到論證.（下列答案僅供參考）

　�。�1） 的圖象在第一、三象限.可以擴展到k >0時的情形，即k>0時，雙曲線兩支各在第一和第三象限.從解析式中，也可以得出這個結(jié)論：xy=k，即x與y同號，因此，圖象在第一、三象限.

　　的討論與此類似.

　　抓住機會，說明數(shù)與形的統(tǒng)一，也滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.體現(xiàn)了由特殊到一般的研究過程.

　�。�2）函數(shù) 的圖象，在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小；

　　從圖象中可以看出，當(dāng)x從左向右變化時，圖象呈下坡趨勢.從列表中也可以看出這樣的變化趨勢.有理數(shù)除法說明了同樣的道理，被除數(shù)一定時，若除數(shù)大于零，除數(shù)越大，商越小；若除數(shù)小于零，同樣是除數(shù)越大，商越小.由此可歸納出，當(dāng)k>0時，函數(shù) 的圖象，在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小.

　　同樣可以推出 的圖象的性質(zhì).

　�。�3）函數(shù) 的圖象不經(jīng)過原點，且不與x軸、y軸交.從解析式中也可以看出， .如果x取值越來越大時，y的值越來越小，趨近于零；如果x取負值且越來越小時，y的值也越來越趨近于零.因此，呈現(xiàn)的是雙曲線的樣子.同理，抽象出 圖象的性質(zhì).

　　函數(shù) 的圖象性質(zhì)的討論與次類似.

　　4、小結(jié)：

　　本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的概念及其圖象的性質(zhì).大家展開了充分的討論，對函數(shù)的概念，函數(shù)的圖象的性質(zhì)有了進一步的認識.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要求我們要深刻地理解，找出事物間的普遍聯(lián)系和發(fā)展規(guī)律，能數(shù)學(xué)地發(fā)現(xiàn)問題，并能運用已有的數(shù)學(xué)知識，給以一定的解釋.即數(shù)學(xué)是世界的一個部分，同時又隱藏在世界中.

　　5、布置作業(yè) 習(xí)題13.8 1-4

　　教學(xué)設(shè)計示例2

　　反比例函數(shù)及其圖像

　　一、素質(zhì)教育目標(biāo)

　�。ㄒ唬┲�識教學(xué)點

　　1.使學(xué)生了解反比例函數(shù)的概念；

　　2.使學(xué)生能夠根據(jù)問題中的條件確定反比例函數(shù)的解析式；

　　3.使學(xué)生理解反比例函數(shù)的性質(zhì)，會畫出它們的圖像，以及根據(jù)圖像指出函數(shù)值隨自變量的增加或減小而變化的情況；

　　4.會用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的解析式.

　　（二）能力訓(xùn)練點

　　1.培養(yǎng)學(xué)生的作圖、觀察、分析、總結(jié)的能力；

　　2.向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合的教學(xué)思想方法.

　�。ㄈ�）德育滲透點

　　1.向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)來源于實踐又反過來作用于實踐的觀點；

　　2.使學(xué)生體會事物是有規(guī)律地變化著的觀點.

　�。ㄋ模┟烙凉B透點

　　通過反比例函數(shù)圖像的研究，滲透反映其性質(zhì)的圖像的直觀形象美，激發(fā)學(xué)生的興趣，也培養(yǎng)學(xué)生積極探求知識的能力.

　　二、學(xué)法引導(dǎo)

　　教師采用類比法、觀察法、練習(xí)法

　　學(xué)生學(xué)習(xí)反比例函數(shù)要與學(xué)習(xí)其他函數(shù)一樣，要善于數(shù)形結(jié)合，由解析式聯(lián)想到圖像的位置及其性質(zhì)，由圖像和性質(zhì)聯(lián)想比例系數(shù)k的符號.

　　三、重點·難點·疑點及解決辦法

　　1.教學(xué)重點：反比例的概念、圖像、性質(zhì)以及用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的解析式.因為要研究反比例函數(shù)就必須明確反比例函數(shù)的上述問題.

　　2.教學(xué)難點：畫反比例函數(shù)的圖像.因為反比例函數(shù)的圖像有兩個分支，而且這兩個分支的變化趨勢又不同，學(xué)生初次接觸，一定會感到困難.

　　3.教學(xué)疑點：（1）反比例函數(shù)為何與x軸，y軸無交點；（2）反比例函數(shù)的圖像只能說在第一、三象限或第二、四象限，而不能說經(jīng)過第幾象限，增減性也要說明在第幾象限（或說在它的每一個象限內(nèi)）.

　　4.解決辦法：（1） 中隱含條件是 或 ；（2）雙曲線的兩個分支是斷開的，研究函數(shù)的增減性時，要將兩個分支分別討論，不能一概而論.

　　四、教學(xué)步驟

　　（一）教學(xué)過程

　　提問：小學(xué)是否學(xué)過反比例關(guān)系？是如何敘述的？

　　由學(xué)生先考慮及討論一下.

　　答：小學(xué)學(xué)過：兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的積一定，這兩種量就叫做反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系.

　　看下面的實例：（出示幻燈）

　　1. 當(dāng)路程s一定時，時間t與速度v成反比例；

　　2.當(dāng)矩形面積S一定時，長a與寬b成反比例；

　　它們分別可以寫成 （s是常數(shù)）， （S是常數(shù)）寫在黑板上，用以得出反比例函數(shù)的概念：（板書）

　　一般地，函數(shù) （k是常數(shù)， ）叫做反比例函數(shù).

　　即在上面的例子中，當(dāng)路程s是常數(shù)時，時間t就是速度v的反比例函數(shù)，能否說：速度v是時間t的反比例函數(shù)呢？

　　通過這個問題，使學(xué)生進一步理解反比例函數(shù)的概念，只要滿足 （k是常數(shù)， ）就可以.因此可以說速度v是時間t的反比例函數(shù)，因為 （s是常量）.對第2個實例也一樣.

　　練習(xí)一：教材P129中1 口答.P130 1

　　根據(jù)前面學(xué)習(xí)特殊函數(shù)的經(jīng)驗，研究完函數(shù)的概念，跟著要研究的是什么？

　　答：圖像和性質(zhì).

　　通過這個問題，使學(xué)生對課本上給出的知識的發(fā)生、發(fā)展過程有一個明確的認識，以后

　　學(xué)生要研究其他函數(shù)，也可以按照這種方式來研究.

　　下面，我們就來看桓隼�题：（出蕛裘灯�?/P>

　　例1 畫出反比例函數(shù) 與 的圖像.

　　提問：1.畫函數(shù)圖像的關(guān)鍵問題是什么？

　　答：合理、正確地選值列表.

　　2.在選值時，你認為要注意什么問題？

　　答：（1）由于函數(shù)圖像的特點還不清楚，多選幾個點較好；

　�。�2）不能選 ，因為 時函數(shù)無意義；

　�。�3）選整數(shù)較好計算和描點.

　　這個問題中最核心的一點是關(guān)于 的問題，提醒學(xué)生注意.

　　3.你能不能自己完成這道題呢？

　　學(xué)生在練習(xí)本上列表、描點、連線，教師在黑板上板演，到連線時可暫停，讓學(xué)生先連完線之后，找一名同學(xué)上黑板連線，然后就這名同學(xué)的連線加以評價、總結(jié)：

　　注意：（1）一般地，反比例函數(shù) 的圖像由兩條曲線組成，叫做雙曲線；

　�。�2）這兩條曲線不相交；

　�。�3）這兩條曲線無限延伸，無限靠近x軸和y軸，但永不會與x軸和y軸相交.

　　關(guān)于注意（3）可問學(xué)生：為什么圖像與x和y軸不相交？

　　通過這個問題既可加深學(xué)生對反比例函數(shù)圖像的記憶，又可培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和深刻性.

　　再讓學(xué)生觀察黑板上的圖，提問：

　　1.當(dāng) 時，雙曲線的兩個分支各在哪個象限？在每個象限內(nèi)，y隨x的增大怎樣變化？

　　2.當(dāng) 時，雙曲線的兩個分支各在哪個象限？在每個象限內(nèi)，y隨x的增大怎樣變化？

　　這兩個問題由學(xué)生討論總結(jié)之后回答，教師板書：

　　對于雙曲線（1）當(dāng) ：（1）當(dāng) 時，雙曲線的兩分支位于一、三象限，y隨x的增大而減少；（2）當(dāng) 時，雙曲線的兩分支位于二、四象限，y隨x的增大而增大.

　　3.反比例函數(shù)的這一性質(zhì)與正比例函數(shù)的性質(zhì)有何異同？

　　通過這個問題使學(xué)生能把學(xué)過的相關(guān)知識有機地串聯(lián)起來，便于記憶和應(yīng)用.

　　練習(xí)二：教材P129中2由學(xué)生在練習(xí)本上完成，教師巡回指導(dǎo).P130中2、3填在書上

　　上面，我們討論了反比例函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)，下面我們再來看一個不同類型的例題：（出示幻燈）

　　例2已知y與 成反比例，并且當(dāng) 時， ，求 時，y的值.

　　用提問的方式對此題加以分析：

　　（1）y與 成反比例是什么含義？

　　由學(xué)生討論這一問題，最后歸結(jié)為根據(jù)反比例函數(shù)的概念，這句話說明了： .

　�。�2）根據(jù)這個式子，能否求出當(dāng) 時，y的值？

　　（3）要想求出y的值，必須先知道哪個量呢？

　�。�4）怎樣才能確定k的值？用什么條件？

　　答：用待定系數(shù)法，把 時 代入 ，求出k的值.

　�。�5）你能否自己完成這道例題：

　　由一名同學(xué)板演，其他同學(xué)在練習(xí)本上完成.

　　例3 已知： ， 與x成正比例， 與x成反比例，當(dāng) 時， 時， ，求y與x的解析式.

　　分析：一定要先寫出y與x的函數(shù)表達式 ，

　　要用x分別把 ， 表示出來得 ，

　　要注意 不能寫成k，∴

　　解：設(shè) ，

　　.

　　由題意得

　　∴ .

　�。ǘ�）總結(jié)、擴展

　　教師提問，學(xué)生思考回答：

　　1.什么是反比例函數(shù)？

　　2.反比例函數(shù)的圖像是什么樣的？

　　3.反比例函數(shù) 的性質(zhì)是什么？

　　4.命題方向及題型設(shè)置，反比例函數(shù)也是中考命題的主要考點，其圖像和性質(zhì)，以及其函數(shù)解析式的確定，常以填空題、選擇題出現(xiàn)，在低檔題中，近兩年各省、市的中考試卷中出現(xiàn)不少將反比例函數(shù)與一次函數(shù)、幾何知識、三角知識等綜合編擬的解答題，豐富了壓軸題的形式和內(nèi)容.

　　五、布置作業(yè)

　　1.教材P130中4，5，6

　　2.選做：P130中B1，2

　　六、板書設(shè)計

　　13.8反比例函數(shù)及其圖像

　　引例：（1）例1： 例2： 例3：

　�。�2）

　　1.反比例函數(shù)：

　　2.反比例函數(shù)的性質(zhì) 探究活動

　　已知：如圖，一次函數(shù)的圖像經(jīng)過第一、二、三象限，且與反比例函數(shù)的圖像交于A、B兩點，與y軸交于點C，與x軸交于點D。 。

　�。�1）求反比例函數(shù)的解析式；

　�。�2）設(shè)點A的橫坐標(biāo)為m， 的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；

　�。�3）當(dāng) 的面積等于 時，試判斷過A、B兩點的拋物線在x軸上截得的線段長能否等于3。如果能，求此時拋物線的解析式；如果不能，請說明理由。

　　解：（1）過點B作 軸于點H。

　　在Rt 中，

　　由勾股定理，得

　　又 ，

　　∴ 點B（－3，－1）。

　　設(shè)反比例函數(shù)的解析式為

　　。

　　∵ 點B在反比例函數(shù)的圖像上，

　　。

　　∴ 反比例函數(shù)的解析式為 。

　�。�2）設(shè)直線AB的解析式為 。

　　由點A在第一象限，得 。

　　又由點A在函數(shù) 的圖像上，可求得點A的縱坐標(biāo)為 。

　　∵ 點B（－3，－1），點 ，

　　∴ 解關(guān)于 、 的方程組，得

　　∴ 直線AB的解析式為 。

　　令 。

　　求得點D的橫坐標(biāo)為 。

　　過點A作 軸于點G

　　由已知，直線經(jīng)過第一、二、三象限，

　　∴ ，即 。

　　由此得

　　∴ 。

　　即 。

　�。�3）過A、B兩點的拋物線在x軸上截得的線段長不能等于3。

　　證明如下：

　　。

　　由 ，

　　得

　　解得 。

　　經(jīng)檢驗， 都是這個方程的根。

　　，

　　∴ 不合題意，舍去。

　　∴ 點A（1，3）。

　　設(shè)過A（1，3）、B（－3，－1）兩點的拋物線的解析式為 。

　　∴ 由此得

　　即 。

　　設(shè)拋物線與x軸兩交點的橫坐標(biāo)為 。

　　則

　　令

　　則 。

　　即 。

　　整理，得 。

　　，

　　∴ 方程 無實數(shù)根。

　　因此過A、B兩點的拋物線在x軸上截得的線段長不能等于3。